巧用“等体积法”解立体几何题

<正>所谓"等体积法",常见形式之一就是通过变换三棱锥(或四面体)的顶点、底面来求三棱锥(或四面体)的体积的方法.通过"等体积法"不但可以求出三棱锥体积,而且还可以求出点(或直线)到平面的距离,甚至还可以求出直线与平面所成的角以及二面角的平面角.运用"等体积法"时,往往不需要进行严格的探寻和推理过程,所以,往往能够从侧面迂回解决一些从正面较难下手的问题.特别是当点面距离和线面角、二面角的平面角等问     

四面体等积变换及其应用

四面体等积变换有以下四个命题:命题1(换顶Ⅰ)底面不变,顶点在平行于底面(或底面上的一条直线)的直线上变动,四面体体积不变.命题2(换顶Ⅱ)底面不变,顶点在平行于底面的平面上变动,面体体积不变.     

三棱锥体积公式的变形及应用

三棱锥底面与侧面的形状都是三角形,因此又叫四面体,可以将任何一个面叫做底面。众所周知,其体积计算法由下述定理表达: 定理:四面体的体积V等于底面积S与高h之积的三分之一,即V=1/3S×h ①若将公式①适当变形,有时用起来更方便,且能由此解决一些公式①很难直接回答的问题。如图一,我们将四面体的四个面及其对应的面积分别用同一字母S_i(i=1,2,3,4)表示,     

例说换底法求三棱锥的体积

求三棱锥的体积时,若底面积或高不易求出,则往往转换顶点和底面,然后进行计算求解,这种方法叫换底法,换底法是求三棱锥体积的一种常用方法,有意识地换底,进行合理的体积转换,往往有助于化难为易,化繁为简,使问题顺利得到解决。     

用等积法和割补法求多面体的体积

一、用等积法求三棱锥的体积我们总能够把多面体切割成若干个三棱锥,因此,求多面体的体积可以通过切割转化为求三棱锥的体积.可以认为,三棱锥是多面体的最小单元,求三棱锥的体积是求多面体体积的基础.求三棱锥的体积自然要使用三棱锥的体积公式V_锥=1/3Sh,其中 S 为三棱锥某一底面的面积,h 为该底面上的高.在我们所研究的问题中,往往不直接具备这样一组条件。而是需要经过转化才能代入公式求体     

三棱锥顶点的射影与三角形的“五心”

本文仅讨论特殊的三棱锥(即四面体)顶点的射影位置与底面三角形的“五心”的位置关系。 命题1 在三棱锥中,若三条侧棱的长相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心。 证明(略)。 由此还可得推论. 推论:在三棱锥中,若侧棱与底面所成的角都相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心。 例1 有—三棱锥的高是h,侧棱与底面所成的角都是φ,底面是两个角分别为α和β的三角形,求它的体积(α、β都为锐角).     

一道有关四面体体积的世界名题

<正>有关求四面体的体积,数学家们一开始是对其施以割补之术,想将之拼凑成立方体,再从立方体的体积公式导出四面体的体积公式.数学家们为此奋斗了两千多年都没有成功.德裔美籍数学家马克思·德恩于1901年证明了“只根据合同公理证明等底等高的四面体有相等之体积是不可能的.特别是正四面体不能分割成许多块,重新拼凑成立方体.”这就彻底否定了通过割补法求四面体体积公式的途径,探求四面体的体积成为了一道千年难题.其实,两千多年前,     

角色换位法在立体几何解题中的运用

在立体几何解题中，我们在求点到平面的距离这类问题时，对问题中的一些元素，如四面体的顶点和底面的关系所处的地位，不妨进行一下角色换位，对同一问题，在不同的位置，从不同的角度去审视，就能摆脱思维定势的束缚，换位思考，往往能使一些问题的解决，独辟蹊径，豁然开朗，收到出奇制胜的效果。     

勤于分析 善于转化

同学们在解答某些应用题时，如果条件隐蔽而无法直接解答，可以通过分析，根据已知条件和问题之间的内在联系，把一种问题转化成另一种问题，不能单一的就问题想问题而生搬硬套公式。例把一个底面半径５厘米的圆锥形零件浸没在装有水的棱长为１５厘米的正方形容器中，水面比原来升高１．８厘米，求这个圆锥体的体积。有些同学认为求圆锥体的体积，就要用求圆锥体的体积公式，于是错把水面升高的高度看作锥体的高度计算。错解：１３×３．１４×５２×１．８＝４７．１（立方厘米）。正解：由于已知条件缺少锥体高度，自然不能按照公式直接求…     

变通思路 殊途同归

题目:有一个底面周长为9.42厘米的圆柱体,斜着截去一段后(图1),求截后的体积是多少? 由于此题中要求的是一个不规则形体的体积,所以无法用某个体积公式直接求出它的体积,这就需要我们     

用等积法计算距离

在立体几何中 ,计算某种距离时 ,可用三角形等积或四面体等积的方法处理 ,间接地求出需要计算的距离 ,比直接求距离简单而有效 .     

