学会探究——一道高考创新题的点评与拓展

题1 函数y＝f(x)的图象与直线x＝a,x＝b及x轴所围成的面积称为函数f(x)在[a,b]上的面积.     

复合函数单调性结论的推广及应用

本文将推广关于复合函数单调性的结论,并得到用换元法来解决较为复杂函数的单调性的一般方法．关于复合函数的单调性,大家已熟悉如下结论:若y=f(x),x=g(t),x∈[m,n],t∈[a,b]都是单调函数,则复合函数y=f[g(t)]也是单调函数,并且当外层函数y=f(x)在[m,n]上为增     

对高中教材一个传统命题及证明的商榷

文 [1]第 4 6页总复习参考题第 7题和文 [2 ]第88页复习参考题七B组第 3题是 :把函数 y =f(x)在x =a及x =b之间的一段图象近似地看作直线 ,设a c b ,证明 f(c)的近似值是f(a) +c-ab -a[f(b) - f(a) ] .文 [3]第 14 8页和文 [4 ]第 55页给出的参考解答是 :证明　设函数 y =f(x)的图象上两点A、B的坐标分别为 (a ,f(a)、(b ,f(b) ) .由两点式得直线AB的方程为y-f(a)f(b) - f(a) =x -ab -a,即 y =f(a) +x-ab -a[f(b) - f(a) ] . ( 1)在 y =f(x)的图象上任取一点P(c ,f(c) ) (c∈ [a ,b] ) ,因为 y =f(x)的图象可以近似地看作直线 ,所以将…     

关于Hadamard不等式的条件

一、引言设函数 y=f(x)在闭区间[a,6]上连续,则有 Hadamard 不等式.1°当 y=f(x)在[a,b]上下凹时有(b-a)f(a) f(b)/2≤∫_a~bf(x)px≤(b-a)f(a b/2);(1)2°当 y=f(x)在[a,b]上上凹时,有(b-a)f(a b/2)≤∫_a~bf(x)dx≤(b-a)f(a) f(b)/2 (2)式中等号当且仅当 y=cx d(c、d 均为常数)时成立.在现有的一些材料[1]、[2]]上,都假定了 f(x)的二次可微条件,其实,二次可微条件是多余的,就连一次可微条件也是不必要的.Vasic′,P.M.和 Lacko ic′,I。B在假定 y=f(x)二次可徽的条件下,推广了上述结果:     

关于导函数极限的研究

1导函数f′(x)在x=x0处的极限与函数y=f(x)在x=x0处的可导性定理1若函数f(x)在(a,b)内连续,在(a,b)中除点x0外处处可导,且li mx→x0f′(x)存在,那么函数y=f(x)在x=x0处可导,且f′(x0)=lxi→mx0f′(x).证明:任取异于x0的x∈(a,b),在[x0,x]或[x,x0]上应用lagrange中值定理,有f(xx     

函数在开区间内存在零点问题的错解分析

解决函数零点存在问题常使用函数零点存在定理:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.但这个定理的逆命题是不成立的,即函数y=f(x)在开区间(a,b)上有零点,则f(a)f(b)<0不一定成立,所以定理中的条件仅是函数f(x)在(a,b)上有零点的充分条件,而不是充要条件.     

关于函数图象对称性的几个重要结论及应用

结论1设a、b为常数,则函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x=a+b/2对称的充要条件是:对任意实数x,都有f(a+x)= g(b-x)．证明:(1)充分性:设点P(a+x0,y0)是函数y=f(x)的图象上任意     

黎曼引理的推广及应用

黎曼(Riemann)引理是人们较为熟知的一个命题,本文拟将该命题给予推广,推广后的命题,应用于解决一些特型的定积分的极限问题非常便利。 1°Riemann引理及推广命题 Riemann引理 设函数f(x)在[a,b]上可积并绝对可积,则 (?)integral from n=a to b(f(x)sin(nx)dx)=0。 推广命题1 设函数f(x)在[a,b]上可积并绝对可积,则 (?)integral from n=a to b(f(x)sin~2(nx)dx)=1/2integral from n=a go b(f(x)dx),     

浅谈函数零点的有关问题

<正>一般地,使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点.因此,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根.从图象上看,函数y=f(x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标.一般地,若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线且f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.我们经常会遇到函数与方程的有关问题,下面我们看这样几个题目.     

