注重充分感知 丰富表象积累

笔者在多年的教学实践中,发现许多令人深思的现象,兹举几例。第一例:六年级一道习题:图中环形跑道的长是多少米。平时学习认真,深得老师喜爱的同学不约而同地错成(100+64)×2+3.14×64=528.96(米)。而几个平时被讥为“四肢发达头脑简单”的同学却出人意料地做对了:3.14×64+200=400.96(米)。第二例:一道奥林匹克竞赛题,求阴影甲比阴影乙的面积大多少平方厘米。一个平时学习一般的学生看了题后脱口而出正确结果:大3平方厘米。令我大吃一惊:不仅正确,而且迅速。第三例:仍是一道奥林匹克竞赛题:正方形面积为1,E、F为边的中点,G为FC的三等分点,求阴影部分的面积。这道题的正确率很低,但一位平时成绩一般的学生出人意料地做对了:     

这道习题为何算错?

一道习题是:“一半圆形红盖半径为O.5米,求周长”.学生解答时,大多将其计算为“0.5×3.14×2÷2=1.57(米)”(2πr÷2),而不计算为“0.5×3.14×2÷2 0.5×2=2.57(米)”     

巧解求积

有这样一道求阴影部分面积的题,如下图(单位:厘采)。学生的解题思路是:两个小半圆的面积加上直角三角形的面积,再减去大半圆的面积。列式为: 3.14×(6/2)~2÷2 3.14×(8/2)~2÷2 6×8÷2-3.14×(10/2)~2÷2     

这道题出得不对

《圆的面积》教学之后,一位教师出了个综合题给学生练习: “求下图(图1)中阴影部分的面积(单位:分米)。”这位教师的命题,意图十分清楚:在一个等腰梯形中,画了一个内切圆,让学生综合运用梯形面积公式和圆面积公式,来求阴影部分的面积。也就是让学生这样列式计算: (6 10/2)×8-π(8/2)~2=64-μ3.14×4~2=……     

引导学生在巧解中领悟技巧例谈

第1题 求图一阴影部分的面积。(单位:厘米) 先让学生练习,开始有相当一部分学生是这样想的:AB上面阴影部分的面积等于半圆的面积减去三角形面积,AB下面的阴影部分的面积等于梯形的面积减去半圆的面积,最后把两次算得结果相加。列式计算为 〔3.14×5~2×1/2-(5×2)×5÷2〕 〔(5×2 20)×5÷2-3.14×5~2×1/2〕 =3.14×5~2×1/2-(5×2)×5÷2 (5×2 20)×5÷2-3.14×5~2×1/2 =(5×2 20)×5÷2-(5×2)×5÷2 =75-25 =50(平方厘米)     

尊重猜想守望发现——从“圆环面积”的计算谈起

<正>【案例回顾】苏教版五年级下册《圆的面积公式的应用》有一块关于"圆环的面积"的教学内容,笔者在2013年与平行班的老师一起执教了这个内容。记得很清楚当时在做完练习后,隔壁五(3)班的一位同学向我讨教了一个问题,具体情况如下:原题:在一个直径是9米的圆形鱼池外,修一条宽1米的环行小路,这条小路的面积是多少?解法:9÷2=4.5米)4.5+1=.5.5(米)3.14×5.52-3.14×4.52=3.14×(5.5+4.5)×(5.5-4.5)=3.14×10×1=31.4 m2答:这条小路的面积是31.4平方米。     

小议解决“图形剪割问题”的策略

正一、缘起在一次教学流程检查中,有这么一道题(浙江教育出版社出版的人教版教材配套使用作业本六下42页):为庆祝元旦,三(1)班同学做小红旗(如图)(图是一个腰为2分米的等腰直角三角形)。现在有一张长1.4m、宽0.9m的长方形卡纸,最多可以做这样的小红旗多少面?大部分学生是这样解答的:1.4米=14分米,0.9米=9分米,14÷2=7(个),9÷2=4(个)……1(分米),7×4×2=56(面)。答:最多可以做这样的小红旗56面。教师对此种解法的批改是一个大大的"√"。也有小部分学生解答为:1.4米=14分米,     