“已知底面积和高求长方体的体积”教学设计

教学内容:四省市编小学数学课本第十册第9页。教学目标:1.认识底面、知道底面的面积叫做底面积,能找出底面上的高。2.理解长方体的体积可以用底面积乘以高计算的道理。3.会用 V=Sh 求长方体的体积。4.培养学生初步的空间观念。教学过程:一、复习导入幻灯投影:求下面各长方体的体积。(只列式)(单位:厘米)     

注意讲清二面角的平面角的本质属性

求二面角的大小是高一立体几何教学中的主要内容之一,然而到了高三,经过一段时间的立几复习后,许多学生对二面角的问题仍是一筹莫展,一再出错。譬如我区高三学生在全区性的一次测试中,有这样一道立几题: 如图1,四面体B-ACD中,点B在底面ACD的射影日在AD上,BD与ACD平面所成角的大小为60°,AB⊥BD,∠ACD=120°,AC=CD=3;试求: (1)四面体B-ACD的体积; (2)二面角A-BD-C的大小。     

圆柱体体积的一种简便算法

圆柱体的体积计算,小学数学课本上是通过把圆柱体切、拼成近似于一个长方体,再由长方体的体积计算公式推导出圆柱体体积的计算公式:V=sh,学生习惯于用圆柱体的底面积乘以高.如已知圆柱体的侧面积和底面半径,求它的体积.若按V=sh的思路进行解答,应先根据底面半径求出底面周长,再由侧面积     

巧用代换法解几何难题

有些几何题,教师如果引导学生用一个已知量或可求得的量代替另一个相等的量的方法思考,就可使问题迎刃而解。例1 一个圆锥的高和底面半径都等于一个正方体的棱长,已知这个正方体的体积是150立方厘米,求圆锥的体积。解:设正方形的棱长为a厘米,则圆锥的高和底面半径都为a厘米。     

寻觅球心的几种视角

<正>球是立体几何的重要内容,是培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的重要载体.四面体外接球问题在质检、高考和竞赛试题中频频出现,解决四面体外接球问题的关键在于确定球心的位置,本文给出寻觅球心的几种视角,为教师教学提供参考.1在过四面体底面外心且垂直底面的直线     

正四面体体积的变式探究

题目棱长为a的正四面体的体积是__. 解法1(公式法——用三棱锥体积公式) 如图1,∵四面体P-ABC是正四面体∴P在底面ABC的射影H是/△ABC中心.     

缺少数据应用题的几种解法

在解决数据充分的应用题时，学生往往得心应手，而遇到一些数据很少甚至没有数据的应用题时，教给学生解决这类问题的规律和方法十分必要。一、设数法有些题中没有直接交给数据或没有数据，需要创设一些合乎逻辑关系的数据，从而推倒或计算出正确答案。例如：圆柱体底面半径是圆锥体底面半径的２倍，它们的高相等，那么圆柱体的体积是圆锥体体积的几倍？题中明显缺少数据。我们可创设一些简单的数据：假设圆锥体底面半径为１，那么圆柱体底面半径就是２。如果它们的等高是３，即可计算出它们的体积，并得到圆柱体体积是圆锥体体积的１２倍。…     

追寻“理想底面”，优化体积计算

求多面体的体积是立体几何中的重点和难点之一，也是近几年高考的热点问题．由于任何一个多面体都可以看成由若干个三棱锥组合而成，故求多面体的体积均可以化归为求三棱锥的体积；而求解有关三棱锥的体积问题的关键是如何通过等积变换，把原问题化归为求容易求出底面和高的新三棱锥的体积问题．本文介绍一种思路自然且容易操作的等积变换法一“追寻理想底面法”，供大家参考。     

立体几何最值问题的类型及求解方法

立体几何中经常碰到一类求最值问题 ,对于这类问题的求解不少学生感到困难重重 ,其主要原因是难以将立体几何问题转化为平面几何问题或代数问题来达到求解的目的。本文通过具体的例子来说明对这类问题的求解方法 .一、体积的最值问题对于这类问题求解的常用方法是 :根据题意列出几何体体积的“目标函数” ,再求此“目标函数”的最值 .1 用基本不等式求解若根据题意列出体积的目标函数 ,是关于某个变量的一元三次函数式 ,则求其体积的最值只能用基本不等式求解 .例 1　已知圆锥的高为Ｈ ,底面半径为Ｒ ,求内接于这个圆锥体 ,并且体积最大的…