由一道高考题探究解析几何中的探索性问题

引题 :( 2 0 0 3年全国卷理 2 1题 )已知常数 a>0 ,在矩形 ABCD中 ,AB =4,BC =4a,O为AB的中点 .点 E、F、G分别在 BC、CD、DA上移动 ,且 BEBC=CFCD=DGDA,P为 GE与 OF的交点(如图 1) .问是否存在两点 ,使 P到这两点的距离的和为定值 ?若存在 ,求出这两点的坐标及此定值 ;若不存在 ,请说明理由 .图 1这是一道典型的探索性问题 ,它是由椭圆的规尺作图法 (教材中有抛物线线的矩形作法 )改编而成 .该题条件、结论可塑性强 ,对培养学生各种能力提供了很大的空间 .笔者想通过对这道题的探求 ,谈谈解析几何中探索性问题的 4种类型及…     

源于课本 推陈出新——浅谈2003年高考(全国卷)解析几何试题(第21题)

20 0 3年高考尘埃落定 ,全国高考试题可圈可点之处颇多 ,背景新颖、能力立意非常突出 ,减少运算、增加思维得到了进一步的体现 ,在考查学生的创新意识方面前进了一大步 ,可谓“推陈出新” 现对解析几何试题 (第 2 1题 )作浅显探讨 ,以期抛砖引玉 题 2 1图[原题 ]　 ( 2 1)(本题满分 14分 )已知常数a >0 ,在矩形ABCD中 ,AB =4 ,BC =4a ,O为AB的中点 ,点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动 ,且 BEBC =CFCD =DGDA ,P为GE与OF的交点 (如图 )问是否存在两个定点 ,使P到这两点的距离的和为定值 ?若存在 ,求出这两点的坐标及此定值 ;…     

例谈引参与消参

在参加今年全国普通高考评卷过程中 ,本人所评的一道高考题是考生得分率最低的一题 ,其中 ,90 %以上的考生得分为零分 .抽样调查 3 0 0名考生试卷 ,合计得分为 12 9分 ,平均每人不到 0 .5分 .该试题如下 :已知常数a >0 ,在矩形ABCD中 ,AB =4,BC=4a ,O为AB的中点 .点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动且BEBC =CFCD =DGDA,P为GE与OF的交点 (如图 1) ,问是否存在两个定点 ,使P到这两点的距离的和为定值 ?若存在 ,求出这两点的坐标及此定值 ,若不存在 ,请说明理由 .　　其难点主要在于考生把握不了如何适当地引入参数与合理地消去…     

全国卷第（21）题别解

试题　已知常数 a(a>0 ) ,在矩形ABCD中 ,AB=4 ,BC=4 a,O为 AB的中点 ,点 E,F,G分别在 BC,CD,DA上移动 ,且 BEBC=CFCD=DGDA,P为 GE与 OF交点 ,问是否存在两个定点 ,使 P到这两点的距离和为定值 ?若存在 ,求出这两点的坐标及此定值 ;若不存在 ,请说明理由 .解　由已知 ,易知 GE必过点 (0 ,2 a) ,凤OF的方程为 y=k1 x　 1,GE的方程为 y=k2 x+2 a　 2 .由 1,得 F点的横坐标为 4 ak1,由 2 ,得 E点的纵坐标为 2 k2 +2 a,于是 CF=2 - 4 ak1.由已知 2 k2 +2 a4 a =2 - 4 ak1 4 ,化简得 k2=- 2 a2k1 ,代入　 2 ,有 y=- 2 a2k1 x…     

一道高考试题的开放性探究

背景资料(2003年全国卷高考试题第21题):已知常数a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O为AB的中点,点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动,且BE/BC=CF/CD=DG/DA,P为GE与OF的交点(如图1)。     

2003年高考理科数学第（21）题错解点评

2003年全国高考理科数学第21题: 已知常数a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O为AB的中点,点E,F,G分别在BC,CD,DA上移动,且BE/BC=CF/CD=DG/DA,P为GE与OF的交点(如图1),问是否存在两定点,使P到这两     

平面几何中谈极限思想的运用

08年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛有这样一道题:如图1,矩形ABCD中,点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上,点P在矩形ABCD内.若AB=4cm,BC=6cm,AE=CG=3cm,BF=DH=     

巧用对称 化“折”为直——从一道2003年高考题谈起

先看2003年高考数学(理)第10题: 已知长方形的四个顶点A(0,0)、B(2,0)、C(2,1)和D(0,1),一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向(∠P1P0x=θ)射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角).设P4的坐标为(x4,0),若1相似文献   

一题多变 触类旁通

题目已知:如图1,AM是△ABC中BC边上的中线,P是AM上任意一点,过点P作DE∥BC,交AB、AC分别于D、E. 求证:PD=PE. 证明:∵DE∥BC, ∴(PD)/(BM)=(AP)/(AM),(PE)/(MC)=(AP)/(AM),∴ (PD)/(BM)=(PE)/(MC), ∵BM=MC,∴PD=PE. 变式一已知:如图2,AM是△ABC中BC边上的中线,P是AM上     