有关函数的模拟题

一、选择题1.下列各组函数中,表示同一函数的是A.y=1,y=xx B.y=!x-1×!x 1,y=!x2-1C.y=x,y=!3x3D.y=｜x｜,y=(!x)22.设f(x)=x 1,x>0,π,x=0,0,x<0,"$#$%则f｛f[f(-1)]｝=A.π 1B.0C.πD.-13.如果偶函数f(x)在[a,b]上具有最大值,那么该函数在[-b,-a]上A.有最大值B.有最小值C.没有最大值D.没有最小值4.已知函数f(x)满足f(ab)=f(a) f(b),且f(2)=p,f(3)=q,则f(72)=A.p q B.3p 2q C.2p 3q D.p3 q25.已知函数f(x)在区间[-2,3]上是增函数,则函数y=f(x 5)的递增区间是A.[3,8]B.[-7,-2]C.[0,5]D.[-2,3]6.已知二次函数f(x)=x2 x a(a>0),若f(m)…     

求函数值域常用的八种方法

本文讨论求函数值域的八种方法:一、利用函数的单调性求值域若函数y=f(x),x∈[a,b]是单调函数,则函数y=f(x)的值域是[f(b),f(a)]或[f(a),f(b)]。     

周期函数的三个定理及应用

文阐述了周期函数的两个定理及其应用,读后很有启发,但就该文讨论的函数结构关系式来说却不够全面、深刻.本文根据文[1]的思考方法,从直线、点、直线与点三个方面对周期函数的性质进行了探讨,得出以下三个定理,作为文[1]的补充说明. 对于函数y=f(x),x∈R,有定理一如果函数f(x)的图象关于直线x=2/1(m+n)和x=1/2(a+b)(m+n相似文献   

零点定义及零点定理的运用

零点定理是必修1(人教版)的内容,是新教材新增的一个重要定理,有着广泛的应用.什么是零点呢?对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.零点定理:如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且满足f(a).f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c     

平均值函数的极值问题

对[1]、[2]中在[a，b]上的可积函数f(x)的平均值函数F(x)={1/x-a∫a^x f(t)dt x∈(a,b) f(a) x=a的极值问题提出了改进。     

一些初等函数值域的求法

一、利用函数的单调性求值域如果y=f(x),x∈[a,b],是单调函数,则由函数的单调性可知y=f(x)的值域为[f(a),f(b)]。例1.已知:y=lg(x+1)+5,x∈[0,99]。求函数的值域。     

解不等式恒成立问题的几种常用方法

一、变换主元法给定一次函数y=f(x)=ax b(a≠0),若y= f(x)在[m,n]内恒有f(x)＞0,则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于     

定积分中值定理的一个推广

函数f(x)(?)(x)和g(x)(?)(x)分别在[a,b]上连续,在(a,b)内(?)(x)≠0则必存在一点ξ∈(a,b)使得g(ξ)integral from n=1 to ab f(x)(?)(x)dx=f(ξ)integral from n=1 to b(a)g(x)(?)(x)dx成立.这个结论对于多个函数对f_i(x)(?)(x),i=1,2,…,2n也成立.     

例说零点存在性定理在解题中的应用

零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线,并且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.传统的函数零点存在性定理的考查,如:     

判别函数图象对称性的一组命题及应用

常用于判别函数图象对称性的命题可归纳如下:命题1　若函数y=f(x)满足f(a x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=a b2对称.证　在y=f(x)图象上取A(a x0,y0),B(b-x0,y0),则AB中点为(a b2,y0),且对任一x0都成立,由x0任意性可知f(x)的图象关于直线x=a b2对称.推论1　若函数y=f(x)满足f(a ωx)=f(b-ωx),则y=f(ωx)关于x=12ω(a b)对称,即y=f(x)关于x=a b2对称.证　设ωx=t,则f(a t)=f(b-t),从而函数y=f(t)关于t=a b2对称,即y=f(ωx)关于直线x=a b2ω对称,或y=f(x)关于直线x=a b2对称.命题2　函数y=f(x)若满足f(a x)=-f(b-x),则y=f(x)的图象关于…     

与反函数有关的图象平移(高一)

本文从定理入手,探讨与反函数有关的图象平移问题,与大家共同学习. 1.定理若函数y=f(x)的反函数为y=g(x),则函数y=f(x c)(c∈R)与y=g(x)-C的图象关于直线y=z对称. 证明设P(a,b)是函数y=f(x c)上任意一点,则b=f(a c) ①而点P(a,b)关于直线y=x的对称点为Q(b,a).因为函数y=f(x)的反函数为y=g(x),由①,得 a c=g(b),a=g(b)-C,所以点Q(b,a)在函数y=g(x)-c的图象上.