一道数学题中蕴含的规律

例题:一张长6.28米,宽1.2米的铁皮,加工成一个圆柱后,它的体积是多少?读读此题便知有两个答案,见下图:长6.28米a宽1.2米b高1.2米高6.8米底面周长6.28米底面周长1.2米V1V2一、体积相等吗?图2的体积:3.14×〔6.28÷(3.14×2)〕2×1.2=3.768(立方米)图3的体积:3.14×〔1.2÷(3.14×2)〕2×6.28=0.72(立方米)通过计算,两种情况体积不相等,且得出把宽作为高时的体积,比把长作为高时的体积大。二、大多少?有规律吗?可以用代数方法加以证明。一张长为a,宽为b的铁皮,加工成一个圆柱后,它的体积是多少?V1=π×〔a÷(π×2)〕2×b=a2b4πV2=π×〔b…     

在“变题”中把思维引向深入

正一、案例在"圆的周长"的综合练习课上,笔者设计了下面这道题:求下列图形的周长(如图1)。在交流中,学生想到了以下这种思路,把"要求的周长"分成"两个部分"来思考(如图2)。生1:细线周长:2π×4÷2=12.56(m);粗线周长:π×4=12.56(m);图形周长:12.56+12.56=25.12(m)。     

引领学生经历知识的建构过程——一道测试题引发的反思

思考题:一个圆形纸片沿半径剪开,拼成一个近似的长方形,长方形的长是12.56cm,求这个圆形纸片的面积. 从六年段七个班300多份试卷来看,能正确解答此题的学生不足60%,且多是这样解答:12.56×2=25.12(cm),25.12÷3.14÷2=4(cm),3.14×42=50.24(cm2);只有少部分学生这样解答:12.56÷3.14=4(cm),3.14×42=50.24(cm2)或12.56×4=50.24(cm2).除此之外,均是错解,或是解不出来.     

对一道电学题答案的商讨

原题:在图1(1)所示电路中,其U—I图线如图1(2)所示,求滑动变阻器的阻值范围。若电路改为如图1(3)所示,R_0=4欧,变阻器阻值范围如前所求,求安培计读数的变化范围。本题的参考答案是:1.67安≤1≤2安。对此,笔者认为欠妥。现讨论如下: 由ε=U_1+I_1r=U_2+I_2r得, r=(U_1-U_2)/(I_2-I_1)。由图象可知 r=(8-0)/(10-2)=1(欧), ∴ε=U_1+I_1r=8+2=10(伏)。     

一道练习题的简便解法

贵刊1983年第6期刊载了张学霖同志的文章《组合图形面积计算练习课初探》,其中有这样一道习题:如图1,圆O中,直径AD长8cm,ABCD是直角梯形,BC=12cm,EF⊥AD,求阴影部分面积。(π取3.14)     

感生电动势只分布在变化磁场内吗?

1问题的提出习题课上笔者出示了这样一道题:题1.如图1所示,用均匀导线做成的矩形线框abcd,且bc=2ab,ab=0.2m,线框的一半放在指向纸面向里的匀强磁场里.当该磁场以10T/s的变化率均匀增加时,求线框中e、f两点的电势差的大小.图1图2很多学生是这样分析的:整个回路的感生电动势为:E     

一道考题的解题思路探究

<正>一、问题呈现题目如图1,设椭圆x~2/a~2+y~2=1(a>1) .(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a、k表示);(2)若任意以A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.本题是笔者所在学校的一道考题,选自2016年高考数学浙江卷理科第19题.考后统计发现此题得分率非常低,尤其是第(2)问,绝大多数学生因此问涉及的字母多,运算量     

