有奖解题擂台(31)

题 如图.设点P是单位正方形ABCD的内部或边界上的任意一点.三角形ABP、BCP、和DAP的内切圆圆心分别是人、I_1、I_2、I_3和I_4.其内切圆半径分别是r_1、r_2、r_3和r_4;(规定:当P在某条边上或某个顶点上.例如P是AB边上的点时.△ABP的内心I_1就是点P.且 r_1=0.r_1~1= ∞).又设ABCD的中心为O点,两条线段I_1I_3与I_2I_4相交于T点.     

一个有趣的平几公式

本文先证明笔者最近发现的一个平几公式,即: 定理1 已知△ABC,BC边上的高为h,N为BC边内一点,△ABN与△ANC的内切圆半径分别为r_1、r_2,则△ABC的内切圆半径r满足 r=r_1 r_2-2r_1r_2/h_1 (1). 在证明定理1的时候需要用到一道已知的平几题,即 辅助命题 在△ABC中,内切圆⊙I与BC、CA、AB三边分别切于D、E、F,DIK为⊙I的直径,直线AK交BC边于C,则BG=CD.     

有奖解题擂台(24)

已知:P是凸四边形ABCD的内部或边上(不包括顶点)的任意的预先给定的一点,三角形ABP、BCP、CDP、DAP的内切圆圆心分别是I_1、I_2、I_3、I_4(规定:当P在某条边上,例如P是AB边上的内点时,△ABP的内心I_1就是点P)。     

数学问题与解答

281.设ABCD是⊙O的外切梯形,E是它的对角线交点,r_1、r_2、r_3、r_4分别是△ABE、△BCE、△CDE、△DAE的内切圆半径,求证: 1/r_1+1/r_3=1/r_2+1/r_4。证:设AD∥BC,S_1、S_2、S_3、S_4和P_1、P_2、P_3、P_4分别表示△ABE、△BCE、△CDE、△DAE的面积和半周长。由于S_i=r_i·p_i,故只要证明P_1/S_1+P_3/S_3=P_2/S_2+P_4/S_4。∵ABCD是圆的外切梯形,∴AB+CD=     

平面几何中谈极限思想的运用

08年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛有这样一道题:如图1,矩形ABCD中,点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上,点P在矩形ABCD内.若AB=4cm,BC=6cm,AE=CG=3cm,BF=DH=     

一道高考试题的开放性探究

背景资料(2003年全国卷高考试题第21题):已知常数a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O为AB的中点,点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动,且BE/BC=CF/CD=DG/DA,P为GE与OF的交点(如图1)。     

2003年高考理科数学第（21）题错解点评

2003年全国高考理科数学第21题: 已知常数a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O为AB的中点,点E,F,G分别在BC,CD,DA上移动,且BE/BC=CF/CD=DG/DA,P为GE与OF的交点(如图1),问是否存在两定点,使P到这两     

关于费尔马点的一个不等式

设P是△ABC内部满足∠BPC=∠CPA=∠APC=120°的一点,则称点P是△ABC的费尔马点。 定理 设P是△ABC的费尔马点,点P至边BC、CA、AB的距离分别为r_1、r_2、r_3,△ABC的内切圆半径为r.则有 r_n r_2 r_3≤3r.(1) 证明:记BC=a,CA=b,AB=c,PA=R_1,PB=R_2,PC=R_3,则有 a~2=R_2~2 R_3~2 R_2R_3, (2) b~2=R_3~2 R_1~2 R_3R_1. (3) 不妨设a≥b≥c.则可证     

数学问题与解答

1985年第5期问题解答 81.在圆内接凸四边形ABCD中,⊙O_1、⊙O_2、⊙O_8、⊙O_4分别是△ABD、△BCA、△CDB、△DAC的内切圆.设AB、BC、CD、DA上的切点依次是E、F,M、N,G、H,P、Q.求证: (1)EF=GH,MN=PQ; (2)EF·MN=R_1R_3+R_2R_4(R_1是⊙O_i的半径).     

