两道高考试题的统一推广

<正>1考题呈现题1(2018年高考全国数学卷Ι理19题)设椭圆C:x²/2+y2/2+y²=1的右焦点为F,过点F的直线l与C相交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.题2(2018年高考全国数学卷Ι文20题)设抛物线C:y2=1的右焦点为F,过点F的直线l与C相交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.题2(2018年高考全国数学卷Ι文20题)设抛物线C:y²=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线     

一道高考试题引起的思考与探究

1.考题的另一种表述考题（2011年高考全国理科卷（大纲）第21题）如图1,已知0为坐标原点,F为椭圆C:x²+y²/2=1在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为-2^1/2的直线l与C交于A、B两点,点P满足（?）+（?）+（?）=（?）（1）证明:点P在C上;（2）设点P关于点O的对称点为Q,证明:A、P、B、Q四点在同一圆上.由向量加法的几何意义及椭圆的对称性可得:点P关于原点O的对称点Q也在椭圆C上.由此我们可以得到考题的另一种表述:     

圆的两个切线性质的类比、拓广

<正>问题:过圆x²+y2+y²=r2=r²内的一定点M,作直线与圆交于A、B两点,作直线与圆交于C、D两点,过A、B两点分别作圆的切线交于点P,过C、D两点分别作圆的切线交于点Q,则直线PQ是一条定直线。解:设A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xC,yC)、D(xD,yD)、M(x0,y0)、P(xP,yP)、Q(xQ,yQ)。则过A点的圆的切线方程为:     

圆锥曲线中的数学思想

1.函数与方程的思想例1过点P(-3^1/2,0)作直线l与椭圆（x²/4）+（y²/3）=1相交于A、B两点,O为坐标原点,求△OAB的面积的最大值.分析设l:x=my-3^1/2,代入椭圆方程消去x,得（3m²+4）y²-6 3^1/2my-3=0.     

对一道解析几何高考题的探究

例题（2009年高考山东理科卷第22题）设椭圆E:（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a,b>0）过M(2,2^1/2),N(6^1/6,1)两点,O为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆E的方程.（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且（?）⊥     

直线与圆锥曲线的相交弦的弦长问题解题策略

<正>直线与圆锥曲线的相交弦的弦长问题,常规解法是:利用弦长公式,结合韦达定理来处理的,但是这种方法,计算量大,不好算,易出错,对于一些特殊的弦长问题,宜另寻他法,以简化其计算量,优化解题方案。1.与圆有关的弦长问题例1过原点作☉C:x²+y2+y²-6x-8y+20=0的两条切线,切点分别为P,Q,则PQ=_。     

一道联考题的命题背景及拓展

<正>一、考题再现题目(2022年T8联考第8题)已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a> b> 0),直线l过坐标原点并交椭圆于P,Q两点(P在第一象限),点A是x轴正半轴上一点,其横坐标是点P横坐标的2倍,直线QA交椭圆于点B,若直线BP恰好是以PQ为直径的圆的切线,则椭圆的离心率为()．     

论直线和圆相交问题的一题多解

<正>学生的思维往往具有一定的局限性,不能够更加全面地分析问题,为培养思维的全面性和发散性,可以进行"一题多解"训练。下面以直线和圆相交的一道习题为例,谈谈"一题多解"的学习实践。例已知圆C:x²+y2+y²-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由。解法1:由圆C:x2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由。解法1:由圆C:x²+y2+y²-2x+4y-4=0     

研究2023年T8联考中的离心率问题

<正>一、题目呈现(2023年T8联考第8题)已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b> 0),直线l过原点O并交椭圆于P,Q两点(P在第一象限),点A是x轴正半轴上一点,其横坐标是点P横坐标的2倍,直线QA交椭圆于点B,若直线BP恰好是以PQ为直径的圆的切线,则该椭圆的离心率为()．     

一道高三模拟题的思路探究与拓展

<正>一、问题给出题目在平面直角坐标系xoy中,已知圆O:x²+y²=1,C:(x+1)²+y²=9,直线l与圆O相切,与圆C相交于点A、B两点,分别以点A、B为切点作圆C的切线l₁、l₂,l₁、l₂交点为P,则OP的最小值．A. 9 B. 7 C. 3■ D.■这道题是江苏省海门中学、苏州中学、淮阴中学、姜堰中学四校高三联考的单选压轴题,答案为D．我校学生在该题的得分率高达0.74,如此高的得分率是否与本题在试卷中起到单选压轴作用的地位不太匹配呢?和学生交流后发现,     

一类(泛)阿基米德三角形的面积何时取最小值?

