简化三角运算的几种策略

三角函数是高中数学的重要内容,解三角题主要是通过公式进行运算,因而研究如何提高运算能力是一个重要课题,解决这个问题的关键是“灵活用公式,合理用技巧,简化运算过程”,现举例说明.     

2012年高考三角函数核心考点揭秘

三角函数是高考的考查热点,命题的一般模式为一个客观题和一个解答题,其中客观题一般多为基础题,解答题为中档题.解答题多为三角函数与三角变换的综合问题或三角函数与其他知识的交汇问题.三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧,公式正用要善于拆角;逆用要构造公式结构;变用要抓住公式结构,要学会创设条件灵活运用三角公式,掌握运算、化简的方法和技能.解三角形的内容不仅能考查正、余弦定理的应用,而且能很好地考查三角变换的技巧,它还可与立体几何、解析几何、向量、数列、概率等知识相结合,这其中经常涉及数形结合、分类讨论及等价转化等思想方法;主要考查运用正弦定理、余弦定理探求任意三角形的边角关系,解决与之有关的计算问题;运用这两个定理解决一些与测量以及几何运算有关的实际问题.     

欧拉公式在三角恒等变换中的推广应用

三角函数的恒等变换是中学数学的一个重要内容,也是一个难点,但由于三角恒等变换所运用公式众多、难记,各类型题纷繁、灵活,这便给解决三角变换问题带来了诸多不便。本文试图通过欧拉公式,将三角函数转化为复指数函数,从而将三角变换转化为指数函数的代数运算,进而大大减少所需记忆公式;周时给出了其在三方面的应用。     

三角代换法解代数问题

有些代数问题 ,当我们用代数方法解决时 ,会觉得束手无策 .如果通过三角代换把它们转化为三角问题 ,不仅可使题中各量之间的关系变得直接明了 ,结构特征显现 ,而且代数中原来繁琐、复杂的运算变成了简单、灵活多变的三角运算 .本文将探讨两类适合用三角代换法解决的代数问题 .一、式子结构与三角公式的形式相同例 1　 (第 1 5届全俄中学生竞赛题 )数列ａｎ 满足ａ0 =13 ,ａｎ =1 +ａｎ- 1 2 (ｎ=1 ,2 ,… ) ,求证 ａｎ 是单调数列 .分析　由已知ａｎ =1 +ａｎ- 1 2 ,容易看出递推公式与余弦函数的半角公式结构完全一致 ,故考虑用三角代换 .…     

三角变换与欧拉公式

三角恒等变换中公式众多，难于记忆，各类型纷繁、灵活，这给解决三角变换问题带来了诸多不便。本文的目的是通过欧拉公式将这些公式统一化，并将三角运算转化为代数运算。一、欧拉公式与三角函数的关系：已知欧拉公式：④－⑥四个公式便是由欧拉公式推导出的新的三角函数关系式。这些公式的特点是：以指数式来表示三角函数，代入三角恒等式中便能将三角运算转化为指数函数的K数运算，使三角运算从多种思考法转化为单一思考法，避免了三角变换中公式及类型的选择过程，从而降低了三角变换的难度。指数运算平身有一些很好的性质，在这里便可…     

三角求值(角)应注意隐蔽条件的挖掘

已知某些条件求三角函数的值或对应的角是三角习题的重要类型.这类习题难度不大,对于熟练掌握三角公式,灵活运用三角公式以及提高学生运算能力是比较理想的一类习题.然而,我们在教学中发现,学生处理此类习题时,漏解、增解现象十分严重.究其原因,还是对题     

简化三角运算七招

三角函数是高中数学的重要内容,解三角题主要是通过公式进行运算,因而简化运算是我们追求的目标．对于三角问题,若能从结构、函数名称、角度等方面进行分析,寻求突破点,选择恰当的方法,则可使复杂的问题简单化,收到事半功倍的效果．简化三角运算的策略主要有以下几种,下面举例说明．     

用复数解三角题

看了《用复数证几何题》(本刊1981年第四期)一文,颇受启发。应用复数解三角题,同样有助于数学知识的综合运用,也可沟通教材之间的联系,加深对复数概念的理解。众所周知,利用著名的棣莫佛定理,就很容易证明三角中的二倍角及三倍角等公式,这在高中教材的习题中已有所反映。本文根据棣莫佛定理及复数的运算法则,推导出三个基本公式,以此为基础,结合代数中的恒等变形、多项式的因式分解与数列求和等知识,解决更广泛的一些三角问题。一、三个基本公式     

三角题的常规解题途径

由于三角问题公式繁、题型杂、技巧多,很多同学在做这类题时,往往盲目探索,超时失分现象较为严重,若将各种题型技巧全部强化训练,又会陷入题海,如何解决这一矛盾?笔者认为,三角题都有比较明确的解题方向,只要在复习中从整体上加以把握,掌握其常规的解     

解高考三角题的变换技巧

本文介绍解高考三角题的变换技巧,目的在于认识规律,掌握方法,提高解题能力．近些年来高考试题需要哪些变换技巧呢？1公式变换有些三角公式,经过变换之后,直接用于解题,可简化运算,提高运算能力．例如由正弦二倍角公式得cos两角和正切公式例1求sin10°sin30°sin5...     

