巧解方程例说

解数学题 ,选择解题方法是个值得重视的问题 ,方法选得好 ,既使思路清晰又使过程简捷 ,达到事半功倍的目的 .本文介绍几种解方程的技巧 ,供教学时参考 .1　函数思想函数思想解方程 ,一般是将方程转化为函数 ,从而利用函数的有关性质使问题得到解决 .例 1　解方程 :( 6x + 5 ) [1 + ( 6x + 5 ) 2 + 4]+x( 1 +x2 + 4) =0 ( 1 990年福州市高中竞赛题 ) .解 :观察方程左边 ,两项具有相同的结构特征 ,故可设 f(x) =x( 1 + x2 + 4) (x∈R) ,则f(x)是R上的增函数 .∵ f( -x) =-x( 1 +x2 + 4) =-f(x) ,∴ f(x)是奇函数 ,又因为方程可变为( 6x + 5 )…     

分离变量是基本通法,无论怎样强调都不为过

文[1]指出:解方程(不等式)的实质就是对方程两端同时施以各种运算,即等价变形,分离出一个变量,即解出一个未知数,在多元方程(不等式)中解出一个未知数就得显函数,如在F(x,y)=0中解出y就得显函数y=f(x),同样在不等式F(x,y)>0中解出y就得不等式y>f(x)(或y相似文献   

一类特殊分式(无理)方程的简捷解法

本文在实数范围内给出形如tf(x)+s/(f(x))=t+s和f(x)+1/(f(x))=a+1/a的一类特殊分式(无理)方程的简捷解法。为此,先介绍如下两个同解方程的命题。命题1 求证方程tf(x)+s/(f(x))=t+8 (其中t、s≠0) 方程f(x)=1或f(x)=s/t.     

导数与其他数学知识的交汇

导数是高中《数学》教材中的重要内容之一,从近几年高考题来看,它已成为高考的新亮点。在高中阶段,导数可以与不等式、数列、函数等知识交汇,所以其试题往往综合性较强。一、导数与不等式交汇例1已知函数f(χ)是定义在R上的奇函数f(χ)是f(χ)的导函数,且f(1)=0,当χ>0时,有χf(χ)-f(χ)/χ~2>0恒成立,解不等式f(χ)>0。     

图形的妙用六例(高一、高二、高三)

数学解题中的数形结合,指的是对题目中的条件、结论及题意背景从代数和几何两方面考虑,在两方面的结合上寻找思路.这样做可使复杂抽象的问题,变得清晰明了.以下分六个方面介绍. 1.解方程方程f(x)=g(x)的实数解是曲线y= f(x)与y=g(x)的交点的横坐标.特殊方程f(x)=0的实数解是曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标. 例1 关于x的一元二次方程     

对解对数方程的同解问题的体会

解方程的过程中,由于利用了方程变形,可能使未知数的允许值的集合的扩大或缩小,因此可能导致解的增加或遗失,同学对于这些问题的认识是较模糊的。在解方程后往往用代入法进行检验,有时会增加计算上的麻烦。必须强调:在解方程的过程中应了解产生解的增加或遗失的原因,检验时,除了代入原方程进行验算外,还需利用方程的定义域的知识来检验,教师在课堂教学中应指导同学如何将同解理论贯彻到解方程中去。在课本中虽然是叙述了一些关于方程的同解问题,在解指数方程和对数方程中仅依靠这些知识还是感到不足,为此提出如下的见解。 (一)为了使同学更深刻地去理解同解方程的理论,要求同学明确如下几个概念是很有必要的。 (1)未知数的允许值的集合。使函数f(x)有意义的x的值,叫做函数f(x)的未知数的允许值,这些允许值的全体,叫做函数f(x)     