一个教学片段的背后

下面是六年级下学期一节复习课的片段: 师:用字母表示出乘法分配律. 生:(a+b)c=ac+bc. 师:计算下面几道题,能简算的要简算. (1)3.52×1.7+1.7×6.48 (2)15.26×7.3-5.26×7.3 (3)89×101-89 (4)18×(1/2+4/9) (5)(48+64)÷16 (6)18÷(1/2+9/10) 第(1)～(4)题学生运用乘法分配律进行计算,正确.第(5)题,全班45人中,有35人计算如下:(48+64)÷16=48÷16+64÷16=3+4=7.第(6)题,有30人是这样计算的:18÷(1/2+9/10)=18÷1/2+18÷9/10=36+20=56.     

78.5%的妙用

五年制小学数学第十册第一单元有这样一道题:要在边长为2分米的正方形铁皮内剪一个最大的圆制造零件,这个圆的面积是多少?求铁皮的利用率。 根据题意,这个最大圆的半径就是这个正方形边长的一半。即1分米;要求铁皮的利用率,即是求圆面积占正方形面积的百分之几? S_圆=n×1~2≈3.14(平方分米) S(正方形)=2×2=4(平方分米) (π/4)×100％≈78.5％ 答:这个圆的面积是3.14平方分米;铁皮的利用率是78.5％。 由此可以得出:在正方形内剪一个最大的圆,圆的面积占正方形面积的78.5％。     

让课堂“差错”演绎精彩

一、善待差错——让学生拥有自信在复习平面图形的面积计算时有这样一道题:一个梯形的上底是2.5米,下底是4.5米,高是2米,求梯形的面积。一个学生解答:2.5+4.5=7(平方米)。这种解法引发了学生的一阵笑声,使得这位学生十分窘迫。教师没有将这种解法一棍子     

对教科书编写的一道例题的思考

西师版义务教育课程标准实验教科书六年级上册第32页编写了这样一道例题(原文抄录如下): 例3修建一个半径是30m的圆形鱼池,它的占地面积是多少平方米? S=πr2 =3.14×302 =3.14×900 =2826 答:它的占地面积是2826m2. 笔者在教学前端研究教材时,分析了该例题所在的《圆的面积》这章内容:例1通过估、数等直观操作,感知半径是r的圆的面积是边长为r的正方形的面积的3倍多一些;例2在例1的基础上,通过分圆与拼近似平行四边形,运用转化、极限的思想方法,推导出圆的面积公式:S=πr2;例3是直接应用S=πr2解决实际问题(后略).可见,该例题编写的目的是加深学生对圆的面积公式的理解和运用圆的面积公式解决实际问题,这是无可厚非的.但是,根据题意,求鱼池的占地面积应该是准确值;解题过程从S=πr2到3.14×302这步是用等号连接且得数没有带单位;此三处经过反复推敲、思考、研究,笔者认为欠妥,现提出以飨读者!     

聚焦圆柱表面积

一、分清所求的表面积是哪部分的面积例1,一台压路机的滚筒的横截面直径是1米,它的长是2米。这台压路机转动一周能压路多少平方米?我是这样解的。压路机滚筒是圆柱形的,"它的长是2米"实际上指圆柱的高是2米。压路机滚筒在路面上滚动,相当于把它的侧面展开后平铺在路面上。所以求压路机转动一周压路的面积,就是求滚筒的侧面积。算式为:3.14×1×2=6.28(平方米)。这台压路机转动一周能压路6.28平方米。     

这题错在哪里?

一道习题:求下图阴影部份的面积(单位:米)。一部份学生直接算,得6×8×1/2=24(平方米);另一部份学生用大三角形面积减梯形面积,得(6 2)×(8 4)×1/2-[6 (6 2)]×4/2=20(平方米)。硒种算法都有道理,计算也无错误,为什么得数不一样呢?经认真分析,原来大小两三角形相似,对