巧用ln(1+x)＜x证明不等式

在很多问题中都涉及了这样一个重要的不等式:当x>-1且x≠0时,有ln(1 x)0时,则f(x)<     

一个指数函数不等式 五道高考数学压轴题

正2013年高考已落下帷幕,笔者于教学之余欣赏各地的数学试题,发现许多压轴试题的背景与不等式e 1x≥x+(或ln(1+x)x)有关,如能运用这个不等式,能有效解决这类问题.下面和大家一起欣赏由不等式e 1x≥x+为背景,命制的五道高考压轴题.例1(2013年高考新课标Ⅱ卷·理22)已知函数()e ln()x f x=-x+m,(Ι)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)0.分析(Ι)1()e x f x x m′=-+,f′(0)=0,m=1;1()e1x f x x′=-+∵,当x0时,     

函数零点个数的判断策略

<正>从近几年的高考来看,有关函数零点个数问题的高考试题层出不穷,对解决此类问题的能力考查力度也逐步加大.以下结合实例探讨判断函数零点个数的策略.一、利用解方程判断函数零点个数例1(2010年福建高考题)函数f(x)=x²+2x-3,x≤0,-2+ln x,x>{0的零点个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3解当x≤0时,令x2+2x-3,x≤0,-2+ln x,x>{0的零点个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3解当x≤0时,令x²+2x-3=0,解得x=-3;当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2+2x-3=0,解得x=-3;当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e².所以f(x)有两个零点,故选C.二、利用函数图象判断函数零点个数     

聚焦以拐点处切线为背景的高考压轴题

<正>1考情新动向题1(2018年高考全国3卷理科)已知函数f(x)=2(+x+ax²)ln(1+x)-2x.(1)若a=0,证明:当-10时,f(x)>0;⑵略.命题组给出的标准答案如下:(1)当a=0时,f(x)=2(+x)ln(1+x)-2x,f′(x)=ln(1+x)-x/1+x.设函数g(x)=f′(x)=ln(1     

巧用构造法，证明不等式

构造法是一种重要的数学方法,在数学中的应用十分广泛.本文着重谈谈构造法在证明不等式中的应用,通过 “构造函数”、“构造图形”、“构造方程”、“构造复数”等方法来证明不等式,不但能拓展证明不等式的思路,而且对于培养良好的思维品质,提高解题的灵活性、准确性,特别是创造性具有十分积极的意义. 1 构造函数 例1 已知1a<,1b<,求证:11abab+<+. 证明 构造一次函数 ()(1)()fxabxab=+-+ 令()0fx=,得1abxab+=+, ∵(1)(1)ff? [(1)()][(1)()]abababab=+-+-+-+ 22()(1)abab=+-+22(1)(1)0ab=--<,∴函数()yfx=的零点在区间(1,1)-中, 即 111abab+…     

利用“和差代换”简证一类不等式

对于任意实数a与b,都有2aba = ,2ab-.22ababb -=-令,.22ababst -==则有ast= ,bst=-.这就是“和差代换”,本文利用“和差代换”给出几个难度较大的不等式的简捷证明. 例1 已知a、b是任意的正实数,求证: 11()12nnnnnaababbabn-- L. (湖南省中学生数学夏令营试题) 证明 当ab=时,显然等号成立.当ab时,则只须证: 11()(1)()2nnnababnab - -. 设,ast= bst=-,其中0.2abs =>故有 1111()()(1)()(1)2nnnnabststnabnt - --= - ?13225441111nnnnnnCsCstCstn-- = L 11().12nnnnCsabsn == 例2 对任意实数a、b,求证 223366.2222ababab…     

用导数法证明不等式

不等式是高中数学教学的重点和难点,又是继续深造的重要基础,所以不等式一直都是高考命题的热点,常考常新,创意不断.在新课程的高考卷中,应用导数研究函数的性质,应用函数的单调性证明不等式,体现出新的综合热点,充分发挥导数的工具作用.1单变量不等式例1设b>1,求证:1 2b21,f'(x)<0,∴f(x)在(1, ∞)上单调递减,且f(x)在[1, ∞)上连续,f(1)=0,从而①式得证.②欲证:1 2b21),只需证2(b?1)<(1 b2)ln b<0,②设g(x)=2(x?1)?(1 …     

