高中数学新教材第九章教学问答（二）

172 .怎样将“斜线在平面内的射影”的概念进行推广 ?答 :我们将“斜线在平面内的射影”这个概念也推广到以下三种情况 :( 1 )平面的斜线在这个平面内的射影 ,定义为“从斜线上斜足以外的任意一点向平面引垂线 ,过垂足和斜足的直线” ;( 2 )平面的垂线在这个平面内的射影 ,定义     

高中数学新教材第九章教学问答(二)

(续上期 )1 72　怎样将“斜线在平面内的射影”的概念进行推广 ?答 :我们将“斜线在平面内的射影”这个概念也推广到以下三种情况(1 )平面的斜线在这个平面内的射影 ,定义为“从斜线上斜足以外的任意一点向平面引垂线 ,过垂足和斜足的直线” ;(2 )平面的垂线在这个平面内的射影     

用空间角的三余弦等式妙解高考题

已知AO为平面a外的一条斜线（如图1）,A为斜足,OB⊥a,B为垂足,则直线AB是斜线AO在平面a内的射影．设AC是a内的任一直线,AO与AC所成角为θ,     

面面垂直性质定理的解题功能

一、求线面角的大小 "线角抓射影",如何作出斜线l在平面α内的射影,关键是在斜线l上选一点P(除去斜足O),过P找到或作出一平面β,使β⊥α,设α∩β=m,过P作PQ⊥m,由性质定理得PQ⊥α.     

三垂线定理的教学片断及其反思

1教学过程片断一:如图1,AB是平面α的垂线,AC是平面α的斜线,BC为斜线AC在平面α内的射影.教师:AB可以垂直平面α内的任意一条直线,斜线AC可以垂直平面α内的任意—条直线吗?AC能垂直平面α内的哪些直线呢?图1教师要求同桌两位同学协作,以桌面为平面α,三支笔分别代表垂线AB,斜     

立几课本中两个习题的结合运用

立几课本中第33页11题: 经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线,如果斜线和这个角两边的夹角相等,那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线. 立几课本中第122页第3题:AB和平面a所成角是θ1,AC在平面a内,AC和AB的射影AB'所成角θ2,设∠BAC=θ,求证:cosθ1·cosθ2=cosθ.(如图1)     

关于“斜线在平面上的射影”定义之质疑

关于斜线在平面上的射影,高中立体几何课本§1.10有这样一段话:“过斜线上一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影.……斜线上任意一点在平面上的射影,一定在斜线的射影上。”显然,省略号之前的一段话是作为定义,这里编者显然是把     

三余弦公式的实际应用

一、三余弦公式简介平面内的任意一条直线与这个平面的一条斜线所成的角的余弦值,等于这两条直线分别与该斜线在这个平面内的射影所成角的余弦值之积。如图1,设直线nα,斜线l在平面α内的摄影为m,l∩α=A,斜线l与平面α所成角为θ1,射影m与直线n所成角为θ2,斜线l与直线n所成角为θ,     

三垂线定理的教学片断及其反思

片断一：如图1，AB是平面α的垂线，AC是平面α的斜线，BC为斜线AC在平面α内的射影．(图中其余直线根据后面讲述需要再添)     

求斜线和平面所成角的四种策略

斜线和平面所成的角是高考的常考内容,怎样求斜线和平面所成的角的大小呢?本文介绍如下四种策略.1.利用定义一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角,叫做斜线和平面所成的角,寻找斜线和平面所成的角,要在斜线上任取一点作平面的垂线,垂足的定位至关重要.【例1】(2005年高考全国卷Ⅱ)如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E、F分别为CD、PB的中点.(Ⅰ)求证:EF⊥平面PAB;(Ⅱ)设AB=2BC,求AC与平面AEF所成的角的大小.(Ⅱ)解1,如图1,延长AE、BC相交于G,连结FG,则FG为平面PBC与平面AEF的交线,而证…     

巧用最小角定理

如图1,已知AO是平面α的一条斜线, A是斜足,OB垂直于α,B是垂足,则直线AB是斜线AO图1在平面α内的射影．设AC是α内的任一直线．设AO与AB所成的角为θ1,AB与AC所成的角为θ2,AO与AC所成的角为θ．则cosθ=cosθ1cosθ2．由此我们得到最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角,是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中的最小的角．     

直线与平面所成角的常用求法

直线与平面所成的角包含了直线与平面平行、直线在平面内和直线与平面垂直这几种特殊情况,这里主要是谈斜线与平面所成角的常用求解方法。 1 利用平面的垂线来确定 斜线的射影由斜线与平面所成角的定义知,确定斜线与平面所成角的关键是找出斜线在平面上的射影,从而由斜线上的一点（不同于斜足）向平面引垂线来确定斜线在平面上的射影就成了一种基本方法。     

一个美妙的立体几何题链

下面三题都是高中《立体几何(必修)》教材中的习题. 题目1 如图,AB和平面α成的角是θ_1,AC在平面α内,AC和AB的射影AB′,所成角为θ_2,设么∠BAC=θ.求证: cosθ_1·cosθ_2=cosθ.(P.117第3题) 题目2 经过一个角的顶点引这个角所在的平面的斜线.如果斜线和这个角两边的夹角相等,那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线.     

