正、余弦定理的变式及妙用

正、余弦定理是边角代换的工具,应用十分广泛,直接应用其变形公式解题,可简化解题过程,提高解题效率.下面介绍正、余弦定理的几种变式及在解题中的巧妙应用.     

余弦定理的变式和活用

本文介绍余弦定理五种较稳定的变式,并结合数形构造,揭示利用余弦定理解题的灵活性.     

例谈余弦定理的应用

余弦定理是三角形中揭示边角关系的一个璀璨亮丽的定理,余弦定理正用于已知两边及其夹角或已知三边解三角形,余弦定理因其变用而魅力无穷.在数学竞赛或自主招生考试中,用好余弦定理,可使问题迎刃而解.本文就余弦定理在平面几何问题,判定三角形的形状,推证正弦定理,证不等式,方程组约束下求值,求(证)三角式的值方面结合例题说明其应用.1.求平面几何问题例1六个正方形A,B,C,D,E,     

余弦定理的一个变式及其应用

余弦定理的重要性不言而喻,这里仅给出它的一个变式及其应用。 一、余弦定理的变式 余弦定理是我们熟知的。即在△ABC中,有cosA=(b~2+c~2-a~2)/2bc(#)。对cosB、cosC有类似的式子。因为在△ABC中,sinA≠0,可对(#)式两边同除以sinA,得cosA/sinA     

余弦定理的变着与活用

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理。直接应用它可解决已知三角形三边求角和已知三角形两边及夹角求第三边的问题,若对余弦定理加以改造变形并适当迁移于其它知识,应用极为广泛和灵活。本文拟就活用余弦定理谈点粗浅体会。一掌握变式巧用余弦定理     

正余弦定理的联合推论及其引申

正弦定理和余弦定理反映了任意三角形中边角间的关系 ,它们是解任意三角形的理论依据与重要工具 .但平常我们只注意将正、余弦定理单独或分层次先后逐一使用 ,而不善于将其整体一同综合使用 ,这便失去了其许多内在的魅力和外表的美感 .本文探求正、余弦定理的联合推论及其重要推广 ,以努力发掘正余弦定理的内在风采 ,充分发挥正余弦定理的整体效应 ,从而丰富解题方法 ,简化有关问题的解题过程 .一、正余弦定理的联合推论设△ＡＢＣ中∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边分别为ａ、ｂ、ｃ ,则有正弦定理 :ａｓｉｎＡ =ＢｓｉｎＢ =ｃｓｉｎＣ =2Ｒ(2Ｒ为…     

一道三角题的多变与多解

正余弦定理与三角恒等变形密切相关,近年各省市高考题和模拟题中,都对其进行了考查．下面借助一个例题,利用多个变式和多种解法,将其考查的思想和方法融合到一起．     

余弦定理的变式、研思与应用

余弦定理展现出任意三角形的边与角间的相依关系,它的每个表达式都包含三角形的四个元素——三条边和一个角,已知其中任意三个元素可求出另一个元素,是解斜三角形的理论基础.本文拟以新的视角研讨思索余弦定理,结合典例,或引申其变式,或挖掘应用潜能.     

余弦定理的变式及其应用

余弦定理和正弦定理一样,是揭示三角形边角之问的数量关系的重要定理。直接运用余弦定理解三角形,可以解决两类问题:1.已知三角形的三边,求三个内角;2.已知三角形的两边和一夹角,求第三边,然而余弦定理的应用远不止这些,它有着广泛的应用。本文通过例举它的五个比较定型的变式及其应用,来领略其在解题尤其是解竞赛题中“短、平、快”的作用。变式Ⅰ: a~2-(2bcosC)a+(b~2-c~2)=0,     

一道竞赛题的变式与推广

<正>变式与推广是中学数学教学中常采用的方法之一.对于数学问题,通过变式与推广,可渗透数学的基本思想,可以有效地锻炼学生数学思维能力,培养学生的创造性思维.因此对于数学问题的变式与推广,是对学生进行思维训练的有效工具,有利于提升学生的数学核心素养,提高学生学习数学的兴趣和效率.本文结合一道竞赛题,探讨数学问题的变式与推广策略,以供参考.     