方法开路 巧解三角形

有些三角题，单纯用三角公式去解不易奏效，还需用到一些代数运算才能达到解题的目的．下面介绍几种常用的方法．     

和差角公式剖析及通法运用

《三角函数》一章中主要有三角函数和三角两个部分的内容,其中三角主要是有关的三角公式和运用公式进行三角变换解决有关的三角问题.三角变换主要是"变角"、"变名"和"变运算形式",按三变的角度去理解和运用好三角公式是学好三角部分的关键,其中核心是"变角".下面从三变的角度剖析三角公式并列举公式运用中涉及到的通法.     

用非三角变换解三角题七例

运用三角变换固然是解三角题的基本方法,由于三角公式较多,因此形成了丰富多彩的变换技巧,不易掌握,本文尝试通过知识间的横向联系,针对题目的特点,实施非三角运算,这对于发展智力,活跃思维,提高创新能力大有裨益。     

高考中的三角题常规解题途径

由于三角问题公式繁、题型杂、技巧多,学生在做这类题时,往往盲目探索,超时失分现象较为严重.若将各种题型技巧全部强化训练,又会陷入题海.如何解决这一矛盾?笔者认为:高考中的三角题都有比较明确的解题方向,只要从整体上加以把握,掌握其常现的解题途径,就能获得事半功倍的效果.     

利用三角法解平面几何题

三角法是代数法的一种.在解题过程中,先利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角函数公式等将几何中的线段、角的关系表示成代数形式,再通过三角运算解决几何问题,既可以使平面几何中复杂的量与量之间的关系变得简单明了,又可以将复杂的演绎推理转化为三角运算,思路清晰.     

从课本上一道习题谈起

高中代数上册第196页有这样一题练习题:求证:(sinα sinβ)/(sinα-sinβ)=tg((α β)/2)·ctg((α-β)/2) ,笔者发现,学生在证明这题时,往往偏重于代数式运算形式上的思考,忽视了寻找角度之间的变化关系,然而,三角函数是以角为自变量的函数,我们在解三角题时,如能紧紧抓住角之间的关系,也就把握了三角函数最关键、最具有本质特征的要素,从而提高解题技巧,下面就几种常用的变角方法做一个肤浅探讨,一、沟通题设角与目标角间的关系不妨把条件中的角称为题设角,把结论中的角称为目标角,如能找出题设角与目标角之间的关系,就能恰当选择和运用三角公式,问题就容易解决.     

高考数学基础考查探究与真题强化练习——专题9平面向量综合知识

高考命题趋向 平面向量是近年高考的重要内容．高考平面向量综合试题设置在向量与代数、三角、几何等问题的交汇处，多为中档的解答题，主要考查运用向量工具和正弦定理、余弦定理解决问题的应用意识和综合能力．只要我们深刻理解向量的概念性质，牢固掌握向量的运算法则及其夹角公式，垂直、平行充要条件的应用，搞好向量主干知识与三角恒等变换、三角函数图象变换、解析几何运算、轨迹方程等交汇问题的复习，积累和提升解决此类问题的综合能力，就能适应适应高考的要求．     

例谈三角代换在竞赛中的应用

三角函数蕴含着丰富的公式与性质,巧妙地运用这些公式与性质进行变量代换可以顺利解决许多综合问题．笔者在辅导中发现,三角代换在很多问题中能够简化题设信息,使隐性条件显性化,从而,建立起量与量之间的联系,对优化解题过程起到了积极的推进作用．本文结合实例述之．     

一组“三倍角公式”及其应用

在三角中,有一个三倍角正弦公式: (1/4)sin3θ=sinθ·sin(60°-θ)·sin(60° θ), 在具体的三角运算中,应用很广泛,且能派生出许多有趣结论,使许多三角题获得新颖解法。本文就此类公式进行一些初步探讨,供同行教学参考。     

注重通性通法彰显教学智慧

《数学通报》2013年第11期2155号数学问题由出题者在第12期出示了解答,不仅用了高中的三角公式,而且运算技巧性强.实际上,此题完全可以仅用初中知识解决而且方法很多.笔者通过八年级和九年级两班学生的解题教学找出最适合学生最近发展区的通法,体会到智慧在解决问题过程中的生成,在此整理成文,以期引发读者的更多思考.