R≥2r～(1/2)的隔离及一个猜想的否定

设双圆四边形ABCD内切圆为()Ir,外接圆为()OR,四边形ABCD四个旁切圆为⊙()aaIr,⊙()bbIr,⊙()ccIr,⊙()ddIr,则旁心四边形abcdIIII内接于圆.设这个圆为⊙0'()OR.杨之先生于文[1]中猜想:2322()22rrrRR-?证明左边不等式2322()2rrrR?化简即知成立.右边不等式可写为232()22rrRR-?(1)设rxR=,则22x.(1)式即为2(32/2)2xx-?即2(32/2)20xx--?32329/220xxx- -?2252()(2)022xxx-- ?2(2/2)(22)0xx--?由2/2x知上式成立,定理1获证.定理2在上述记号条件下,有22032()2RRRrr?.(2)简证不等式(2)可化为2032()2rRrR?.由文[1]98P第18条性质知02RR.…     

构造函数法证不等式的思考途径

构造函数法是证不等式的一种重要方法 ,本文谈谈构造函数法证不等式的几种思考途径 .途径一　利用函数的单调性构造一个函数 ,使原不等式 (或经等价变形后 )的左右两边是这个函数在某一个单调区间上的两个值 ,就可以利用函数的单调性证明不等式 .例 1　已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ =1,求证 :ａｂｃ 1ａｂｃ≥ 2 712 7.证明　令 ｆ(ｘ) =ｘ 1ｘ ,取 0 <ｘ1<ｘ2 <1,则ｆ(ｘ2 ) - ｆ(ｘ1) =(ｘ2 -ｘ1) 1ｘ2 - 1ｘ1=(ｘ2 -ｘ1) 1- 1ｘ1ｘ2 <0 ,所以 ｆ(ｘ)在 (0 ,1)上为减函数 .又 0 <ａｂｃ≤ ａ ｂ ｃ33=12 7,∴ｆ(ａｂｃ) ≥ ｆ 12 …     

巧用因式分解,妙解三角形问题

例1已知、、是△的三边长,且满足2 2 2= .求证:△为等边三角形.解析:要证△为等边三角形,只需证==.根据等式的结构特征,可以把等式变形为()2 ()2 ()2=0,则==.证明过程如下由题意,得2 2 2=0.则22 22 22222=0.即()2 ()2 ()2=0.∴==.即△为等边三角形.例2已知、、是△的三边长,且     

对一道高考题的思考和探究

题2019年全国II卷理科数学第20题.已知f(x)=ln x-x+1 x-1,(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;(2)设x 0是f(x)的零点,证明曲线y=ln x在点A(x 0,ln x 0)处的切线也是曲线y=e x的切线.该试题中,函数y=ln x在函数f(x)的零点处的切线为曲线y=ln x与y=e x的公切线,那么,函数y=ln x和y=e x的图象分别与函数y=x+1 x-1的图象交点与它们的公切线有何关系?一般地,指数函数y=a x和对数函数y=log ax(a>0且a≠1)图象的公切线又有何相应的结论?本文对此加以探索.     

一个无理不等式的简证及类似

《数学通报》2002年8月号问题1388为 设0x>,0y>,1xy =,试证 11()()11xyxy 43. (1)本文给出上述不等式一种简捷证法,并用该方法证明涉及三个变量的类似不等式. 1 简证 由题设条件知xy122xy =,从而 2(1)(1)9()/8xyxy - 9/47/8xyxy=- (7/4)(1/2)0xyxy=--? 所以xy 22(1)(1)     

辅助函数法及其在高中数学解题中的应用

<正>构造适当的函数并利用函数的单调性等有关知识辅助解决问题的方法称之为辅助函数法,辅助函数法可以使一些棘手的问题得到异常奇妙、干净利落地解决。一、比较大小例1比较ln2/2,ln3/3,ln4/4,ln5/5的大小。     

巧构函数证不等式

构造函数解题能拓宽思路,加深对函数概念及其性质的理解,且对有些较复杂的问题起到化繁为简、化难为易的作用.下面仅从三个方面举例说明构造函数证明不等式的应用,以飨读者.一、构造单调函数例1.若x∈(-∞,-1〕U〔3,∞),|P|<2,求证:x~2 Px 1>2x P证明:构造函数 f(P)=x~2 Px 1-(2x P)=P(x-1) (x-1)~2i)当x∈〔3, ∞)时,x-1>0,∴f(P)在P∈(-2,2)上是增函数,∴f(P)>     

