有关圆锥曲线定值问题的几个结论

<正>题目如图1,已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为3¹/2/2,以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T:(x+2)2+y2=r2(r>0),设圆T与椭圆C交于点M与N.(1)求椭圆的方程;(2)求→TM·→TN的最小值,并求此时圆T的方程;(3)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP、NP分别与x轴交于R、S,O为坐标原点,求证:|OR|·|OS|为定值.     

基础知识巩固题精选

一、选择题1.已知F是抛物线y=1/4x²的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF的中点的轨迹方程是（）。A.x²=y-1/2 B.x²=2y-1/16C.x²=2y-1 D.x²=2y-22.已知点A（3,10/3）和抛物线y²=2x上一点P,若点P到抛物线的准线l的距离为d,则当|PA|+d取得最小值时,点P的坐标为（）。A.（0,0）B.(1,2^1/2)C.（2,2）D.（1/2,1）3.若椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）和圆x²+y²=（b/2+c）²。（其中c=（?））有四个公共点,则椭圆     

数缺形时少直观,形缺数时难入微--2021年全国乙卷理21题的探析与拓展

1试题呈现(2021年全国乙卷·理科第21题)已知抛物线C:x²=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x²+(y+4)²=1上的点的最短距离为4.如图1(1)求p;(2)若点P在M上,PA,PB为C的切线,切点为A,B,求ΔPAB面积的最大值.     

蝴蝶定理解高考数学解析几何题的再探讨

<正>考题(2012年高考数学北京理科第19题)已知曲线C:(5-m)x²+(m-2)y2+(m-2)y²=8(m∈R).(Ⅰ)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围;(Ⅱ)设m=4,曲线C与y轴的交点为A、B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证:A、G、N三点共线.     

题库(二十二)

1·已知a,b为正实数,且满足a+b=2.(1)求1+1a+11+b的最小值;(2)猜想1+1a2+1+1b2的最小值,并证明;(3)求1+1an+1+1bn的最小值;(4)若a+b=2改成a+b=2p(p≥1),猜想1+1an+1+1bn的最小值.2·已知某椭圆的焦点是F1(-4,0),F2(4,0),过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件|F2A|,|F2B|,|F2C|成等差数列.(1)求该椭圆的方程;(2)求弦AC中点的横坐标;(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m,求m的取值范围.3·设曲线C:y=x2(x>0)上的点P0(x0,y0),过P0作曲线C的切线与x轴交于Q1,过Q…     

一道南京市高三调研试题的探究

题目(2021年南京市高三数学调研试题第21题)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A,B,F是椭圆C的右焦点,且AF=3 FB,AF·FB=3.(1)求椭圆C的方程;(2)不过点A的直线l交椭圆C于M,N两点,记直线l,AM,AN的斜率分别为k,k₁,k₂,若k(k₁+k₂)=1,证明直线l过定点,并求出定点的坐标.     

关于几个最值问题的研究

1相关问题问题1[1]已知a,b均为正数,且1/a+2/b=1/4,求a+b+（a2+b2）^1/2的最小值.问题2[2]过点P(3^1/2/2,1/2)任作一条直线分别交x轴、y轴的正半轴于点M,N.（1）略;（2）求|OM|+|ON|-|MN|的最大值.     

2018年高考数学浙江卷第21题引发的探究

<正>1试题呈现如图1,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y²=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.(Ⅰ)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;(Ⅱ)若P是半椭圆x2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.(Ⅰ)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;(Ⅱ)若P是半椭圆x²+y2+y²/4=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围(2018年高考浙江卷第21题).     

对2011年高考山东卷理科22(Ⅰ)题的研究

题目已知直线l与椭圆C:x²/3+y²/2=1交于P（x₁,y₁）、Q（x₂,y₂）两不同点,且△OPQ的面积S△OPQ=(6^1/2/2),其中O为坐标原点.（Ⅰ）证明:x₁²+₂²和y₁²+y₂²为定值;（Ⅱ）设线段PQ的中点为M,求|OM|·|PQ|的最大值;（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D、E、G使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=(6^1/2/2)?若存     

两道高考试题的统一推广

<正>1考题呈现题1(2018年高考全国数学卷Ι理19题)设椭圆C:x²/2+y2/2+y²=1的右焦点为F,过点F的直线l与C相交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.题2(2018年高考全国数学卷Ι文20题)设抛物线C:y2=1的右焦点为F,过点F的直线l与C相交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.题2(2018年高考全国数学卷Ι文20题)设抛物线C:y²=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线     

