三角形分角线性质定理及应用

容易证明如下定理: 定理如图,D为△ABC的边BC(或其延长线)上任一点,则BD/DC=AB·sin∠BAD/AC·sin∠CAD。证明:在△ABD与△ACD中,分别由正弦定理,得BD/in∠BAD=AB/sin∠BDA ①DC/sin∠CAD=AC/sin∠CDA 又∠BDA ∠CDA=180°(或∠BDA=∠CDA)。∴sin∠BDA=sin∠CDA ① ②,即得     

从三角知识解平几题

初三学生学过锐角三角函数定义和正弦定理、余弦定理后,在复习小结时,若能将这些三角知识运用于解平凡题,则一方面可以让学生加深对这些三角知识的理解和掌握,另一方面可以激发学生的学习兴趣,使解平几题多一种方法,提高解题能力。 用三角知识解平几题,其要领就是把平几问题归结为三角形中的边角关系,进而转化为三角函数式的运算问题去解决。可以不作或少作辅助线,思路清楚,关系明显,运算简单,收到事半功倍的效果。下面举例说明。 例1 △ABC中,E是内心,∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D,求证:BD=CD=DE。 证 如图1,△ABD的外接圆和△ACD的个接圆是同一个圆,设其半径为R,设∠BAD=∠CAD=α,∠EBA=∠EBC=β。在△ABD和△ACD中,由正弦定理得BD=2Rsinα,CD=2Rsinα,∴BD=CD。 在△BDE中,由正弦定理得:BD/sin∠BED=DE/sin∠DBE∵∠BED=α+β,∠DBE=∠CBD+β,而∠CBD=∠CAD=α,即∠DBE=α+β,∴sin∠BED=sin∠DBE,∴BD=DE,故BD=CD=DE。     

三角形分角线及其应用

大家知道,在△ABC中,若AD是∠A的平分线,则面BD/DC=AB/AC,若D为BC边上任意一点,由正弦定理,得在△ABC中,BD/AB=sinα/sinγ, 在△ACD中,DC/AC=sinβ/sin(180°-γ),两式相除得BD/DC=AB·sinα/AC·sinβ。     

数学奥林匹克问题

初21.如图,设D是锐角△ABC内部一点,使得∠ADB-∠ACB=α,并有AC·BD=AD·BC。求证: (AB·CD)/(AC·BD)=2sinα/2。     

一道三角问题的命题寻根

教材是教育专家集体智慧的结晶,是全国各省市高考命题的重要来源之一.将教材中的例题或习题进行纵向、横向深入探究、挖掘,命制出全新的题目,是高考命题回归教材理念的重要体现.图1例如图1所示,已知△ABC中,∠BAD=30°,∠CAD=45°,AB=3,AC=2,则BD DC=.正弦定理是解斜三角形问题的重要工具之一,问题条件中如果给出两边及一边的对角,即可应用此定理解题.本题的求解关键在于合理利用＂两角互补、正弦相等＂的结论进行等价转化.在此题根的基础上解答题目就显得清晰自然了.在△ABD中,由正弦定理得BD sin∠BAD=AB sin∠ADB.     

2004年全国高中数学联赛加试第一题解法探讨

例　在锐角三角形ABC中 ,AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H ,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点 ,FG与AH相交于点K .已知BC= 2 5,BD =2 0 ,BE =7,求AK的长 .1　解法思路分析如图 1,由于G、D、E、F ;C、D、E、B分别四点共圆 ,所以GF与DE逆平行 ,DE与BC逆平行 ,所以GF∥BC ,故△AGF∽△ACB ,根据两个相似三角形的高之比等于相应边之比 ,得到计算AK的式子 ;另外一种很自然的思路是 ,在△AFG中应用张角定理 :sin∠GAFAK =sin∠KAFAG + sin∠GAKAF ,之后根据已知条件解直角三角形计算出相关的线段和角即可 ,…     