与费马点有关的又一不等式

命题设max(A,B,C)<120°,点P是△ABC内的费马点(即△ABC内满足∠BPC=∠CPA=∠APB=120°的点),BC=a,CA=b,AB=c;△ABC的内切圆半径为r,点P到三边BC、CA、AB的距离分别为r_1、r_2、r_3,则有a~2r_1 b~2r_2 c~2r_3≥1/3(a b c)~2·r (1) 等号成立当且仅当△ABC为正三角形。证明:记PA=u,PB=v,PC=w;△ABC、     

由一道高考题探究解析几何中的探索性问题

引题:(2003全国卷21题)已知常数 a>0,在矩形ABCD 中,AB=4,BC=4a,O 为 AB 的中点。点 E、F、G 分别在 BC、CD、DA 上移动,且(BE)/(Bc)=(CF)/(CD)=(DG)/(DA),P 为 GE 与 OF 的交点(如图)。问是否存在两点,使 P 到这两点的距离的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由。     

一道竞赛题的几种解法

1994年全国初中数学联赛其中一道选择题是:如图所示,半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上,且与其余三边BC、CD、DA相切.若BC=2,DA=3,则AB的长(A)等于4,(B)等     

双圆四边形的一个性质

定理设双圆四边形ABCD的边长AB=a．BC二b，CD=c，DA=d，R、r、△分别表示外接圆和内切圆的半径和面积，     

一道赛题的拓展与简证

题目:圆内接凸四边形 ABCD 的面积记为S,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,证明:(1)S=((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))~(1/2),其中 p:(a b c d)/2;(2)如果四边形 ABCD 同时具有外接圆和内切圆,则 S=abcd~(1/2).(2005年北京市高一赛题)本题可作如下拓展:定理:任意凸四边形 ABCD 的面积是 S=     

一道美国奥赛题的推广

1994年第22届美国数学奥林匹克(UMO·22)的第2题为:“已知:如图1,凸四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直并相交于E,从E点分别作边AB、BC、CD、DA的垂线,垂足依次为P、Q、R、S。求证:P、     

多边形Brocard点一个性质的推广

文[1]给出:若△ABC面积为?,Brocard角为α,则Brocard点在三边的射影为顶点的三角形面积为?sin2α.文[2]推广为:P是双圆四边形ABCD的Brocard点,∠P AB=∠P BC=∠P CD=∠P DA=α,P点在AB、BC、CD、DA上的射影分别为A'、B'、C'、D',记四边形ABCD的面积为?,则四边形A'B'C'D'的面积为?'=?sin2α.文[3]指出文[2]“双圆四边形”的条件是多余的,并将上述结论推广到凸多边形A1A2A3L An,得到:设凸多边形A1A2A3L An的Brocard点为P,其Brocard角为θ,点P在直线Ai Ai+1上的射影为Bi(i=1,2,L,n且A n+1为A1),多边形A1A2A3L An和…     

正方形的一个性质

定理 P为正方形ABCD所在空间任一点,则 PA~2 PC~2=PB~2 PD~2。 (＊) 证明 设P到平面ABCD距离为h,到边AB,BC,CD,DA距离分别为d_1,d_2,d_3,     

圆外切四边形的性质及应用

初三几何课本119页例2反映了圆外切四边形边之间的关系,“圆外切四边形的两组对边的和相等”这就是圆外切四边形的性质,用这种性质就可以解决题目中涉及圆外切四边形的问题,现举例如下: 例1.已知梯形ABCD,AD∥BC且AB=CD=8cm,边AB、BC、CD、DA与⊙O分别切于点E、F、G、H,⊙O的直径为6cm,求S_(梯形ABCD)。 解:连结HO并延长,则HO⊥AD∵AD∥BC∴OH⊥BC得HO的延长线必过F点,即HF是⊙O的直径,也是梯形的高,由圆外切四边形性质得AD+BC:AB+CD,∴AD+BC=8×2=16(cm),∴S_(梯形ABCD)=1/2(AD+BC)HF=1/2×16×6=48(cm~2)     

由一道题目得出的结论

有这么一道题目: 如图1,P是矩形ABCD内的一点,若PA=3,PB=4, PC=5,则PD=__. 解:过P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F,过P 作BC平行线分别交AB、CD于G、H(如图2).于是,EF⊥AD、EF⊥BC,GH⊥AB,GH⊥CD,设AG=DH=a,BG =CH=b,AE=BF=c,DE=CF=d,则由勾股定理,得a2 c2=32……①b2 c2=42……②b2 d2=52……③     

一道高考试题的解法探讨及其推广

20 0 3年高考数学选择题中的第 11题是 :已知长方形的四个点 A(0 ,0 ) ,B(2 ,0 ) ,C(2 ,1)和 D(0 ,1) ,一质点从 AB的中点 P0沿与 AB夹角为 θ的方向射到 BC上的点 P1后 ,依次反射到 CD,DA和 AB上的点 P2 ,P3 和 P4(入射角等于反射角 ) .设 P4的坐标为 (x4,0 ) ,若 1相似文献