妙解·误解·探因

例1已知f(x)=(x/2+1)^2-2 x∈(-2，+∞)解方程f(x)=f^-1(x)．     

方程近似解的探求策略

新课程使学生接触到很多实际问题,而问题的解决往往求助于解方程,对于无公式且不能因式分解的方程,比如含超越函数的方程,学生感到束手无策.方程求解也即求函数零点,教材介绍了二分法.为了扩大学生的视野,帮助学生更好地解决实际问题,本文介绍几种方程近似值的探求方法.一、二分法例1求方程f(x)=lnx 2x-6=0在区间(2,3)内的近似解(精确到0.01).解设函数f(x)在(2,3)处的零点为x0,用计算器计算得f(2)<0,f(3)>0x0∈(2,3);f(2.5)<0,f(3)>0x0∈(2.5,3);f(2.5)<0,f(2.75)>0x0∈(2.5,2.75);f(2.5)<0,f(2.625)>0x0∈(2.5,2.625);f(2.5)<0,f(2.5625)>0…     

用函数性质解一类方程

定理设f(x)为单调奇函数,则方程f(ax+b)+f(x)一O与方程(a二十b)十x一O同解. 证明由f(一二)~一f(x),则方程厂(ax十b)+f(x)一。可化为f(ax+b)~f(一x)‘又f(二)为单调函数,f为一一映射,故f(ax+b)一f(一x)成立的充要条件是ax+b-一x.证毕. (编者按:只是在实数范围内同解.) 例1.解方程 (x+6)工,91+x‘,,‘+Zx+6=0.‘._’解f(x)一x,‘+x为递增奇函数.故有(x十6)+x一O,原方程有唯一实根x-一3. 例2.解方程 (Zx+1)(z+丫(Zx+1),+3 +sx(2+了石压不万)一0. 解令t一3x,则原方程变为(亏+‘)(“+ +,(z+丫砰不压):考虑函数f(t)=t(2+奇函数,原方程化为了砰…     

关于正、反函数图象的交点

在一篇文章中见到这样的看法:“函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f~(-1)(x)的图象关于直线y=x对称,则它们的交点(如果相交)在直线y=x上。因此求交点,即解方程组等价于解方程f(x)=f~(-1)(x),又等价于解方程f(x)=x(或f~(-1)(x)=x)。”用以下结论解题笔者认为,这种看法不妥,还应商榷。     

映射思想在解题中的应用

若f是非空集合A到非空集合B的一个单值对应,即对任意a∈A,按照对应法则f,有唯一的b∈B与之对应,则称这个对应f为A到B的一个映射,记作b=f(a),又记f(A)={f(a)|a∈A},则一般有f(A)(?)B。特别地,若f(A)=B,则称映射为满射。若f(A)=B,且当a_1≠a_2时,有f(a_1)≠f(a_2)那么称映射f为A到B的一一映射。这时f有一个逆映射f~(-1),满足对任意a∈A,有f~(-1)(f(a))=a,对任意b∈B有f(f~(-1)(b))=b。     

课本变式题库

解:由反函数的意义知,求f~(-1)(1)的值,相当于解方程f(x)=1,即解方程1g(x~2 11x 8)-1g(x 1)=1。 解这个方程,得x_1=-2,x_2=1,检验知x=-2是增根,所以,x=1是原方程的解,故f~(-1)(1)=1。     

关于│x-d│±│x-e│=±f型方程的解

3°当f>e-d时,方程(Ⅱ)的解,是以F_1(d,0)、F_2(e,0)为焦点的椭园,在长轴(2a=f)上的顶点的横坐标。(如图二) 因此,解方程(Ⅱ)可化为解方程组     

巧构造 妙解题

在解方程 (组 )的过程中 ,如能巧妙构造函数 ,往往能化难为易 ,出奇制胜 ,达到事半功倍之效 .例 1　解方程 (x2 - 2 0x 38) 3 =x3 - 4x2 84x - 15 2 .分析高中阶段解高次方程只有通过降次才可解 ,如何降次呢 ?文华点精　　本例抓住题目特点 ,通过构造函数将高次方程化归为二次方程 ,是一种常用方法 .　　解 :原方程变形为 (x2 - 2 0x 38) 3 4(x2 - 2 0x 38) =x3 4x ,构造函数f(x) =x3 4x ,原方程即为 f(x2 - 2 0x 38)=f(x) ,易证得f(x)在R上单调递增 ,所以x2 - 2 0x 38=x ,故x =2或x =19.文华点精　　本例通过构造函数再结合分类讨…     

