调和级数中的数学竞赛问题

(本讲适合高中)1 引言 我们称级数H(1,n)=1 1/2 1/3 … 1/n为调和级数,或者更一般地,称级数H(m,n)=1/m (1/m 1) … 1/n为调和级数(以下如果未加特别声     

与调和级数相关的一类问题评析

级数1＋1/2＋1/3＋…1/n＋…称为调和级数,这个级数是发散的,因为它的部分和数列Sn=1＋1/2＋1/3＋…＋1/n是没有极限的．调和级数在无穷级数论中是运用比较原理判别级数发散的一个“标准级数”．近年来,在高考与数学竞赛中出现了不少与调和级数的部分和数列相关的问题,本文就此类问题的解题思路进行一些评价与分析．     

交错级数的实质是无穷项n到2n的调和级数

交错级数1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+…+(-1)(n-1)/n=ln2=1/n+1+…+1/2n-1,这一科学成果是依据调和级数的数频理论得出的,它揭示了交错级数与调和级数的一种联系.这一数频理论的原理是等式或等价,有别于经典的近似理论.它是数学发展的未来趋势.     

Euler常数0.577 215 6…

关于调和级数1 (1/2) (1/3) (1/4) …的发散问题,雅谷·伯努利早在1689～1704年曾有多篇文章论述,我们在文[1]中曾给出一个简证。然而,计算它的前n项和     

关于调和级数sum from n=1 to∞ (1/n)发散的几种证明方法以及它的应用

本文给出了调和级数sum from n=1 to∞ (1/n)发散的几种证明方法,并介绍了它在无穷级数解题中的应用。     

调和级数发散的几种证明方法

数学分析在数项级数部分有一个重要级数——凋和级数,它在研究数项级数敛散陛的过程中起到了重要作用。柯两收敛准则给出了级数收敛的充分必要条件,进而又得出级数收敛,则lim/n→∞un=0的推论,它是一个必要条件,而调和级数作为此推论有力的反面证明而倍受关注。下面就调和级数发散的证明作一归纳。     

调和级数的发散及其应用

级数是表示函数、进行数值计算的一个有力工具。调和级数作为级数的一个基本成员,结构简单。调和级数的发散及其应用给出了调和级数发散性的4种证明;并分别在比较审敛法和极限比较判别法中,举例说明调和级数在判断无穷级数的敛散性时的标尺作用。     

破解与Euler常数有关的高考压轴题

1 Euler常数问题的提出 雅谷-伯努利早在1689—1704年曾有多篇文章论述关于调和级数1＋ 1/2 ＋ 1/3 …＋N/1 ＋…的发散问题,其学生Euler发现了1＋ 1/2 ＋ 1/3 …＋N/1 ＋…与1nn之间竟有那么密切的联系.     

一些正弦函数级数的敛散性

本文给出任意项级数收敛判定方法:如果级数∑_(n=1)^∞ a_n的项添加括号后所成的级数收敛且lim_(n→∞)a_n=0,则该级数收敛.由此获得:设C={a_i|a_i∈Z,i=0,1,…,k},D={a_(2j)|a_(2j)=2r_(2j)+1∈C,r_(2j)∈Z},E={a_(2j+1)|a_(2j+1)=2r_(2j+1)+1∈C,r_(2j+1)∈Z}且|D|=2p+1,|E|=2q,p,q∈Z,则级数∑_(n=1)∞ a_n的项添加括号后所成的级数收敛且lim_(n→∞)a_n=0,则该级数收敛.由此获得:设C={a_i|a_i∈Z,i=0,1,…,k},D={a_(2j)|a_(2j)=2r_(2j)+1∈C,r_(2j)∈Z},E={a_(2j+1)|a_(2j+1)=2r_(2j+1)+1∈C,r_(2j+1)∈Z}且|D|=2p+1,|E|=2q,p,q∈Z,则级数∑_(n=1)^∞sinπ/2(a_0n∞sinπ/2(a_0n^k+a_1nk+a_1n^(k-1)+…+a_k)/n发散,否则收敛.同时得到:∑_(n=1)(k-1)+…+a_k)/n发散,否则收敛.同时得到:∑_(n=1)^∞sinπ/2n∞sinπ/2n^(2s+1)/n收敛,级数∑_(n=1)(2s+1)/n收敛,级数∑_(n=1)^∞sinπ/2n∞sinπ/2n^(2s)/n发散,其中s∈N.     

调和级数与P级数敛散性的简单证法

关于P级数∞n=1Σn1p的敛散性的证明,本文则给出一个简单的证法.同时本文还给出调和级数发散的一个更为简洁的证法.     

