托勒密定理在代数中的应用

"圆内接四边形中两组对边的积的和等于两对角线的积",这是著名的托勒密定理.众所周知,它在几何领域特别是圆这一内容中有着极为重要的作用.然而,很多人不清楚它其实在代数研究中也有着举足轻重的作用,甚至在某些代数问题的解决中,特别在数学竞赛辅导中扮演了一个非常活跃的角色.     

托勒密定理的一个推广

1引言托勒密(Ptolemy)定理在圆内接四边形中,两对角线之积等于两对对边之积的和.即设ABCD是圆的内接四边形,则AB·CD+BC·AD=AC·BD①文[1]简述了托勒密定理的历史与作用,并提及1866年Casey对托勒密定理的一个推广.Casey定理[2]四圆O1、O2、O3、O4同时内切于圆O,以aij表示圆Oi、Oj的外公切线长,则a12·a34+a23·a14=a13·a24②由于点可以看成是退化的圆,当Casey定理中的四圆O1、O2、O3、O4的半径均为零时,②式变为①式,所以Casey定理确实是托勒密定理的推广.本文将Casey定理中四个内切于圆O的圆O1、O2、O3、O4的部分或全部…     

托勒密定理及其应用

托勒密定理在圆内接四边形中，两条对角线长度之积等于两对对边乘积之和．     

托勒密定理的两个应用

托勒密（Ptolemy）定理圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．     

托勒密定理的向量证明

从向量的角度对托勒密定理进行研究,可以精简证明过程,降低综合几何在解决问题时的难度,也可以直观地得出一些有用的结论．     

巧用托勒密定理解高考模拟试题

文章以几道试题为例,介绍了托勒密定理在求解与圆内接四边形有关的高考模拟试题中的应用.     

圆中几个著名的定理

托勒密定理托勒密定理：圆内接四边形的对边积之和等于对角线之积.这个定理的证法有很多,可采用面积证法或余弦定理等方法,这里采用的是相似三角形法,也是比较简单的一种证法.     

浅谈几何证明中添辅助线的规律

几何证明中添加辅助线，其作用主要在于沟通“条件”和“结论”．具体来说，就是把分散的条件集中．使隐蔽的条件显露．将复杂的问题化简，为推证创造条件，促成问题的最终解决．     

对圆内接四边形一个特殊性质的探求

圆内接四边形两组对边乘积相等的充要条件是过一条对角线两个端点所引的圆的两条切线与另一条对角线共点或相互平行。     

几何证明中添加辅助线的途径

一、构造基本图形，添加辅助线 例 1.如图 1，过△ ABC的顶点 C任作一直线与边 AB及中线 AD交于 F、 E两点，求证 . 证明 1：过 D点作 DG∥ AB交 CF于 G点， 证明 2：如图 2，过 D点作 DG∥ CF交 AB于 G点，下略 . 这里通过构造平行线分线段成比例定理的原型图形，添加了辅助线，使问题得到证明 . 二、构造经验图形，添加辅助线 例 2.如图 3，已知：⊙ O1与⊙ O2外切于点 P，两圆的外公切线 AB切⊙ O1于 A，切⊙ O2于 B， AC是⊙ O1的直径， CD切⊙ O2于 D，求证： AC=CD。 (连云港市中考题 ) 证明：利用例题 (＊ )，…     

极坐标法证几何定理

极坐标法是一种重要的解题方法，在平面几何中的应用十分广泛，但目前国内外中学数学教材中介绍甚少，为充实这一数学内容，以弥补其不足，本文以部分平面几何中著名定理为例，谈谈极坐标法在证明中的应用。     

正切定理的几何证明

15世纪，通过德国数学家雷格蒙塔努斯(Regiomontanus，1436-1476)、波兰天文学家哥白尼(N．Copernicus，1473～1543)、德国数学家雷提库斯(G．J．Raethicus，1514～1576)的工作，三角学在欧洲得到了复兴．伴随着三角学的复兴，不仅古代希腊人和阿拉伯人所知道的三角形边角关系(如余弦定理和正弦定理)被重新提出，而且各种新的三角恒等式也相继被发现．     

再谈三角形内角和定理的证明

三角形内角和定理的证明,课本已给出了一种证法,此定理是添辅助线证明的第一例,本文着重谈谈证明思路的选择途径. 已知:如图1,△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=180°. 思维过程:欲证三角形三个内角之和等于180°,联想我们学过的与180°有关的角有哪些呢?一是一个平角等于180°,二是两条平行线被第三     

三割线定理的纯平面几何简证

贵刊2005年第9期刊登的三割线定理为：如图，PAB，PCD为⊙O的任意割线，AD与BC交于点Q，PQ交⊙O于点E、F。则1/PE＋1/PF=2/PQ。     

凸四边形蝴蝶定理的综合证法

定理　凸四边形ABCD的两条对角线交于BD的中点O ,过O的两直线分别交BC于E、AD于F ,交AB于G ,CD于H ;GE、FH分别交BD于M、N ,则MO =ON .证明 :如图 ,过E、F、G、H作AC的平行线 ,分别交BD于E′、F′、G′、H′,再引BD的垂线 ,垂足依次为E1、F1、G1、H1.由于 OM(EE1+GG1)ON(FF1+HH1) =S△EOGS△FOH=OG·OEOF·OH =GG1·EE1HH1·FF1,①记FF′=f,EE′=e,OB =OD =b,DF′ =x ,BE′=y ,OA =a ,OC =c .则由平行关系 (作图 ) ,得fa =xb ,ec =yb ,fe =b-xb -y.从中得到1f -1e =1a-1c ,即 1FF′-1EE′=1CA-…     

几何证明中线段的和差问题

平面几何的证明问题中,有一类题目是关于线段的和差问题即证明两条线段的和（差）等于另一条线段．如果不能直接进行证明,则往往需要添加辅助线,而最常见的添加方法即为截长补短．截长补短就是在证题时．在长线段上截取和短线段相等的线段或把短线段补成和长线段相等的线段的引辅助线的方法．很多时候,同一题目的证明,既可截长,又可补短;既可直接截（补）,又可间接截（补）．