利用构造法求分式的值

<正>在给定条件下求分式的值,是一种综合性较强的题型,一般不能直接带入求值.解决这类问题不仅要掌握熟练的基础知识,而且还要根据题目特点,把已知条件或所求分式适当加以变形和转化,沟通两者之间的联系,然后利用构造法找到解题捷径.一、构造方程组例1(银川中考)已知4a-3b-6c=0,a+2b-7c=0,求2a2+3b2+6c2a2+5b2+7c2的值.分析由题设构造三元一次不定方程组,选定其中任一未知数作为已知值,再求出     

对现行高中数学教材中几个问题的异议

我们对现行高中数学课本及《教学参考资料》中几处地方有异议,分类一一列出。 (一)课本上有六个题目条件欠充分。 (1)已知a、b、c成等比数列,m是a、b的等差中项,n是b、c的等差中项,求证a/m c/n=2。(代数甲种本第二册P43第4题) (2)已知a~2、b~2、c~2成等差数列,求证1/(b c),1/(c a),1/(a b)也成等差数列。(代数第二册P76第6题)     

注重用分析法探求解题途径

分析法是一种执果索因的思考方法 ,就是先假设结论成立 .然后寻求它赖以成立的条件 ,再把这些条件作为新结论 ,分别考察它们的成立又各需具备什么条件 ,如此继续 ,一直上溯到已知条件为止 .对于条件和结论之间 ,逻辑关系较复杂的命题 ,直接从已知条件入手不易成功 ,有时甚至无从着手 ,此时 ,用分析法就有可能打开解题的思路 .举例说明如下 :例 1　已知 1a + 1b + 1c =0 ,求证 :( a + b+ c) 2= a2 + b2 + c2 .分析 :欲证 ( a + b + c) 2 =a2 + b2 + c2 ,只要证 a2 + b2 + c2 + 2 ab + 2 bc + 2 ac =a2 + b2+ c2 ,即证 ab + bc+ ac=0 ,亦即证 …     

一类条件等式的行列式证法

线性方程组的行列式解法,以其思路清晰、排列整齐、运算简便而见长。在处理一些条件等式的证明问题时,如果可以将各已知条件视为关于某些量的线性方程组。则用行列式的方法往往能方便地完成证明。试举两例: 例1 已知a cosθ+b sinθ=c a cos φ+b sinφ=c ((φ-θ)/2≠kπ,k∈J) 求证: (a/(cos(θ+φ)/2)=b/(sin(θ+φ)/2)=c/(cos(θ+φ)/2). (统编高中数学第一册、复习题三,25题) 证明:将两个已知条件视作a、b为未知数的二     

根的判别式的几点应用

一元二次方程的判别式巧妙地应用于非二次方程问题,别致新颖,方便简捷. 一、证明等式例1 实数a、b、c满足a=6-b,C2=ab-9,求证:a=b. 证明:由已知条件得a b=6,ab=c2 9,从而a,b是方程x2-6x C2 9=0的两根. ∵Δ=(-6)2-4(c2十9)=-4c2≥0, ∴C=0,即△=0. ∴a=b. 二、证明不等式     

题海无边 “多变”是岸

<正>既然数学题是做不完的,我们就要利用有限的"好题"来提高学生的学习兴趣和思维能力.江苏教育出版社《高中数学必修5》第24页第6题~[1]就是一道"一题多变"的"好题".1 题目呈现在△ABC中,已知2a=b+c,sin~2A=sinBsinC,试判断△ABC的形状.解析根据正弦定理和已知条件sin~2A=sinBsinC,知a~2=bc.再由2a=b+c,得到4a~2=(b+c)~2=b~2+c~2+2bc=4bc,即(b-c)~2=0,故     

新教材中两个结论的应用(高二、高三)