<正>从某知名资源网站上搜索到一道新题——例1(2015年河北省高三竞赛末题)已知椭圆C:x²/2+y2/2+y²=1及点P(1,1/2),过点P作直线l与椭圆C交于A、B两点,过A、B两点分别作C的切线交于点Q.(1)求点Q的轨迹方程;(2)求△ABQ的面积的最小值.第(1)小题的类似题目较多,该网站也提供了     

基础知识巩固题精选

一、选择题1.已知F是抛物线y=1/4x²的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF的中点的轨迹方程是（）。A.x²=y-1/2 B.x²=2y-1/16C.x²=2y-1 D.x²=2y-22.已知点A（3,10/3）和抛物线y²=2x上一点P,若点P到抛物线的准线l的距离为d,则当|PA|+d取得最小值时,点P的坐标为（）。A.（0,0）B.(1,2^1/2)C.（2,2）D.（1/2,1）3.若椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）和圆x²+y²=（b/2+c）²。（其中c=（?））有四个公共点,则椭圆     

体现在圆中的数学思想浅析

<正>在解析几何中,有关圆的问题是比较常见的,本文就解决这类问题体现的数学思想进行简单的分析。1.函数与方程思想函数与方程思想在圆的方程中应用较广泛,在求圆的方程、直线与圆的交点、圆与圆的交点等问题时都要用到函数与方程思想。例1已知直线x+2y-3=0与圆x²+y2+y²+x-6y+m=0相交于P,Q两点,且OP⊥OQ(O为坐标原点),求实数m的值。分析:由于OP⊥OQ,若设点P(x1,     

巧设“圆系” 事半功倍

在2019年版高中数学教材选择性必修第一册第二章《直线与圆》中,第98页中有如下几道关于圆的方程的问题.题1求经过点M(2,-2)以及圆x²+y²-6x=0与圆x²+y²=4交点的圆的方程.题2求圆心在直线:x-y-4=0上,并且经过圆x²+y²+6x-4=0与圆x²+y²+6y-28=0的交点的圆的方程.     

“圆的切线方程”教学节录及反思

<正>一、教学节录1.在问题求解中培养思维能力。师:请大家证明下列例题:已知圆C的方程是x²+y2+y²=r2=r²,求证:经过圆C上一点M(x_0,y_0)的切线方程是x_0x+y_0y=r2,求证:经过圆C上一点M(x_0,y_0)的切线方程是x_0x+y_0y=r²。(苏教版高中数学必修2第117页习题第11题)(给学生思考的时间,先由学生独立思考,     

一道高考解析几何题的另解与拓展

<正>2题目设椭圆C:x²/2+y22/2+y2⁼1的右焦点为2F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.该题是去年高考数学全国卷Ⅰ的理科试     

一道高考试题推广的类比

引题（2012年高考福建卷·理19）如图,椭圆E:x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的左焦点为F₁,右焦点为F₂,离心率e=1/2·过F₁的直线交椭圆于A,B两点,且△ABF₂的周长为8.（Ⅰ）求椭圆E的方程;（Ⅱ）设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且仅有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出M的坐标;若不存在,     

顺应“三新”趋势探索变式教学模式——数学变式征集活动解析几何专题试题选登

<正>【精选变式题组】【母题1】(2022·江西余干一中)已知⊙O的方程为x²+y²=4,过M(4,0)的直线与⊙O交于A,B两点,则弦AB的中点P的轨迹方程为____.【变式1】(知识变式)将母题中的“圆”换为“椭圆”已知椭圆C的方程为x²/4+y²=1,     

双曲线中三线共点问题探究

<正>"三线共点"问题是双曲线中较为常见的问题.通常可以先联立两条直线方程,求出交点,再将交点坐标代入第三条直线方程中来验证.这类问题的解决往往要结合双曲线的定义、几何性质,变化较多,难度较大.下面以一道联考题引入并作一些探究.例1已知双曲线(x²)/(a2)/(a²)-(y2)-(y²)/(b2)/(b²)=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F_1,F_2,过点F1作圆x2)=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F_1,F_2,过点F1作圆x²+y2+y²=a2=a²的一条切线分别交双曲线的左,右     

2018年全国Ⅰ卷理第19题的探究

<正>2018年高考全国Ⅰ卷理科第19题设椭圆C:x²/2+y2/2+y²=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A、B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.本题围绕直线与椭圆的位置关系这一重点内容,加强了对解析几何基本概念、基本思想方法和关键能力的考查,着重考查了直线方程的求法,椭圆的简单