一道月考题引出的圆锥曲线的统一结论

<正>一、试题与解答最近,云南师大附中高三年级月考出现了这样一个试题:题目过抛物线外一点M作抛物线的两条切线,两切点的连线段为点M对应的切点弦.已知抛物线为x²=4y,点P、Q在直线l:y=-1上,过P、Q两点对应的切点弦分别为AB、CD.(1) 当点P的横坐标等于2时,求切点弦AB所在的直线方程;(2) 当点P在直线l上移动时,直线AB是否经过一定点?若有,请求出该定点的坐标,如果没有,请说明理由.解 (1)略.(     

基于抛物线切点弦性质的拓展性研究

在直线x=-m(m＞0)上任取一点P作抛物线y2=2px(p＞0)的切线,切点为A、B,则直线AB过定点(m,0).过抛物线y2=2px(p＞0)的外任一点P作抛物线的两条切线,切点分别为A,B,弦AB的中点Q,则PQ平行于x轴;P与切点弦中点的连线恰好被抛物线平分.     

再探过焦点的阿基米德三角形的性质与应用

<正>圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.阿基米德三角形以其深刻的背景、丰富的内涵产生了许多有趣的性质，过焦点的阿基米德三角形的性质更是受到命题专家和数学爱好者的青睐.文^[1]介绍了过焦点的阿基米德三角形的两个性质，在此基础上，文^[2]得出了更一般性的结论.经过研究发现，此类过焦点的阿基米德三角形还具有另外三个优美性质及其应用.现先给出以下两个引理.引理1若P(x0,y0)是椭圆C:外任意一点，     

一道全国联赛试题的思考

题目 :已知点 A(1,2 ) ,过点 (5 ,- 2 )的直线与抛物线 y2 =4x交于另外两点 B,C,那么△ABC是 (　 )(A)锐角三角形　 (B)钝角三角形(C)直角三角形　 (D)答案不确定(1999年全国高中数学联合竞赛试题 )答案选 (C) ,解答略 .原题可以改述为 :过点 A(1,2 )的两条互相垂直的直线与抛物线交于另外两点 B,C,则过 B,C两点的直线恒过定点 (5 ,- 2 ) .思考 1　显然点 A(1,2 )是抛物线 y2 =4x的通径的一个端点 ,一般地 ,抛物线 y2 =2 px的通径的端点是否也具有这一性质 ?答案是肯定的 .过点 A(p2 ,p)的两条互相垂直的直线与抛物线 y2 =2 px相交…     

圆锥曲线测试题

gxueshengshidai一.选择题1.过定点P(0,2)作直线l,使l与曲线y2=4(x-1)有且仅有1个公共点,这样的直线l共有()A.1条B.2条C.3条D.4条2.设θ是三角形的一个内角,且sinθ cosθ=15,则曲线x2sinθ y2cosθ=1表示()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在x轴上的双曲线D.焦点在y轴上的双曲线3.已知F1、F2是椭圆1x62 y92=1的两焦点,经点F2的的直线交椭圆于点A、B,若｜AB｜=5,则｜AF1｜ ｜BF1｜等于()A.11B.10C.9D.164.AB为过椭圆x2a2 by22=1中心的弦,F(c,0)为椭圆的右焦点,则△AFB的面积最大值是()A.b2B.ab C.ac D.bc5.椭圆x…     

阿基米德直角顶点的逆向问题

我们把二次曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形,当这两条切线直交时,称为阿基米德直角顶点．     

圆锥曲线的焦点弦的一个定理

定理1过椭圆22xa2 by2=1的焦点F的焦点弦AB的两端点A、B所作的两条切线的交点必在此焦点所对应的准线上.证明设过焦点F的弦AB的两端点A、B的切线交于P(x0,y0),∴直线AB的方程为:xa02x yb02y=1.∵过焦点F(c,0),∴20xa2c=1?x0=ac,∴P(x0,y0)在焦点F(c,0)对应的准线上.定理2过双曲     

2005年北方数学奥林匹克数学邀请赛

第一天 一、AB是⊙O的一条弦，它的中点为M，过点M作一条非直径的弦CD，过点C和D作⊙0的两条切线，分别与直线AB相交于P、Q两点．求证：PA=QB．     

圆锥曲线中弦切三角形的性质

直线与圆锥曲线相交时,过两交点作圆锥曲线的切线,由直线与这两切线所围成的三角形(不防称它为弦切三角形),本文主要研究与此弦切三角形有关的一些性质.     

对一道题目的挖掘

题目:过M(0,3)作直线l与圆x2+y2=16交于A,B两点,求△AOB面积的最大值. 分析一:作图,本题中需要求的是AAOB的面积,三角形的面积公式中常用的有两个:一个是S=1/2│AB│·│ON│=│NB│·│OM,一个是S=1/2│OA│·│OB│·sin∠AOB. 其中IABI是过定点的直线与已知圆的相交弦长,IONI是弦AB的弦心距,通常的求法为利用RtAAON(或Rt 0 BON)或点0到直线AB 的距离,OA,OB为圆的半径,GAOB是弦AB所对的圆心角,以上分析可以看出无论采用哪个公式来表示三角形的面积都离不开直线AB.     

对一个错误结论的分析

2012年《数学教学》第2期19页有这样一个结论(结论3):已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0),过直线x=a2/t(0＜t＜a)上的点P的两条直线分别交椭圆于A、B和C、D,则弦AD、BC都过定点N(t,0). 分析:实际上在这篇文章中,结论3是结论2(已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0),弦AB、 CD都过定点N(t,0),则AC、BD的交点都在直线x=a2/t)上的逆命题.     