一道高考试题的解法探讨及其推广

20 0 3年高考数学选择题中的第 11题是 :已知长方形的四个点 A(0 ,0 ) ,B(2 ,0 ) ,C(2 ,1)和 D(0 ,1) ,一质点从 AB的中点 P0沿与 AB夹角为 θ的方向射到 BC上的点 P1后 ,依次反射到 CD,DA和 AB上的点 P2 ,P3 和 P4(入射角等于反射角 ) .设 P4的坐标为 (x4,0 ) ,若 1相似文献   

对一道中考试题解法的探究

<正>试题(2013扬州)如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=2,CD=1,BC=m,P为线段BC上的一动点,且和B、C不重合,连结PA,过点P作PE⊥PA交CD所在直线于点E.设BP=x,CE=y.(1)求y与x的函数关系式;(2)若点P在线段BC上运动时,点E总在线段CD上,求m的取值范围;(3)如图2,若m=4,将△PEC沿PE翻     

一道竞赛题的几种解法

1994年全国初中数学联赛其中一道选择题是:如图所示,半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上,且与其余三边BC、CD、DA相切.若BC=2,DA=3,则AB的长(A)等于4,(B)等     

分角线的一个定理及其应用

一、定理 在△ABC中,已知a、b、c是角A、B、C所对的边,ta是角A的平分线的长。求证: 1/b+1/c=(2cos1/2A)/(ta) 证明:如图1,过D作AC和AB的平分线分别交AB和AC于E、F, 则(DE)/(CA)=(BD)/(BC); (DF)/(AB)=(CD)/(CB). (DE)/(CA)+(DF)/(AB)=(BD+CD)/(CB)=1.     

新课程中的一堂几何探究课

2003年全国高考题:已知长方形的四个顶点A(0,0)、B(2,0)、C(2,1)和D(0,1),一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角),设P4的坐标为(x4,0),若1相似文献   

四边形一个有趣性质的发现

对于任意四边形,有这样一道常见题: 若EFGH分别是四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA的中点,则线段HF和EG相互平分.笔者在研究这道陈题时意外发现如下规律: 性质1 若EFGH分别是四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA的中点,四个小四边形的面积存在如下关系:SAIH+SIFCG=SEBFI+SHIGD.     

平面几何上的韦达定理

平面几何中有关二次方程的问题,大多可以应用韦达定理去解。兹举例如下: 梯形ABCD中(图1),∠B作圆,交BC于E,F。设∠EAB=α,∠EAD=β,求证tgα和tgβ是方程AB·x~2-BC·x+CD=0的两个根。[分析]:在这道题中,只要证明tgα+tgβ=(BC)/(AB),tgαtgβ=(CD)/(AB)就行了。由已知条件,tgα=(BE)/(AB);联DE,∵AD为直径,90°。以AD为直径∠AED=∴tgβ=(DE)/(AE)。但(BE)/(AB)和(DE)/(AE)的分母不同,所以还要化简。联AF,因A、D、F、E四点共圆。∴∠ADE=∠AFE,∠FAB=90°-∠AFE=90°-∠ADE=β,∴tgβ=(BF)/(AB)。因此,解本题的关键在于证     

加强思维训练例谈

首先,让我们看这样一道题:在△ABC 中,已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4,求证:(1)/(AB)+(1)/(AC)=(1)/(BC).这是一道比较难的题。学生看到求证结论,不知从何下手。我们是这样引导学生进行思维训练的。     

一箭三雕——趣谈四边形蝴蝶定理及其证明

平几名题之一——圆内蝴蝶定理是众所周知的;而并中先生给出的四边形蝴蝶定理,则鲜为人知。请看下述命题及其证明: 命题1 设M是四边形ABCD的对角线的交点,过M作两直线分别与AB、CD交于P、Q,与AD、BC交于R、S,连PR、QS分别与MA、MC交于G、H(图1),则 (MG)/(AG)·(CH)/(MH)=(MC)/(MA)。命题2 凹四边形两对角线交于M,过M作两直线分别交直线AB、CD于P、Q,交直     

光的反射原理用于数学(高一、高二、高三)

例1 已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1),一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角),设P4坐标为(x4,0),若1相似文献   

关于二次曲线定向弦的讨论

在许多高三数学复习资料中有这样一道题:"已知椭圆(x2)/(4) (y2)/(9)=1上有一点P(1,(3(√3))/2),A,B是椭圆上异于点P的另外两点,若直线PA,PB的倾斜角互补,求证直线AB的斜率为定值."通过对这个问题的研究,笔者得到了一些与定向弦(如果点A,B在一条二次曲线上,那么我们就把AB称为这条二次曲线的一条弦.如果直线AB的斜率为定值,我们则称AB是这条二次曲线的定向弦)相关的有趣性质.