俄罗斯萨温竞赛题选

1.一条圆形公路上有A,B,C3个村庄.现在计划在环形公路上建造一所邮局P,要求邮局与这3个村庄距离的总长为最短,那么P点究竟应该设在何处最好?也就是问怎样才能使圆内3条弦PA,PB和PC的总长最短?2.如果有人把某个密码数乘以5,结果得到一个9位数,而且在这个数里面从1到9九个数字一个不少.那么你能说出这密码数的各位数字和是多少吗?3.有3个数,它们的和大于0,而它们的立方和则小于0,那么在它们之中是否正好有两个数会同时是负数?4.证明:存在任意多个自然数组(a,b,c,d),使等式a2+b3+c4=d5成立.5.如果每次把某个自然数允许增加它的1%到100%之…     

例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题

在公路的两侧,有两个村庄A、B,现在要在公路上修建一个加油站,问：怎样建,才能使加油站到两个村庄的距离和最短？     

“两点之间线段最短”在初中数学解题中的应用

例题如图1公路同侧有两个村庄A、B, 要在公路上建造车站尸,使尸到A、B的距离之 和最短,问车站P应建在何处? 分析:间建在何处 线路最短,即在公路上 求一点,使到A、B的距 离之和最短.由于两点 之间线段最短,但直接 夕 李 连结显然不妥,这是由于A、B在公路的同侧, 因此我们设想:将A、B两点转换成在公路的两 侧,这显然能找到尸点,所以只须利用对称,取 点A的对称点A‘,连结A‘B与公路交于点P,尸 即为车站的位置. 解此题的原理就是“两点之间线段最短”. 这个原理在初中数学解题中有着广泛的应用. 一、在几何中的应用 1.含有一个动.点,求线…     

关于费马点的探究与思考

1 问题的提出浙教版义务教育教科书《数学》八年级(下)第82页设计题:你听说过费马点吗?如图1,点 P 为△ABC 所在平面内一点.如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点 P 就叫做费马点.费马点有许多有趣并且有意义的性质.例如,平面内一点P到△ABC 三顶点的距离之和为 PA PB PC,当点 P 为费马点时,距离之和最小.假设 A、B、C 分别表示三个村庄,要选一处建车站,使车站到三个村庄的公路路程的和最短.若不考虑其他因素,那么车站     

谈经济线路设计

现实生活中的一个实际问题：三村合办一所小学，大家共同出资．为了节约经费，希望修筑的道路总长最短，试问小学的地址该选在哪里？     

费马点的数学文化意蕴——浙教版“寻找并验证费马点”的设计思考与实践

正一、教学立意中国画论有"意在画先"一说,课堂教学的设计也是一个意在教先、以意统教的过程.费马点是2006年版浙江课程实验教材数学八下4.2.3课后的设计题,它是以实际问题为背景呈现出来的.假设点A,B,C表示三个村庄,要选一处建车站,使车站到三个村庄的公路路程的和最短,若不考虑其他因素,那么车站应建在费马点上.这个问题的实质是以三角形内一点与各顶点组成的夹角都是120°为条件,证明三条线段之和     

对“关于一个常见习题的应用的讨论”的再讨论

文[1]指出了"一个常见习题"改编成应用题后仍用原题解法的错误,并作了一般性讨论: 题目 如图1,在一段直河岸l同侧有距河岸分别为AM=a(千米),BN=b(千米)的两个村庄A和B,AB=m千米,现在要在河岸l上修一抽水站,并铺设水管为A,B两村供水,问抽水站建在何处时,铺设的管道总长最短?     

最经济的路线(高一、高二、高三)

有这样一个问题: 三个乡村合办一所小学,大家共同出资.为了节约经费,希望修筑的从三个乡村到小学的道路的总长最短,那么这所小学的地址应选在哪里呢? 据历史考证,真正解决这个问题的人是数学家施坦纳.设三个乡村分别用A、B、C三点表示, 所求的点P称为△ABC的费马点.费马点的确定分两种情况: (1)若三角形的最大内角小于120°,则费马点P位于三角形内部,且该点与三角形三个顶点     

一类数学题的物理解法

光从一点传到另一点时总沿着光程最小的路径传播,根据这个原理可利用光的反射定律、折射定律和全反射定律解答数学试题中的相关极值问题,此方法有着数学方法不可替代的独特功能.以下举例说明其应用.例l.在一公路的同侧有A、B两个公司,其位置如图l所示,两个公司欲在公路旁边修建一仓库M并从两个公司各修一条直线大道通往仓库,欲使A、B到仓库的大道总长最短,仓库应修在何处?     