结论1 已知n,6,c,d∈R,则 (n。+6。)(c。+d。)≥(Ⅱc+6d)。. 结论2 已知n,6∈R,则 n。+6。≥寺(n+6)。. 上面两个结论结构优美,各元素呈轮换对称形式.在解题中如果能灵活运用结论1和2,则可使较难的题目获得巧妙、简捷解法. 例1 实数z,3,满足z。+y。一6z一4 3,一9,则2z一3.y的最大值与最小值之和为——. 解 将已知等式变形为 (z一3)。+(.y+2)。一4.由结论1,有(2z一3y一12)。 一[2(z一3)+(～3)(y+2)]。 ≤[2。+(一3)。][(z一3)。+(y+2)。] 一52.解得 12—2~/13≤2z一3∥≤12+2~/13.即2z一3y的最大值与最小值之和等于24. 例2 已知z,y,口,6均为…     

一类“范围”问题的统一构图解法

在数学竞赛中和中数期刊上常出现这样一类求实数“取值范围”的问题: 题1 已知x y z=m(m>0),x~2 y~2 z~2=m~2/2,求证:x,y,z,都属于[0,(2m) /3]。 题2 已知正数a,b,c,d满足a b c d=6,a~2 b~2 c~2 d~2=12,求d的取值范     

应该纠正的两道习题

现行高中教材代数下册(必修)本在数列一章的复习参考题六中,第128页6题:已知 a~2、b~2、c~2成等差数列.求证:1/(b c)、1/(c a)、1/(a b)也是等差数列.当|a|=|b|=|c|且 a、b、c 不完全同号或都等于0时,数列 a~2、b~2、c~2为等差数列,首项为a~2,公差为0,满足题目条件.而这时,b c、c a、a b 中至少有两个都等于0,从而1/(b c)、1/(c a)、1/(a b)中至少有两个没有意义,当然不能     

一个不等式的又一证法

IMO24-6是:已知a,b,c为三角形三边,则 a~2b(a-b) b~2c(b-c) c~2a(c-a)≥0。 (1) (1)的一个等价形式是     

怎样证明条件等式

有关证明条件等式的代数题,是一类综合性比较强的题目,如果能让学生掌握其各种不同的证明方法,对于培养他们的逻辑思维能力和熟练的技能技巧都是大有益处的。下面介绍几种证明条件等式的常用方法。一、将已知条件直接代入欲证等式例1 已知:x=(a-b)/(a b),y=(b-c)/(b c), z=(c-a)/(c a) 求证:(1 x)(1 y)(1 z) =(1-x)(1-y)(1-z) 证明:∵(1 x)(1 y)(1 z) =(1 (a-b)/(a b))(1 (b-c)/(b c))(1 (c-a)/(c a)) =2a/(a b)·2b/(b c)·2c/(c a) (1-x)(1-y)(1-z) =(1-(a-b)/(a b))(1-(b-c)/(b c))(1-(c-a)/(c a)) =2b/(a b)·2c/(b c)·2a/(c a) ∴ (1 x)(1 y)(1 z)=(1-x)(1-y)(1-z) 二、通过已知条件之间的相互变换,得出求证式。例2.设x=by cz,y=cz ax,z=ax by 试证:(a 1)x=(b 1)y=(c 1)z     

一堂数学课

复习课上 ,老师在黑板上写下 :已知 :a=1996x+ 1995,b=1996x+ 1996 ,c=1996x+ 1997.求 :a2 +b2 +c2 -ab-bc-ac的值 .凭着多年的教学经验 ,胸有成竹地启发道 :要想求得a2 +b2 +c2 -ab-ac -bc的值 ,肯定要借助已知条件 .大家看 ,已知条件怎样用最简单 ?谷静 :最好是出现a、b、c两两相减的形式 .老师 :我也这样认为 .怎样才能将所求代数式转化成a、b、c相减的形式呢 ?(同学们在老师的引导下 ,配方得 a2 +b2 +c2 -ab-ac-bc=[(a-b) 2 + (a-c) 2 + (b-c) 2 ]÷ 2 =( 1+ 1+ 4 ) ÷2 =3 )网琳 :想得到a、b、c相减的形式 ,没必要配成三个完全平方式 ,…     