巧用角平分线性质证明

角平分线是指把一个角分成两个相等的角的射线.关于角平分线具有如下重要的性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.对于一些含角平分线条件的证明问题,巧用这个性质,能简化解题过程,达到事半功倍的效果例1如图,△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D,且BD=CD,DE、DF分别垂直于AB、AC,垂足为E、F,求证:EB=FC.证明:∵AD平分∠BAC,又DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∴DE=DF.在△BDE和△CDF中,∵∠DEB=90°,∠DFC=90°,DE=DF,BD=CD,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC例2如图,△ABC中,O为∠A、∠B平分线的交点,OD⊥BC于D,OE⊥…     

巧构全等三角形证题例说

1.巧构全等三角形证线段相等例 1.已知 ,如图 ,AB=DE,直线 AE、BD相关于点 O,∠ B与∠ D互补。　　求证 :AO=ED。证明 :过点 A作 AC∥ DE交 BD于 C,则∠ D=∠ 2。∵∠ 1 ∠ 2 =180°,∠ B ∠ D=180°,∴∠ 1=∠ B,∴ AB=AC,∴ AB=DE=CA。在△ ACO和△ EDO中 ,∠ AOC=∠ EOD,∠ 2=∠ D,AC=DE;∴△ ACO △ EDO( AAS) ,∴ AO=ED。2 .巧构全等三角形证角相等例 2 .已知等边△ ABC的边长为 a,在 BC的延长线上取一点 D,使 CD=b,在 BA延长线上取一点 E,使 AE=a b。求证 :∠ ECD=∠ EDC。证明 :过 E作 EF∥ AC…     

初三结课几何质量检测题

一、填空题（每小题3分,共30分）1.在△ABC中,∠A=30°,且∠A ∠C=2∠B,则sin C=_.2.计算:2sin30°-2cos60° tan45°=_.3.已知半径为6cm的圆中,垂直平分半径的弦长为_cm.4.圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:4:     

5月份《30分钟智力冲浪》参考答案

1 .3 6.　 2 .1 5或 1 7.　 3 .正确 .　 [提示 ]　 ( 1 )先说明△ABE ≌△DCF;( 2 )再由△DCE≌△ABF得　AF=DE ,再说明△AEF≌△DFE ,有∠AFE =∠DEF .　 4.( 1 )AE =CD .　 [提示 ]在Rt△ACE与Rt△CBD中 ,AC =CB .　又因为∠EFC是直角 ,故∠BCD =90° -∠AEC =∠CAE .　可推得Rt△ACE ≌Rt△CBD .　 ( 2 )BD =8cm .　 5 .相等 .　理由 :连结BD、CE ,则在△ABD与△ACE中 ,　因为AB =AC ,AD =AE ,∠DAB =∠EAC ,所以　△ABD ≌△ACE .故BD =CE ,∠DBA =∠ECA .　又在△ADC与△AEB中 ,因为AD…     

求解二倍角存在性问题的归一策略

<正>一、二倍角模型及基本思路对于任何类型题目的研究,我们要养成总结基本结构和基本性质的习惯.二倍角模型就是一例.二倍角问题核心条件就是题目中两个角有二倍关系,可以对二倍角进行平分和另一角相等,构成等腰三角形.如图1,在△ABC中,∠B=2∠C,如果作BD平分∠ABC,则△BDC为等腰三角形,易知△ABD∽△ACB.如图2,延长CB到点D,使AB=BD,则∠D=∠C,△ACD为等腰三角形,且△ABD∽△CAD.     

