利用向量数量积的几何意义解线性规划问题

2011年全国高考理科数学广东卷第5题（题目见本文例1）是一道线性规划题，难度不大，但由于本题是在线性规划与向量的知识交汇点处命题，目标函数以向量数量积的形式出现，值得拓展研究．下面先说明利用向量数量积的几何意义解决线性规划问题的基本思路．     

利用向量的数量积解一类线性规划问题

笔者在进行新教材中增加的"简单的线性规划"教学时,发现课本和许多参考书上,对于求解形如z=ax±by的目标函数在线性约束条件下的最值,一般都是将二元一次函数(目标函数)转化为求直线在y轴上的截距的最值问题,然后利用线性规划的知识进而求得结果.本人认为还可以用向量知识来解决此类问题,可使得目标函数的几何意义更加直观、明了,解题思路更清晰、简捷.     

利用目标函数的几何意义 巧解一类最值问题

<正>最值问题中有一类是在线性约束条件下求二元函数最值.在这类问题中,当目标函数是线性函数时,就是通常所说的二元线性规划问题,当目标函数不是线性函数时,其中不少也可以用解决线性规划问题的方法去解决.解决这类问题时,利用目标函数的几何意义是关键.以下谈谈如何运用目标函数的几何意义求解这类二元函数最值问题.     

用向量数量积的几何意义解线性规划问题

大家知道a·b的几何意义是：数量积a·b等于a的长度｜a｜与b在a的方向上的投影｜b｜cosθ的乘积。     

活用几何意义秒解数量积题

我们知道,向量数量积的计算通常有三种方法:定义法、坐标法以及几何意义法(又称投影法).而在某些问题中,灵活运用几何意义,常可化难为易、变繁为简,从而达到快速解题之目的.然而笔者在教学中发现,许多同学对数量积的几何意义及其运用环境存在理解上的障碍,导致具体解题时应用意识淡薄.下面对数量积的几何意义作进一步的解释,剖析其运用环境,并分别在三种情形之下例说其应用.     

巧用向量数量积的几何意义再探一类问题

有一类容易出错的问题：若θ1〈α〈β〈θ2,θ1、θ2为定值,求mα＋nβ的范围,易错点是漏掉α〈β这个约束条件．文[1]利用不等式变形的技巧和分类讨论的思想解决问题;文[2]将问题转化为线性规划问题：     

利用向量数量积的几何意义解题

平面向量作为高中数学的三大工具之一,用它来解几何题有着其独特的先进性和优越性.本文将通过实例来说明如何利用向量数量积的几何意义来解答有关问题. 1 1.数量积的几何意义 人教A版必修四第105页指出: 两个向量数量积→a·→b的几何意义是→a在→b方向上的投影|→a|cosθ与|→b|的积,其中θ为向量→a与→b的夹角.     

利用体积数量关系，巧解一类浮力问题

例1 在空气中用弹簧测力计测得物体重2．7N,将其一半浸入水中,此时弹簧测力计示数为2．2N．求： （1）物体此时所受浮力的大小;     

利用旋转变换巧解几何问题

旋转变换在平面几何解题中有着广泛的应用,特别是当条件中出现等腰三角形、正三角形、正方形、中线（或中点）时,常考虑通过图形的旋转构造全等三角形,以集中条件,求得问题的解决．常用旋转法求解的题目有两类．     

利用参数t的几何意义巧解距离问题

<正>我们知道,经过点M_0(x_0,y_0),倾斜角为α(α≠π/2)的直线l的参数方程为{x=x_0+tcosα,y=y_0+tsinα(t为参数),其中参数t的几何意义是:|t|表示直线上的动点M(x,y)到定点M_0(x_0,y_0)的距离,若t>0,则动点M在定点M_0的上方;若t<0,则动点M在定点M_0的下方;若t=0,则动点M与     

利用几何意义和物理意义巧解积分

有些积分直接求解,相当麻烦.文章举六例说明:如何利用几何意义和物理意义,巧解定积分和重积分.     

利用几何意义和物理意义巧解积分

在材料力学中,对机械零件进行分析和计算时,时常会遇到繁琐的积分运算.通过六例说明如何利用几何意义和物理意义巧解定积分和重积分.     

利用向量数量积的几何意义解决线性规划最值问题

1问题的提出 由于高中数学新课程的实施,很多新增知识进入了高中数学教材,同时也进入了高考试题,并且保持了较大的考查比例．其中,线性规划问题就是这样的知识内容,而且几乎是每年高考的必考内容．     

利用平面几何知识巧解几何问题

解析几何是用代数方法解决几何问题,它省去了平面几何的逻辑推理,降低了解题难度,但有时运算量较大．在解题中容易出现计算方面的错误．由于解析几何问题与几何图形有着极密切的联系,因此在求解某些几何问题时,若能注意结合图形特征,联想平面几何知识,巧妙地运用有关的平面几何性质,则可避免冗长的推导和运算,大大降低难度,使解题过程简捷而明了,获得事半功倍的解题效果．     

利用比例关系 巧解几何问题

在初中数学中,比例关系是一种用途较广、作用较大的数量关系,它建立了三个以上量之间的关系．许多几何综合题需要研究多个量之间的关系,因此,把握好比例关系,是解决几何问题的有效方法之一．本文选取2010年中考试卷中巧妙应用的比例关系试题,以飨读者．     

一类几何题的巧解

当三角形两边的长一定时,则根据三角形两边之和大于第三边,三角形两边之差小于第三边,就可以确定第三边的取值范围,那么当四边形三条边的长给定时,又根据什么来确定第四条边的取值范围呢?对此进行讨论,得出结论,可给我们在画图、计算、证明等方面带来方便.下面举例说明。     

用向量的数量积解几何问题例说

我们知道若讨论的几何图形中的点、线关系具有特殊性,并涉及到垂直,此时可考虑用向量的数量积,在建立坐标系基础上进行讨论,笔者认为这种形式下讨论问题方法简捷、规范,可操作性强,它还为学生提供了解决几何中有关垂直问题的新途径。     

巧解与三角形外心相关的数量积问题

<正>近年来,数量积的问题常常会出现在一些高考题的小题中,而且常考常新,很多时候会和平面几何的知识结合在一起进行考查.例如与三角形的外接圆结合在一起就是一个热点问题.很多同学在高考那紧张的时刻感到无从下手,如果我们能够充分地利用数量积的几何意义,将能使问题得到很快的突破.     

构造函数模型巧解一类几何最值问题

<正>数学模型是我们在理解数学的基础上,并在学习和应用数学的过程中逐渐建立起来的.本文通过一引例构建函数模型,并利用此模型解决一类几何最值问题.