一个三角不等式的证明与应用

定理 对于αi,βi,γi∈（0,π）,其中i=1,2,且α1＋α2＋β1＋β2＋γ1＋γ2=2π则sinαisinβ1sinγ1＋sinα2sin2sinγ2≤2sin（α1＋α2）/2 sin（β1＋β2）/2sin（γ1＋γ2）/2（1）当且仅当α1=α2,β1=β2,γ1=γ2时,（1）式取等号。     

一个三角不等式的证明与推广

<正> 在△ABC中有这样一个不等式sin A+sin B+sin C≤(3(3~(1/3))) ①对于这个不等式有各种各样的证明方法,笔者在此提供一种证法.这种证法有利于把这个不等式推广到更一般的情形.分析△ABC中,A+B+C=π,又sinπ/3=(3~(1/3))/2,故上述不等     

一个参数不等式的应用

在不等式a2 b2≥2ab(a,b∈R)中,分别用a/(√b),(√b)/λ代换a,b得如下一个参数不等式:     

一个不等式的初等证明

文 [1]给出并用微分法证明了如下不等式 :已知 x,y,z∈ (0 ,+∞ ) ,且 x+ y+ z=1,则(1x- x) (1y- y) (1z- z)≥ (83 ) 3 . (1)受此启发 ,笔者经探索得出如下一个初等证明 .证明　由基本不等式易得xyz+ yzx≥ 2 y,yzx+ zxy≥ 2 z,zxy+ xyz≥2 x.将上述三个不等式相加得xyz+ yzx+ zxy≥ x+ y+ z=1. (2 )又由 1=x+ y+ z≥ 3 3 xyz,得 xyz≤12 7.∴ (1x- x) (1y- y) (1z- z) =1xyz· (1- x2 ) (1- y2 ) (1- z2 ) =1xyz[(1+ x) (1+ y)(1+ z) ][(1- x) (1- y) (1- z) ]=1xyz(2 +xy+ yz+ zx+ xyz) (xy+ yz+ zx- xyz) =2(1x+ 1y+ 1z) - 2 + (xy+ yz+…     

一个不等式的初等证明

题目设a,b,c是正实数,且a＋b＋c=1,则有（1/b＋c-a）（1/c＋a-b）（1/a＋b-c）≥（7/6）^3（1）当且仅当a=b=c=1/3时取到等号．     

三角不等式的证明方法

该文归纳了9种证明三角不等式的主要方法。     

一个不等式的初等证明

文[1]用微分法证明了下面的一个不等式：     

一个新的三角不等式

定理　在锐角△ ABC中 ,有tan( A- π4 ) + tan( B- π4 ) + tan( C-π4 )≥ 3( 2 - 3) . ( 1 )为证定理 ,我们需要以下引理 (证明从略 ) .引理　sin( x+ y) ,cos( x±y)均为正数 ,tan x+ tan y≥ 2 tanx+ y2 .定理的证明　不妨设 A≤ B≤ C,则 π3≤C<π2 .于是A- π4 + B- π4 =π2 - C∈ ( 0 ,π6 ],A- π4 - ( B- π4 ) =A- B∈ ( - π2 ,0 ],C- π4 + π1 2 =C- π6 ∈ [π6 ,π3) ,C- π4 - π1 2 =C- π3∈ [0 ,π6 ) ,12 ( π2 - C+ C- π6 ) =π6 ,12 ( π2 - C- C+ π6 ) =π3- C∈ ( - π6 ,0 ].因此 ,由引理可得 tan…     

利用三角代换证明不等式

三角代换是一种重要的数学方法,特别当代数不等式的证明很棘手时,若能考虑进行三角代换,将代数不等式转化为三角不等式,进而利用三角函数的性质和众多的三角公式推证,往往起到化难为易、事半功倍之效．但怎样进行恰到好处的三角代换呢？必须对题目进行反复观察,广泛联想,确定恰当的代换途径．本文就如何根据代数式的特征选择三角代换方案,作一些探讨和总结．     

一个不等式的初等证明

题目设a,b,c是正实数,且a+b+c=1,则有(1/(b+c)-a)(1/(c+a)-b)(1/(a+b)-c)≥(7/6)~3(1)当且仅当a=b=c=了1时取到等号.文[1][2]给出了不同的证明方法,本文再给出更简单的证明方法.证明:注意到b~2-b+1=(b-1/3)~2+1/9(8-3b)≥1/9(8-3b),同理有c~2-c+1≥1/9(8-3c),     

关于一个三角不等式的进一步思考

文[1]用导数的方法证明了下面的结论在△ABC中,sinA sinB sinC/cosA cosB cosC<2.注意到A:B=C=π/3时,sinA sinB sinC/cosA cosB cosC的值等于3~(1/2),笔者不禁产生联想:`     

以曲代曲证明不等式——切线法证明不等式的发展

用切线法证明不等式已有过不少研究,例如文[1]、[2]．其操作过程是：设f（x）是一个函数,用待定系数法决定不等式f（x）≤αx＋β（或f（x）≥αx＋β）中的常数α和β,     

巧用扇形面积证明一类三角不等式

扇形是曲边三角形,其面积与角有关,而与三角函数无关,利用这一独有的特点,在一类三角不等式的证明当中,可得到特别的效果.     

一个姊妹不等式的初等证明

题目设a,b,c是正实数,且a＋b＋c=1,则有（1/b＋c-a）（1/c＋a-b）（1/a＋b-c）≥（7/6）3（1）     

一个三角不等式的构造法证明

定理若α,β为锐角,则cos αsin 2αsin 2β≤(43)/(9).(*) 证明如图1,在对角线为2的长方体ABCD-A′B′C′D′中,设AB＝a,BC＝b,BB′＝c,∠C′AC′＝α,∠CAB＝β,则a2+b2+c2＝22＝4,c＝CC′＝2sin α,AC＝2cos α,a＝ACcos β＝2cos αcos β,b＝ACsin β＝2cos αsin β,∴此长方体的体积V＝abc＝2cos αsin 2αsin 2β.