1994中国数学奥林匹克试题解答

一、证明 连接EF,在梯形AEFD中,显然有 sin∠AGD =sin∠DGF =sin∠EGF =sin∠AGE, (1) S_(△AGD)=S_(△AED)-S_(△AEG) =S_(△AEF)-S_(△AEG)=S_(△EGF)。(2) 由(1)和(2),有     

四边形面积的一个性质与若干数学竞赛题

定理凸四边形的两条对角线把四边形划分成的四个小三角形中,两组对顶的两个三角形面积之积相等. 证明:如图1,记∠AOB=α,△AOB、△COD△AOD、△BOC的面积分别为S_1、S_2、S_3、S_4,则由三角形面积公式有S_1·S_2=1/2AO·BO·sinα·1/2CO·DO·sinα,S_3·S_4=1/2AO·DO·sin(180°-α)·1/2BO·CO·sin(180°-α)故得,S_1·S_2=S_3·S_4。     

直角三角形的一个性质

经过研究,笔者现已得到:定理如果直角三角形的一个锐角平分线长与对边的比为2∶3,那么这个锐角为60°.已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,且BD∶AC=2∶3,求证:∠ABC=60°.证明:设∠DBC=θ,BD=2a,由BD∶AC=2∶3,知AC=3a.在Rt△DBC中,∠C=90°,所以CD=2asinθ,BC=2acosθ,所以AD=(3-2sinθ)a.过点D作DE⊥AB于点E.     

一个比赛命题的巧证

题 已知O为△ABC的外心,AO或AO的延长线交BC于M,求证:BM:MC=sin2C:sin2B。 此即《首届全国数学奥林匹克命题比赛精选》中的一题,本刊1995年第6期给出了简证,其实还有更绝的证法如下: 证 作BE⊥AM于E,作CF⊥AM于F,显然∠AOC=2B,∠AOB=2C,OA=OB=OC=R,∵△BEM∽△CFM,∴BE/CF=BM/MC,sin2C/sin2B=((1/2)R~2sin∠AOB)/((1/2)R~2sin∠AOC)=S_△AOB/S_△AOC=BE/CF,     

正弦和角公式的构造证法

证法 1　如图1,设∠BAD=α,∠ CAD=β(0 <α,β <π2 ) ,过 B作BD⊥ AD交 AC于C,则有cosα=ADAB,cosβ=ADAC.又∵S△ B A C=S△ B A D+S△ D A C,∴ 12 · AB· AC· sin(α+β) =12 AB·AD· sinα+12 AD· AC· sinβ.两边同时除以 12 AB·AC,可得sin(α+β) =ADAC·sinα+ADAB· sinβ=cosβ· sinα+cosα· sinβ.运用诱导公式 ,易证α,β不是锐角时 ,式子仍然成立 .图 2证法 2　如图2 ,设∠BAD=α,∠DAC=β(0 <α,β <π2 ) ,作 BD⊥AD交 AC于 C,作BE⊥ AC于 E,则有 ADAC=cosβ,BDAB=sinα,ADAB=…     

倍角公式的几何证明

本文给出二倍角、三倍角的正弦、余弦公式的一个几何证明,供参考.如图1.设 BC⊥AC,∠A=∠ABD=α,BD=1.则∠BDC=2α,BC=sin2α,DC=cos2α.在等腰△ABD 中,容易求     

有奖解题擂台(112)

<正>题设ABCD是一个圆的内接凸四边形,对角线AC和BD相交于点X,则四边形ABCD存在落在∠A或∠C内部的旁切圆(在四边形的外部与四边形的四边所在的直线相切)的充要条件是BX=BD·sin2B/2.     

托勒密定理·证明·应用(初三)

托勒密,2世纪希腊数学家.定理在圆的内接四边形ABCD中.AB·CD+BC·AD=AC·BD.证明如图1所示,在BD上找一点P,使∠1=∠2.于是在△ABP和△ACD中。     

等腰三角形一个判定方法的证明及应用

<正>等腰三角形具有"三线合一"的性质:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.如图1,在△ABC中,AB=AC,D是BC上一点.(1)如果∠1=∠2,那么AD⊥BC,BD=CD;(2)如果BD=CD,那么∠1=∠2,AD⊥BC;(3)如果AD⊥BC,那么∠1=∠2,BD=CD.上述性质中,共存在4个关系式:AB=AC,∠1=∠2,AD⊥BC,BD=CD.而改写后的每条性质都有两个条件,且都有一个条件是"AB=AC".反过来,在关系式∠1=∠2,AD⊥BC,