用待定系数法求二次函数解析式的几种方法

一、用一般式y=ax2 bx c当已知图象上任意三点坐标时,将它们的坐标分别代入二次函数的一般式,建立方程组,求出a、b、c的值,于是解析式即可确定。例1已知二次函数的图象经过(-1,-1),(0,-2),(1,1)三点,求这个函数的解析式。解:设所求二次函数的解析式是y=ax2 bx c,因为图象过(-1,-1),(0,-2),(1,1),所以有方程组a-b c=-1c=-2a b c= 1解这个方程组,得a=2b=1c=- 2所以所求二次函数的解析式是y=2x2 x-2。二、用顶点式y=ax-h2 k当已知抛物线的顶点坐标或对称轴和最大(或小)值时,则将已知条件代入二次函数的顶点式,建立方程(组)而求解。例2…     

用三角方程asinx+bcosx=c有解的条件解题

本文介绍一类三角方程asinx bcosx=c有解的条件,并说明它在解题中的应用.命题已知三角方程asinx bcosx=c (abc≠0)有解,那么a~2 b~2≥c~2,当且仅当     

1998年上海市初中数学竞赛(鹏欣杯)

第一试 1.已知b、c为方程x~2 bx c=0的两个根,且c≠0.则(b,c)=____。 2.实数x、y、z满足 x=6-3y, x 3y-2xy 2z~2=0.     

一道数学竞赛题的推广

题目已知a一199ox+1989,b=199ox十1990,e=1990x+1991,求矿+夕十‘2一。b一bc一。的值. (1991年武汉等五市初中数学联赛) 解由已知条件,可得 b一a~1,c一b一1,c一a一乙 “2+bZ+cZ一ab一be一c口一合(Za’+“b’一合仁(b’一“ab+2c2一2口b一Zbc一Zc口)+矿)+(c2一Zbc+夕)+(c2一2c倪+。2)〕一音〔(b一a)2+(C一,)2十(e一a)2」一合(12+12+22) 一3. 通过观察不难发现,本试题可作如下推广: 已知a。一al十1,a3一。,十2,…,。,一al+、是正整数,求川十暇+…+武一久。:一气a3一·一的值. 解由已知条件,可得 a:一。z=1,。3一“2一1,…,口,一“二一i=1,…     

2006年山东省初中数学竞赛试题参考解答

一、选择题(本题共8小题,每小题6分,满分48分):下面各题给出的选项中,只有一项是正确的,请将正确选项的代号填在题后的括号内.1.已知x2-4+2x+y=0,则x-y的值为()(A)2(B)6(C)2或-2(D)6或-6解:因x2-4≥0,2x+y≥0,所以只能有x2-4=2x+y=0,分别解x2-4=0,2x+y=0,得x=2或-2,y=-2x.从而,得x-y=x-(-2x)=3x,即x-y为6或-6.应选(D).2.一个样本为1,3,2,2,a,b,c.已知这个样本的众数为3,平均数为2,那么这个样本的方差为()(A)8(B)4(C)78(D)74解:已知样本平均数为2,得1+3+2+2+a+b+c=2×7=14,所以a+b+c=6.又由样本众数为3,知a,b,c三数中至少有两个,则另一个…     

加强“变式”练习 减轻学生负担

目前初中数学教学,仍普遍存在着学生负担过重,思维训练尤其是创新思维训练没有充分重视的问题。笔者认为,要解决这一问题,主要途径之一应是通过“变式”练习,让学生在一题多解、一题多变中开阔思路,提高思维能力。一、形异实同型“变式”训练为了使学生对知识的本质加以认识,教师在教学中可构造一些形异实同的“变式”练习,强化知识。例:(1)已知x,y为实数,(x-1)2 y 3=0,求x,y的值。(2)已知x,y为实数,x2 2y y2-6x 10=0,求x,y。(3)已知a2 2 b-5=22a,求a-1a-1 6a 2b 1-6 b-6a的值。(4)已知a,b,c为△ABC的三边,且a2 b2 c2=ac bc ab,求证:以a,b…     

(GH)问题可解的一个充分条件

解决了在什么条件下可以找到实数c=(c1,c2,...cn)使得矩阵A ∑nt=1ctAt的特征值是已知实数λ1,λ2,...λn--(GH)问题并利用Greschgorin圆盘定理、不动点理论给出了有效的证明.     

2009青少年数学国际城市邀请赛

个人赛 一、填空题(每小题5分,共60分) 1.已知a、6、c为三个递增的连续奇数.则a2-2b2+c2的值为__.