几何中的极大极小问题

三、两个例子 下面我们来看两个可以用同样方法处理的例子，它们在形式上看是极不相似的． 例1在空间中给定了两条不相交的直线，在它们上面哪两点的距离最短？     

几何型应用题分类解析

一、平面几何型应用题 例１ 如图１，某城市有一条公路从正西方A O 通 过市中心O 后转向东北方O B ．现要修建一条铁路L ，L 在O A 上设一站A ，在O B 上设一站B ，铁路在A B 部分 是笔直的．若要求市中心O 到A B 的距离为１０ 公里， 则把A 、B 分别设在公路上 离中心O 多远处才能使 ｜A B ｜最短，最短矩离是多 少（不要求作近似计算）？ 解析在△A O B 中，设O A ＝a，O B ＝b． ∵O A 为正西方向，O B 为东北方向， ∴∠A O B ＝１３５ °，｜A B ｜ ２ ＝a ２ ＋b ２ ＋２abcos４…     

生活中的轴对称(初二、初三)

1.最短距离问题 例1如图1所示,〔姚和OB为两条相交的公路,P为两公路所夹区域内的一定点.现计划修建三 厂_只犷—刀 图1 作法(l)作点A关于尸G的对称点A‘,作点B关于GH的对称点B‘; (2)连结A,B‘,分别交几子、G月于点P和点Q.P、Q即为所求的两个撞击点.黑球的运动条公路,其中两条使P分别与0气、〔沼相连,第三条连接前两条与OA、〔刀的交点.要使三条路的总长最姐,应怎样修建? 分析求最短路线常用到面镜成像原理”.“平穷_ 只犷,式可”路线为A尸一尸Q一QB. 黑球的运动过程可理解为光从A点出发,经镜面R子和GH反射后射向B点. 3.视角问…     

一个双重无理不等式的发现

背景问题 两条互相垂直的公路间有一城镇P,欲过P修一条直路与两公路相交,如何修最经济？[第一段]     

车站选在何处

有一块呈三角形的地区（图中的凸ABC）,在公路BC的P处是一个汽车站．为了加速该地区的经济发展,市领导决定在该地区内修一条公路,公路的一端为车站P,另一端需在公路AC上建～车站E．为了照顾公路两旁地区的经济发展,公路PE应把这个地区分为面积相等的两个部分．车站E应建在何处？设计院的张总工程师听完市领导的意图后,略加思索,便拿出了选址方案．先在公路BC上取中点D,连结AD、AP,然后过D作DE／AP与AC交于E．这E点便是将要修建的车站,又连结PE,这就是要在该地区修建的公路的所在地．市领导看完张』总画的设计路线后…     

一道应用题的解法探究与思考

<正>一、问题的提出2014届江苏省南京市第二次模拟考试给出了如下一道应用题:试题如图1,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC.根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M、N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:千米).如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远).     

对一道模拟试题的探究

<正>如图1,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M、N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:千米).如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远).本题解法也比较多,介绍以下几种方法     

不同情境下的最短运动时间

例题1汽车从甲地由静止出发，沿平直公路驶向乙地．汽车先以加速度a1做匀加速运动，然后做匀速运动，最后以加速度a2做匀减速运动，到乙地恰好停下，已知甲、乙两地相距为s，那么要使汽车从甲地到乙地所用时间最短，汽车应做怎样的运动？最短时间为多少？     

先加速 后减速问题的解法

模型汽车从甲地由静止出发,沿平直公路驶向乙地,先以加速度a1做匀加速运动,然后做匀速运动,最后以加速度a2做匀减速运动,到乙地恰好停下,已知甲、乙两地相距为s．要使汽车从甲地到乙地所用时间最短,汽车应做怎样的运动？最短时间为多少？     

作图题在中考命题中的新变化

近两年 ,中考数学作图题出现了一些设计巧妙、形式多样的新题 ,体现了新形势下中考命题的新特点 .图 1例 1　如图 1 ,一辆汽车在直线形的公路ＡＢ上由Ａ向Ｂ行驶 ,Ｍ、Ｎ分别是位于公路ＡＢ两侧的村庄 .( 1 )设汽车行驶到公路ＡＢ上的点Ｐ位置时 ,距离村庄Ｍ最近 ;行驶到点Ｑ位置时 ,距离村庄Ｎ最近 ,请在图中的公路ＡＢ上分别画出点Ｐ、Ｑ的位置 (保留画图痕迹 ) .( 2 )当汽车从Ａ出发向Ｂ行驶时 ,在公路ＡＢ的哪一段上距离Ｍ、Ｎ两村庄都越来越近 ?在哪一段上距离村庄Ｎ越来越近 ,而距离村庄Ｍ却越来越远 ?(分别用文字表述你的结论 ,不必…     

在变式探究中拓展学生的思维能力

笔者从事课堂教学研究多年，总忘不了这样一个教学案例，其预设的精巧与生成的有效给我留下了深刻的印象．这是一个探究最短距离的问题链：问题一：已知一条直线和直线异侧两点，请在直线上找一点P，使得P到这两点的距离最短．问题二：如果两点在直线同侧又如何解决呢？