《圆锥曲线方程》自测题

一、选择题(每小题5分,共60分)1.若α∈R,则方程x2 4y2sinα=1所表示的曲线必定不是().A直线;B圆;C双曲线;D抛物线2.若焦点在x轴上的椭圆x22 ym2=1的离心率为21,则m=().A3;B23;C38;D323.抛物线y2=4x,按向量a平移后所得抛物线的焦点坐标为(3,2),则平移后的抛物线的顶点坐标为().A(4,2);B(2,2);C(-2,-2);D(2,3)4.如果双曲线的2个焦点分别为F1(-3,0)、F2(3,0),一条渐近线方程为y=2x,那么其2条准线间的距离是().A63;B4;C2;D15.已知定点A、B且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是().A21;B23;C27;D56.已知双曲线x2-y22=1…     

探究直线和椭圆的位置关系

例1在平面直角坐标系xOy中,已知点A（-1,0）、B（1,0）,动点C满足条件:△ABC的周长为2+22^1/2.记动点C的轨迹为曲线W.（1）求W的方程;（2）经过点(0,2^1/2)且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q,求k的取值范围;（3）已知点M（2,0）,N（0,1）,在（2）的条件下,是否存在常数k,使得向量（?）+（?）与（?）共线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.解:（1）设C（x,y）,因为| AC |+| BC |+| AB |=2+22^1/2,| AB |=2所以| AC |+| BC|=22^1/2>2,所以由定义知,动点C的轨迹是以A、B为焦点,长轴长为22^1/2的椭圆除去与x轴的两个交点.所以a=2^1/2,c=1.所以b²=a²-c²     

一道高考解析几何题的另解与拓展

<正>2题目设椭圆C:x²/2+y22/2+y2⁼1的右焦点为2F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.该题是去年高考数学全国卷Ⅰ的理科试     

缜密思维 严谨答题

<正>一、原题呈现(2016年泰州中考题)已知两个二次函数y_1=x²+bx+c和y_2=x2+bx+c和y_2=x²+m.对于函数y_1,当x=2时,该函数取最小值.(1)求b的值;(2)若函数y_1的图象与坐标轴只有2个不同的公共点,求这两个公共点间的距离;(3)若函数y_1、y_2的图象都经过点(1,-2),过点(0,a-3)(a为实数)作x轴的平     

中考压轴题（二）

<正>1.在平面直角坐标系中,二次函数y=1/4x²+bx-4的图象与x轴交于点A和点B(8,0),与y轴交于点C.(1)求二次函数的解析式.(2)抛物线的对称轴与x轴交于点H,在对称轴上是否存在点Q,使∠BQC=45°?若存在,求点Q坐标.(3)在对称轴上是否存在点P,使∠ACB=∠APH?若存在,求点P坐标.(4)点F在第四象限,且tan∠AFQ=3/2,M(-4,2),线段MF是否存在最大值?如果存在,求出最大值;如果不存在,说明理由.     

设而不求巧解题

<正>1.圆锥曲线涉及中点弦求曲线方程和直线方程的问题,经常用点差法设而不求解题例1已知椭圆E:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),求椭圆E的方程。解:设点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则(x_1-x_2)(x_1+x_2)/a2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),求椭圆E的方程。解:设点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则(x_1-x_2)(x_1+x_2)/a²=-(y_1-y_2)(y_1+y_2)/b2=-(y_1-y_2)(y_1+y_2)/b²。     

圆的妙用

1.求长度例1在平面直角坐标系中,已知点A（cos80°,sin80°）和点B（cos20°,sin20°）,求|AB|的值.解由题设条件知道点A、B是单位圆x² +y²=1位于第一象限的两个点,则∠AOB=80°-20°=60°,故△AOB是边长为1的正三角形,因此|AB|=1.2.求范围例2 F₁和F₂是椭圆C:x²/9+y²/4=1的焦     

关注通性通法 培育核心素养

<正>1试题呈现(成都中考第25题)如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax²+c经过点P(4,-3),与y轴交于点A(0,1),直线y=kx(k≠0)与抛物线交于B,C两点。(1)求抛物线的函数表达式;(2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形,求点B的坐标;(3)过点M(0,m)作y轴的垂线,交直线AB于点D,交直线AC于点E。试探究:是否存在常数m,使得OD丄OE始终成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由。     

似曾相识燕归来——解析几何相似题探究

<正>引例(2015年全国高考题)已知椭圆C:9x²+y2+y²=m2=m²(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A、B,线段AB的中点为M.(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率之积为定值;(2)若l过点(m/3,m)延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?     

一道高考试题推广的类比

引题（2012年高考福建卷·理19）如图,椭圆E:x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的左焦点为F₁,右焦点为F₂,离心率e=1/2·过F₁的直线交椭圆于A,B两点,且△ABF₂的周长为8.（Ⅰ）求椭圆E的方程;（Ⅱ）设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且仅有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出M的坐标;若不存在,