证明不等式方法小结

有关不等式的证明题频频出现在各级各类数学试卷中 , 常处于“压轴题”的地位 , 充当“把关题”的重要角色 . 解决这类问题技巧性很强 , 仅仅依靠教材介绍的几种基本方法无法独占鳌头 . 为此 , 本文对不等式的证明方法作系统的归纳和必要的补充 , 供参考 .一、比较法证明一个不等式可看成比较两个数 ( 式 ) 的大小 ,常用技巧有作差比较、作商比较和乘方比较 .1 作差比较例 1 　 已知 , , 1 , 2 ∈ , 且1 >1 , 1 > 2 , 求证 :11 >22 .证明 : 设 =11 -22 = 1 - 2( 1…     

两个重要不等式及其在高考中的应用

<正>近几年高考数学压轴题,多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围,其中活跃着一类与"ex"和"ln x"有关的函数不等式.本文通过对两个重要函数不等式及其变式在近几年高考压轴题中的应用为例进行探究,以供大家参考.一、两个重要函数不等式的证明结论 1若x∈R,则ex≥x+1(当且仅当x=0等号成立).证明构造函数f(x)=ex-x-1,求导     

2007年第2期问题解答

79.已知a、b、c∈R ,且abc=8,求aabbcc的最小值.解:因为函数(f x)=lnx在(0, ∞)上是增函数,所以对于任意a,b∈R ,恒有(a-b)[f(a)-f(b)]≥0成立,即a ln a b ln b≥a ln b b ln a.①同理,b ln b c ln c≥b ln c c ln b.②c ln c a ln a≥c ln a a ln c.③由① ② ③得2ln(aabbcc)≥(b c)ln a (a c)ln b (a b)ln c.所以有3ln(aabbcc)≥(a b c)ln(abc),即aabbcc≥(abc)a b c3.又因为abc=8,所以a b c≥3#3abc=6,即aabbcc≥82=64.当且仅当a=b=c=2时取等号,所以aabbcc的最小值为64.80.设a,b>0,求证:当λ>2时,有!a aλb$ !b bλa$≤λ$!λ2-1.证明:…     

数学问答

1.已知函数f(x)=tanx,x∈0,2π,并且x1≠x2,求证:12[f(x1) f(x2)]>fx12 x2.(maidewei@163.com)解答:∵tanx1 tanx2=csionsxx11 sinx2cosx2=scions(xx11c osxx2)2=cos(x12 sixn2()x 1c osx(2)x1-x2),而x1、x2∈0,2π且x1≠x2,∴2sin(x1 x2)>0,cosx1cosx2>0且0相似文献   

怎样解高考数学选择题

解答高中数学选择题常用方法有五种:直接法、筛选法、特例法、代入法、图解法.由于选择题不同,解法也不同,即使是同一个题目,也往往可以用多种方法思考.因此,应该多观察、善分析,运用恰当的方法,正确、迅速地做出判断.1.直接法直接从题设的条件出发,通过运算和推理,从而得出题目中要求解的正确结果,再与所给的结果对照,选择相同结果的代号,这种判断方法叫做直接法.【例1】函数y=lnxx -11(x∈(1, ∞))的反函数是()A.y=eexx- 11,(x>0)B.y=eexx- 11,(x>0)C.y=eexx- 11,(x<0)D.y=eexx -11,(x<0)思考方法:∵x>1xx -11=1 x2-1>1y=lnxx- 11>0又y=…     

一个不等式再推广

文[1]将一个不等式推广为 设*0(1,2,,,2),iainnmN>=澄L, 且1niisa==,则 11111mnnmiiiiiaasan-==--邋. 本文再将其推广为 推广 设0ia>(1,2,,,2)inn=矻,m, ,kN*且mk>,1niisa==,则 111()(1)mnnmkiikkiiiaasan-==--邋. 当且仅当12naaa===L时等式成立. 证明 由文[2]行列式不等式: 若,xy>0,*,mkN,且mk>,则 ,kmmkmkmkyxyxmk--- 整理得1()mmkmkkxmxkyymk--?-,及幂平均不等式:若*0(1,2,,),iainmN>=蜭,则 11()nnmiimiiaann==邋,得 1111()(1)(()/(1))immnnikkkniiijijaasanaan====----邋 111[(()/(1))](1)()mknnmkijikijmakaannmk--==-----邋111()1…