导数一直线和曲线相切问题的基本策略

近年来,与导数有关的直线和曲线相切问题一直是高考命题的热点和难点.无论题目千变万化,处理这一问题的关键是理解y=f（χ）在点χ处的导数f’（χ₀）的几何意义是曲线y=f（χ）在点（χ₀,f（χ₀））)处的切线的斜率.求函数y=f（χ）在点（χ₀,f（χ₀））)处的切线的一般步骤是:①求出函数y=f（χ）在点χ₀处的导数f’（χ₀）,即y=f（χ）在点（χ₀,f（χ₀））处的切线的斜率.②由点斜式写出切线方程y-f（χ₀）=f’（χ₀）（χ-χ₀）,但要注意函数的导数不存在处的切线是与χ轴垂直的直线.例1已知函数f（χ）=χ³+bχ²+cχ+d的图象过点P（0,2）,且在点M（-1,f（-1））处的切线方程为6χ-y+7=0,求函数y=f（χ）的解析式.     

构造函数 运用等价关系解题

<正>在函数f(x)的一个单调区间内,f(x1)=f(x2)与x1=x2是等价的.对于某些问题,如果能够根据其特征构造出一个单调函数来,然后运用这种等价关系进行求解,可使求解问题的思路较为明晰,而且求解问题的过程也会大大简化.本文举例说明,f(x1)=f(x2)与x1=x2的等价关系在解方程和求函数值两方面中的一些应用.     

任勇数学教育文集三部之三:“微观卷”——探索数学解题的奥秘(3) 用分部换元法解无理方程

正摘要解方程f(x)=0时,令方程中关于x的某部分f1(x),f2(x),…,f n(x)分别为u1,u 2,…,u n,我们把这种换元法称之为分部换元法.用此法解某些根指数较大而又不易直接化去根号的无理方程,to通常较为简便.常见的有以下两种类型.     

巧构函数妙解题

解题过程中 ,根据问题条件 ,构造合适的函数 ,利用熟知的函数的性质 (例如单调性、奇偶性 )可巧妙的解答近几年出现的高考及国内外数学竞赛试题 .一、巧解方程 (组 )例 1　解方程 ( x2 - 2 0 x + 38) 3 =x3 - 4x2 + 84 x- 152解 :原方程可变形为 ( x2 - 2 0 x + 38) 3 + 4( x2 -2 0 x + 38) =x3 + 4x构造三次函数 f ( x) =x3 + 4x从而原方程可化为 f ( x2 - 2 0 x + 38) =f ( x)因为 f ( x) =x3 + 4x在 R上单调递增所以 x2 - 2 0 x + 38=x即 x2 - 2 1x + 38=0解得 x1=2 ,x2 =19.例 2　 ( 1997年高中数学联赛试题 )设 x,y为实数 ,且满足 ( x…     

用赋值法判断函数的符号及应用

在判断函数的单调性和求函数的极值时,常常需要判断其导函数在某区间的符号,通常的方法是解不等式,但往往很麻烦困难。如例1 求函数f(x)=e~x+e~(-x)+2cosx的极值。解 f′(x)=e~x-e~(-x)-2sinx,解方程 e~x-e~(-x)-2sinx=0得唯一的驻点为x=0,此时f′(x)在x=0附近的函数值符号不易确定,需求高阶导数才能能判定f(x)在x=0处是否取极值。又如     

函数与方程思想在解题中的运用举隅

通常函数与方程思想在解题中的应用主要表现在两个方面:许多有关方程的问题可以用函数的方法解决;反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.一、解函数、方程问题解方程f(x)=0就是求函数f(x)当函数值为零时自变量x的值;求方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点横坐标或交点个数.