第31届IMO试题与解答

1.在一圆中,两条弦AB、CD相交于点。M为弦AB上严格在E、B之间的点。过D、E,M的圆在E点的切线分别交直线AC.BC于F,G.已知AM/AB=t,求GE/EF.(用t表示) 解法1:如图(1),∵GF是△DEM外接圆的切线,     

一道源于教材的好试题

浙江省 2 0 0 3年高中会考试题 3 3 ,是一道源于教材高于教材的好试题 .题目　已知椭圆C1 :x21 2 +y26=1 ,圆C2 :x2 +y2 =4,过椭圆C1 上的点P作圆C2 的两条切线 ,切点为A、B .( 1 )当点P的坐标为 ( -2 ,2 )时 ,如图 1 ,求直线AB的方程 ;( 2 )当点P(x0 ,y0 )在椭圆上运动但不与椭圆的顶点重合时 ,如图 2 ,设直线AB与坐标轴围成的三角形面积为S ,问S是否存在最小值 ?如果存在 ,请求出这个最小值 ,并求出此时点P的坐标 ;如果不存在 ,请说明理由 .分析 :( 1 )直线AB方程为 :y =x+2 ;( 2 )由题意 ,切线PA、PB的斜率存在 ,连结OA .设A(x…     

圆的切点弦问题

<正>过圆x2+y2=r2上一点P0(x0,y0)作该圆的切线,只有一条,易知其方程为x0x+y0y=r2.当点P0(x0,y0)在圆x2+y2=r2外时,切线有两条,设切点分别为A、B,那么如何求直线AB的方程呢?本文借助一道高考题展开.例1(2013年山东高考题)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A、B,则直线AB的方程为().(A)2x+y-3=0(B)2x-y-3=0(C)4x-y-3=0(D)4x+y-3=0     

巧用直线过定点的方法解题

我们知道,若两条相交直线l1:A1x B1y C1=0与l2:A2x B2y C2=0的交点为定点(x0,y0),则直线系A1x B1y C1 λ(A2x B2y C2)=0过定点(x0,y0),特别地,直线系y-y0=k(x-x0)(x0,y0为常数,k为参数)过定点(x0,y0).利用此结论在解某些问题时简单快捷,是减少运算量、缩短解题过程的巧法之一,也增添了学习数学的情趣.一、直线与线段相交求参数【例1】如图1,已知l:y=mx-7及两点A(3,2),B(1,4).若l与线段AB相交,求m的取解值析范:由围y.=mx-7可知直线l恒过定点D(0,-7),连DA、DB.易求kDA=3,kDB=11,由图象知3≤m≤11.这里抓住直线恒过定点是关键.二、直…     

探究圆锥曲线的一类定点定值问题

例题:如图1,设P(x0,y0)是曲线C:x2 =4y上的一个定点,过点P任意作两条倾斜角互补的直线,分别与曲线C相交于另外两点A、B. (1)证明:直线AB的斜率为定值; (2)记曲线C位于A、B两点之间的那一段为L.若点E在L上,且点E到直线AB的距离最大,求点E的坐标.     

数学问答

问题 9．过椭圆C:x2/8 y2/4=1上一点P(x0,y0)向圆O:x2 y2=4 引两条切线PA、PB,A、B为切点,如果直线AB与x轴、y轴交于M、N两点． (1)求直线AB的方程(用x0、y0表示)． (2)求△MON的最小值(O为原点)． (河北晓风)     

圆锥曲线定点弦与定直线相关性的推广

经文[1]~[4]的不断研究,文[4]得到了圆锥曲线定点弦与定直线相关性的如下两个性质:性质1椭圆x2/a2+y2/b2=1(a&gt;b&gt;0)的过定点F(m,0)(m≠0,且m0,b&gt;0)的过定点F(m,0)(m&gt;a)的两条动弦AC、BD的两端点的连线AB、CD相交于点M,AD、BC相交于点N,则点M、N的轨迹都是定直线l:x=a2/m.性质2抛物线y2=2px(p&gt;0)的过定点F(m,0)(m&gt;0)的两条动弦AC、BD的两端点的连线AB、CD相交于点M,AD、BC相交于点N,则点M、N的轨迹都是定直线l:x=?m.本文将这两个性质推广到一般的情形,以更深刻揭示圆锥曲线的几何特征.定理过定点F(x0,y0)的两条动直线AC、BD分别与圆锥曲线相交于点A、B、C、D.设直线AB、CD相交于点M,AD、BC相交于点N,则(1)当圆锥曲线为椭圆22ax2+by2=1(a&gt;b&gt;0),且F(x0,y0)不为坐标原点时,点M、N的轨迹都是定直线l:xa02x+yb02y=1;(2)当圆锥曲线为双曲线22ax2?by2=1(a&gt;0,b&gt;0),且点F(x0,y0)不为坐标原点时,点M...     

圆锥曲线探索性学习一例

<正>特性L:过圆上一点P作两条互相垂直的弦,则连接两弦的另一端点的弦经过定点(圆心)。探索一、那么在相同条件下,对于抛物线是否有特性L呢?问题1.过抛物线y2=2px(p>0)顶点作互相垂直的弦OA、OB交抛物线于A、B,如图1,求证:直线AB过定点M(2p,0).     

关于二次曲线的切点弦

从点P作二次曲线C的两条切线,切点分别是A、B,称线段AB为点P对C的切点弦。本文在建立切点弦(所在直线)方程的基础上,研究有关切点弦的一些性质。一、切点弦方程例1.求椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1外一点P(x_0,y_0)对椭圆的切点弦AB的方程。