一元二次方程的整数根

在什么条件下,一元二次方程的根才是整数呢?下面几个定理部分回答了这个问题. 定理1 若首项系数为1的整系数方程x2+px+q=0(p、q为整数)的判别式Δ=p2-4q为一个完全平方数,则方程的根为整数.反之,亦成立. 这个定理可用反证法来证明,这里从略.只强调一点:对首项系数不     

二阶变系数齐次线性方程的求解问题

二阶变系数齐次线性方程:d2ydx2 p(x)ddyx q(x)y=0,(其中p(x),q(x)c′)……(1)与相应的黎卡提方程:ddxy p(x)y y2 q(x)=0……(2)的解之间存在着重要的关系,即定理1和定理2,开辟了方程(1)和(2)关系研究的途径,并作出了九个推论,其中若干个重要的结论与文[1]中结论相同。     

有理系数一元二次方程有理根的求法

要判别有理系数一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)有无有理根,只要看它的判别式△=b~2-4ac是不是有理数的完全平方。如果a、b、c是常数,由△是否是平方数立刻可以求得,如果a、b、c不是常数,它的判别式含有参数t,当△=pt+q(p≠0)时,只要令pt+q=k~2,k是有理数,便得t=(k~2-q)/p,原方程根就是有理根,当△=pt~2+qt+k (p≠0)时,问题就没有那么简单了。本文就这种情况介绍求有理系数一元二次方程有理根的方法。预备知识第一,如果p为有理数的完全平方,即p=m~2,可设pt~2+qt+k=(mt±n)~2,整理化简得t=(n~2-k)/(q±2mn),即当(?)的有     

有两项相等且满足a_(n+1)=p+q/a_n的数列的分类

文 [1 ]中给出了满足递推关系an+1 =p+ qan( 1 )(其中 p 为非零常数 ,q为正常数 )的数列{an}的通项公式 ,并据此证明了当此数列有两项相等时 ,其必为常数列 .下面我们将取消“p为非零常数 ,q为正常数”这一限制而考虑更广泛的情形 ,得出有两项相等且满足(1)的数列的完全分类 .主要结论是 :定理 1设 (实或复 )数列 {an}满足( 1 )且 a1 =a(≠ 0 ) ,其中 p,q为常数且 q≠ 0 ,方程 x=p+ qx的两根 (称为数列 {an}的特征根 )为 x1 和 x2 ,则当 p2 + 4q≠ 0即 x1 ≠ x2时 ,{an}的通项为an=( a- x2 ) xn1 - ( a- x1 ) xn2( a- x2 ) xn- 1 1 - ( a- x…     

一类线性微分方程解的有界性

本文用文[1]的方法,研究了方程 x″(t)+[p1(t)+p2(t)]x′(t)+[q1(t)+q2(t)]x(t)=0在[a,∞)上的解的有界性问题,扩充了文[1]的有关结论,主要结果是定理1—3,以及定理5。其次,对于二阶非线性非驻定系统V函数的构造,本文也扩充了[6]中某些结果(见定理6—7)。     

一类二项系数求和通法

本文利用二项式定理探讨二项系数列的一类子列的求和问题,从而得出一类二项系数的求和公式,为此,我们给出如下定义: 定义对于二项系数列C_n~0,C_n~1,C_n~n,先从最左边开始取第p(p∈N)项作为子列的第一项以后每隔r-1(r∈N,p≤r≤n)项取一项依次作为子列的第二项、第三项,…直到取尽为止,得到二项系数列的一个子列: C_n~q,C_n~(q r),C_n~(q 2r),…称为二项系数列的一个r步子列。     

x^2＋（p＋q）x＋pq型式子的分解

形如x^2＋（p＋q）x＋pq的二次三项式,常用分组分解法分解：x^2＋（p＋q）x＋pq=x^2＋（p＋q）x＋pq=（x^2＋px）＋（qx＋pq）=x（x＋p）＋g（x＋p）=（x＋p）（x＋q）．当p=q时,这个二次三项式相当于完全平方式x^2＋2px＋p^2或x^2＋2qx＋q^2通过观察可知,二次项的系数是1,常数项是两个数之积,一次项系数是常数项的两个因数之和．一次项系数的规律是：常数项是正数时．     