迭加法应用数例

迭加法又名错位相消法,它常用于解决数列中的某些问题。应用此法解题的优点,不仅简洁、明快,而且易于推广。举例如下: [例1] 求证:1·2 2·3 3·4 … n(n 1)=1/3n(n 1)(n 2)。(高中代数第二册P73练习.1.) 证:令b_m=m(m 1)(m 2),则b_m-b_(m-1)=3m(m 1), 令m=1、2,…、n得n个等式,并把这n个等式两边分别相加,得 b_n-b_0=3[1·2 2·3 3·4 … n(n 1)]。∴ 1·2 2·3 3·4 … n(n 1)=1/3(b_n-b_0)=1/3n(n 1)(n 2)。若令b_m=m(m 1)     

《高等数学(工本)》总习题解答

l,确定下列各级数的敛散性: 而客青发散,所以原级数发散· (1)1+全今 ,骊七 。6、交华, 、’燕n十J’。, n一+1 解这是等比级数,公比q=工代1,故该级数收敛. 解因为恤华=忽 n4+nZ n4+I =‘而客亲 收敛,故 原级数收敛. lim一~卫一二工 n冲二sn一68 ,而客青发散,故由 (7喀击 解因为 ; l 3”一2 第二比较准则知该级数发散 =lim一叫旦兰 。““3n一2 =lim止L ”弓一l一兰 l一犷 悠 K 山且一今」 注本题也可用第一比较淮则,因为 痣·去,而客佘一音客青发散, 而艺言是公比;二 月司J 3. 的等比级数,是收敛的,故由 故客击发散· 第二比较准则知艺…     

调和级数的应用

调和级数是一种应用和理论都重要的发散级数。其表达形式简单,容易认为是收敛的,可是在本质上是发散的。文章研究了调和级数的一个应用,说明了调和级数是发散的。并且给出了一个调和级数在其他学科中的应用。     

高等数学下册考题选解与摘编

一、级数部分 1、判别级数sum from n=1 to +∞(((n!)~2)/(3~n×n~n))的敛散性(88级补学分) 解:这是一个正项级数,一般项的表达式中有n！,对于我们来说要判断U_n=(((n!)~2)/(3~n×n~n))是否以零为极限或者找一个V_n来与u_n比较一下趋于0的速度都是困难的。因此用发散准则或比较判别法是难于凑效的,不妨用比值判别法来求解。     

欧拉常数γ及简单应用

调和级数∑n=1^∞1/n是发散的，而极限linn→∞[∑k=1^n1/k-lnn]却是收敛的，通常将极限值linn→∞[∑k=1^n1/k-lnn]称为欧拉常数γ。欧拉常数γ存在性的证明有多种方法，例如，可利用函数不等式、几何直观（平面图形面积）、数项级数的收敛性、积分中值定理等方法。在微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等。     

正项级数敛散性判别法的源与流

利用正项级数的比较判别法这个源头,通过不同的后台级数尝试着揭示许多判别法的发现过程,从中发现了一种普遍的方法和规律,即利用标准级数的适当组合及其参数判别敛散性,再用一般级数代替加以验证,并将这种规律进行拓展与创新获得2种新的判别法,即若正项级数∞∑n=1un,有lim n→∞ ln/ln n/ln n[n/ln n(n√1/un-1)]=p lim n→∞ n/lnn(n√1/un-1)=P.当P＞1时,∞∑n=1 un收敛,当P＜1时,∞∑n=1un发散.     

与调和级数有关的几个数理问题赏析

调和级数是高等数学中一个非常重要的级数.首先揭示调和级数的发散特性,并进一步探究这种特性在解决有关问题中的作用,接着考虑特定条件下的调和级数的“反常收敛”,最后举例说明调和级数在物理问题及建筑力学中的应用.     

调和级数在教学上的一个应用

调和级数是分析理论中的一个重要发散级数。因其简单的表达形式很容易被学生认为是收敛的。研究了调和级数的一个应用,从而说明了调和级数是发散的。并且给出了一个调和级数在物理学中的例子。更进一步的,本文给出了调和级数的数学证明和一个应用。     

调和级数仍是一个发散级数——与张慧同志商榷

与张慧同志商榷《既发散又收敛的无穷级数》中的两处论证错误,从而说明调和级数仍是一个发散级数。本文的讨论有助于加深对无穷级数有关概念的理解。     

例谈等比性质的应用

等比性质:如果a/b=c/d=…=m/n(b d … n≠0) ,那么a c … m/b d … m=a/b, 灵活地运用等比性质,可以 迅速、巧妙地解决有关问题, 现举例如下. 一、用于计算 例1 计算22 32 42 62/2-2 3-2 4-2 6-2 解:∵3×4=2×6 ∴2/6-2=3/4-1=4/3-1=6/2-1,各边分别平方