立几教学要注意分散难点——高考理科数学第四题阅后

今年高考理科数学第四题是立几计算题:“如图,设平面AC和BD相交于BC,它们所成的一个二面角为45°,P为面AC内的一点,Q为面BD内的一点。已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,并且M在BC上。又设PQ与平面BD所成的角为β,∠CMQ=θ(0°<θ<90°),线段PM的长为a。求线段PQ的长。”这题主要是考查立几中斜线在平面内的射影、二面角及其平面角、斜线与平面所成的角等重要概念和三垂线定理,考查空间图形的想象能力和综合运用知识的能力。这道试题实际是以课本第42页的例题为基础,加进斜线在平面内的射影、斜线与平面所成的角两个概念后略加变     

三面角公式及应用

在人教版《数学》第二册（下）直线与平面所成的角一节中有一个公式：cosθ=cosθ1cosθ2．如图1，AO是平面α的斜线，A是斜足，OB垂直于α，B为垂足，则直线AB是斜线在平面α内的射影．     

钻研基本图形培养解题能力

在教材中 ,不乏典型的基本图形 ,教学中如能加以研究 ,当能使知识的掌握更为牢固 ,方法的应用更加灵活 ,既能培养学生的探究创新能力 ,又能使学生享受到成功的喜悦 .下面举一例 ,加以说明 .1　基本图形的来源　　　　　　图 1在新教材第 4 4页中 ,有如下内容 :如图 1,已知AO是平面α的斜线 ,A是斜足 ,OB垂直于α ,B为垂足 ,则直线AB是斜线AO在平面α内的射影 .设AC是α内的任一条直线 ,AC ⊥OC ,垂足为C ,又设AO与AB所成的角为θ1,AB与AC所成的角为θ2 ,AO与AC所成的角为θ ,经过推导得到　cosθ=cosθ1·cosθ2 .图 1中 ,三棱…     

求线面所成角的几种常见方法

在立体几何教学中,有关角的计算是一常见内容.本文介绍求线面角的几种常见方法,供同学们学习时使用.一、定义法根据斜线和平面所成角的定义:一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成角,范围为θ∈(0°,90°).例1如图1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线BC1     

例析公式cosθ=cosθ_1cosθ_2的应用

斜线AB与平面α所成的角为θ1,A为斜足,AC在α内,且与AB的射影成θ2角,∠BAC= θ,则有cosθ=cosθ1cosθ2(*). 这个公式在新教材中要求学生掌握.笔者在教学实践中发现,学生对它的应用很不熟悉.本 文试图归纳它的几个应用.     

三垂线定理的教学设计

教学目的:掌握三垂线定理,从复习旧知到渗透新知识,使学生处新而不惊,于不知不觉中理解和掌握三垂线定理及其证明。 模式:观察实践——发现——证明——应用。采用师生共同问答式教学（下文中T代表教师,S代表学生） T:我们已学过平面的垂线、平面的斜线及斜线在平面内射影等知识,再来回忆一下: 什么叫平面的垂线?（先画一平面,再提问） S:与平面内所有直线垂直的直线叫平面的垂线。     

“直线外两点与直线上任一点距离之和最小”的空间推广

在平面几何中 ,经常碰到这样的问题 :“在平面上 ,已知直线 l外两点 A,B,在 l上求一点 P,使 PA PB的值最小”,利用“对称性”和“两点之间线段最短”即可解决问题 .而若把此问题推广到空间 ,如何求解呢 ?下文将作一探讨 .1　推广到空间问题 :在空间中 ,已知直线 l外两点 A,B,在 l上求一点 P,使 PA PB的值最小 .分析　若点 A,B和直线 l在同一平面内 ,则已解决 .下面研究点 A,B和直线 l不在同一平面上的情形 .先解决如图 1的问题 :简解　在 l上取两点C,D,使点 A,B在 l上的射影 A1 ,B1 在线段CD上 ,连结 AC,AD,BC,BD,构成如图 …