再求an=can-1＋d/aan-1＋b的通项

文[1]给出了形如an=acaann--11 bd的递推关系的数列通项的求法,拜读以后颇受启发,本文从另一途径给出此类问题的另一求法.定理1:已知数列{an}的a1以及an=pan-1 q(n≥2,n∈N*)则(1)当p=1时,an=a1 (n-1)q(2)当p≠1时,an=(a1 p-q1)pn-1-qp-1为了节约篇幅,此定理的证明这里从略.定     

高次多项式因式分解的几种方法

因式分解在中学数学中占有一个比较重要的位置,但大部分同学对高次多项式的因式分解却比较陌生.这里,我们对一些高次多项式的因式分解的方法作分析介绍. 1 高次多项式因式分解的一般方法 首先,先介绍下面两个定理. 定理1 设111()nnnnfxaxaxax--=+++L 0a+是一个整系数多项式,如果有理数/vu是它的一个根,其中u与v互素,则|nua,0|va.特别地,当1na=时,()fx的有理根都是整数,且为常数项0a的因数. 证明 因为/vu是()fx的根,故uxv-整除()fx,设 1110()()()nnfxuxvbxbxb--=-+++L,① 则比较两端n次项系数和常数项,得: 100,()nnaubavb-==-. …     

一个思路 六类试题

一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是揭示根的性质、根与系数之间的内在联系的两个重要定理 ,也是国内外各级各类数学竞赛中经常测试的知识交汇点。笔者研究发现 :先将题设条件适当变形 ,逆用韦达定理构造相应的一元二次方程 ,后根据其实数根的判别式不小于零列出不等式 ,再以解不等式为突破口常可解决多类赛题。一、求方程中的字母系数例 1:设 x2 - px q=0的二实根为 α,β;而以α2 ,β2为根的二次方程仍是 x2 - px q=0 ,则数对( p,q)的个数是。解 :由根的判别式 ,得 p2 - 4 q≥ 0 ,1由韦达定理 ,得 α β=p,αβ=q,∴ α2 β2 =(…     

从能量角度研究谐振动问题

1 谐振动的能量方程我们知道,广义位移 q 满足下面微分方程的运动称为谐振动:q ω~2q=0,其中,方程的第一项是位移对时间的二阶微商,第二项是位移项,它的系数是一个常量,这个常量恰好是谐振动的圆频率的平方。因此,研究谐振动的周期,就应推出符合(1)式形式的运动微分方程,从而得到谐振动的频率和周期。在一般的普通物理教科书中,研究力学方面的谐振动,都是从动力学的角度出发,先得出物体受到的合外力或合外力矩,然后利用牛顿第二定律或刚体转动定理,推出位移或角位移满足的微分方程。以     

关于一元五次方程求实根的方法研究

本文研究一元五次方程求实根的方法。若五次方程有一个有理根,则通过最高次项系数和常数项的因子之商可找出全部有理根,进而可求出所有解;若无有理根,则采用二分法可求出其中一个实根的近似值。     

方程中的函数思想 函数中的方程观点

方程是中学数学的重要知识点 ,函数是高考和竞赛的热点 ,许多方程问题常常运用函数思想解决 ,而数学中不少函数问题往往转化为方程解决 .因此 ,在解决一些函数和方程问题时 ,既要善于运用函数思想解决方程问题 ,又要学会灵活运用方程的观点去观察、处理函数问题 .本文举例说明如下 .1　方程中的函数思想例 1　已知实数 p,q满足方程 lg( lg3p)= lg( 2 - q) + lg( q+ 1 ) ,求 p的取值范围 .简解　可将 p表示成 q的函数 ,从而转化为求函数的值域 .∵lg3p=( 2 - q) ( q+ 1 ) ,∴ p=3(2 - q) (q+1 ) 　 ( - 1 相似文献   