三角函数中“鸡爪模型”的变式分析

<正>高考中解三角形问题涉及知识点主要有：正弦定理,余弦定理,三角恒等变换公式,面积公式,三角形“四心”、中线、高线、角分线性质等.本文以泉州市2022届高中毕业班质量检测(一)第17题为例,谈谈“鸡爪模型”的解题策略及变式分析,希望对读者有所帮助.     

正余弦定理面面观

正弦定理和余弦定理是中学数学中非常重要的三角公式,它们具有广泛的应用,与它们有关的问题是各类考试的热点.在学习中,值得我们总结与研究.为此,本文研究它的一些变式及其应用,供同学们学习参考.     

利用《超级画板》探索四面体的余弦定理

《超级画板》是将平面几何问题推广到立体几何的有力工具,文章将余弦定理推广到四面体中,并利用《超级画板》猜测、证明四面体的余弦定理,使学生掌握四面体的余弦定理,并能够对四面体在多面体中的重要地位有所领会,培养学生的空间想象能力及提出问题、分析问题和解决问题等能力.     

正、余弦定理的运用例析

正正、余弦定理是高中阶段的一个重要定理公式,在高考中对正、余弦定理的考查主要以三角形为依托,并结合实际应用问题来进行考查.题型一般为选择题、填空题,也可能是中等难度的解答题.学习这部分知识,要会运用正弦定理、余弦定理,解决一些简单的三角形度量问题和一些与测量、几何计算有关的实际问题.下面是对正余弦定理的知识概括以及常考点略析.正、余弦定理是解三角形最常用的定理.     

运用余弦定理解三角形的一类错误认识

<正>正弦定理、余弦定理都是揭示三角形边角之间数量关系的重要定理,要求能够运用正余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.学了正、余弦定理后,不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼,当三角形中已知两边和其中一边的对角时,可能出现一解、二解、无解等情况,虽然书上也有相应的方法,可是一些同学茫然依旧.近日在网上拜读了不少关于如何判断三角形的解的个数的文章,不少文章都认为在△ABC中,已知a,b和     

基于数学核心素养发展的余弦定理教学设计

<正>余弦定理是高中数学重要的内容,是解决数学问题的重要工具．具体来讲,余弦定理形式优美,内涵丰富,不仅是勾股定理的推广,同时也是正弦定理的深化,在解三角形中发挥着不可替代的重要．因此,余弦定理引起一线教师们的广泛关注,尤其在如何开展余弦定理的教学上．     

余弦定理课堂教学实录及反思

<正>一、目标定位余弦定理是苏教版教材必修5第一章解三角形第二节的内容,是在学习了任意三角形中边与角的正弦之间的联系以及一般探究方法之后对三角形的边与角的余弦的研究.余弦定理是对初中学习的直角三角形中边角关系的推广,从中可以让学生体会特殊到一般的过程.教学中可以引导学生从猜想、验证到证明等环节的自主探究.另外向量这一工具可以用来证明余弦定理,这一方法可以让学生体会演绎证明这一思维过程.     

运用余弦定理解三角形的一类错误认识

正弦定理、余弦定理都是揭示三角形边角之间数量关系的重要定理,要求能够运用正余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．学了正、余弦定理后,不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼,当三角形中已知两边和其中一边的对角时,可能出现一解、二解、无解等情况,虽然书上也有相应的方法,可是一些同学茫然依旧．     

联想·探究·反思·创新

新颁全日制高中《数学教学大纲》关于正弦定理、余弦定理有这样一段文字:掌握正弦定理、余弦定理,并能运用它们解斜三角形,能利用计算器解斜三角形的计算问题.大纲的要求可谓简单不过,但结合《高中数学课程标准》的“以问题为起点,以变式探究为重点,以培养创新意识为目标”的学习模式,遵循“问题、范式、变式、创新、评价”和学习程序,则完全可以领略到更新的意境.笔者在过去的教学实践中,曾布置过与人教版配套《课课练》的这样一道习题:在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,求证a2 -b2c2 =sin(A -B)sinC .在与学生对这一道题的…     

正余弦定理的若干证明与思考

通过作高化归、等面积、借助向量、数形结合等手段给出了正弦定理和余弦定理若干证明方法.根据正余弦定理互相推证说明两个定理之间的等价关联性.在三角形中利用投影指出了正余弦定理的几何特征并得到任意三角形的射影定理.