一定二通三性四法谈二项式

二项式定理是排列、组合知识应用的重要方面 .又是发现推导新的组合恒等式的重要途径 .二项式定理应用的主要方面有 :求展开式中的某一项或某一项系数的问题 ,求所有项系数的和或者奇数项、偶数项系数和的问题 ,求二项式某一项中字母的值的问题 ,求近似值的问题等等 .下面我们就其基本知识方法和作了一些归纳 ,希望对同学们有所帮助 .基本知识 :(一定 )即二项式定理本身 :( a + b) n =C0nan + C1nan- 1b +… + Crnan- rbr +…+ Cnnbn ( n∈ N * )(二通 )即通项公式 :Tr+ 1=Crnan- rbr( 0≤ r≤ n)(三性 )即二项式系数性质 :( 1)对称性 :…     

整系数方程有理根的表格求法

任何有理系数方程f(x)=0都可以用它的系数的分母的最小公倍数K乘以这个方程的两边,把原方程变形为整系数方程Kf(x)=0。显然,方程f(x)=0与方程Kf(x)=0有相同的根。因此,要研究有理系数方程有理根的求法,只需研究整系数方程有理根的     

研究解方程题的新思路

一、关于一元二次方程根与系数的新思路对于数学求解问题,最主要的解决手段是方程,而方程就需要等式,对于一元二次方程的根与系数问题,可以从方程的角度来认识,我们来看：一元二次方程：x^2＋px＋q=0,（ax^2＋bx＋c=0,a≠0,可以化成这种形式）的根设为x1、x2,方程本身就是一个等式,它反映的是根与p、q之间具有的数量关系,再由韦达定理得：x1＋x2=-P,x1·x2=q．     

有两项相等且满足an+1=p+q/an的数列的分类

文[1]中给出了满足递推关系 an+1=p+q/an (1)(其中p为非零常数,q为正常数)的数列{an}的通项公式,并据此证明了当此数列有两项相等时,其必为常数列(各项均相等). 下面我们将取消"p为非零常数,q为正常数"这一限制而考虑更广泛的情形,得出有两项相等且满足(1)的数列的完全分类.主要结论是:     

利用韦达定理和判别式解一类竞赛题

对于含有形如 m n=p,mn=q 的一类竞赛题,可先用韦达定理构造一元二次方程 t~2-pt q=0,然后再用判别式来解决.下面举例说明.例1 方程组的实数解的组数是( )     

韦达定理和判别式相结合

设实数x_1、x_2为方程x~2-px q=0的两实根,则由韦达定理有x_1 x_2=p,x_1x_2=q,又上述方程的判别式Δ=p~2-4q≥0。 把韦达定理(及其逆定理)和根的判别式相结合,可以解决很多类型的问题。 一、求取值范围 例1 实数a、b、c满足a~2-bc-6a 3=0,b~2 c~2 bc-2a-1=0。     

至少有一个方程有实根问题的正面解法

先看下面三道题:(1)如果一元二次方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,求实数a的范围.(2)已知p1p2=2(q1+q2),试证方程x2+p1x+q1=0和x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.(3)若一元二次方程x2+ax+b=0,x2+bx+c=0,x2+cx+d=0的系数满足等式:bc+2d=(a-2)(b+c),则三个方程中,至少有一个方程有实根.这几道题属于“至少存在问题”,数学竞赛中常常见到.这类题若从正面考虑,大家认为几个方程中“至少有一个方程有实根”的情况复杂,解答易错.所以有关书刊及资料上介绍的解法都采用的是反证法,其思路是这样的:假定三个…