关于四边形的钝角三角剖分

一、1993年全国高中数学联赛两试第一题为: 设一凸四边形ABCD,它的内角中仅有∠D是钝角。用一些直线段将该四边形分割成n钝角三角形,但除去A,B,C,D外,在该凸四边形的周界上,不含分割出的钝角三角形顶点,试证n应该满足的充分必要条件是n≥4。本题对凸四边形加上仅有一个钝角的限制条件,对剖分加上周界上没有新剖分点的条件,去除这两限制条件,对凸四边形,讨论钝角三角形剖分问题,结论又将如何呢?本文给出上述问题的全面回答。二、一个引理     

1982年二十八省、市、自治区联合数学竞赛试题解答的探讨

这次联赛与去年一样,共有五道试题,完成这套试题的时问为三小时,现仅就各题的解答作如下的探讨。一、选择题.(说明:略) 1.如果凸n边形F(n≥4)的所有对角线都相等,那么 (A)F∈{四边形}. (B)F∈{五边形}. (C)F∈{四边形}∪{五边形}.     

一道值得回味的竞赛题

1986年江苏省初中数学竞赛有下面一道试题:“在平面上任意给定5个点,其中任何三点不在一条直线上,并且它们不是凸五边形的顶点。证明下列两个结论中必有一个成立: (1)存在以某四点为顶点的凸四边形,使得另一点在该四边形内;(2)存在以某三点为顶点的三角形,使得其余两点在该三角形内。”这道题仅仅涉及三角形、凸四边形与五边形等最基本的概念,证明所需要的几何知识也     

一道全国初中数学联赛题的讨论

本文对1996年全国初中数学联赛的一道试题进行讨论,得出更一般的结论,并通过对其道命题的研究,给出一些特殊几何图形(三角形、圆外切四边形)的等积等周线的几何作法.该试题是: 问题1 如果一个三角形的面积和周长都被一直线平分,那么该直线必通过这个三     

由具体到抽象

高度的抽象性和概括性是数学鲜明的特点 ,数学定理、定律、公式是对一般规律的揭示 ,具有普遍性 ,我们发现有些数学问题由具体进到抽象更易解答 .例 1　 ( 2 0 0 2年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题 )如图 ,四边形ABCD被其对角线分为 4个不同的三角形 :△OAB ,△OBC ,△OCD ,△ODA ,若每个三角形用 4种颜色中的一种涂染 ,那么出现相邻三角形均不同色的四边形的概率是 (　　 )(A) 932 　 (B) 1984 　 (C) 516 　 (D) 2 16 4此题答案应为8444,关键是“84”如何来 ?此题大多数教师的常规解法是设S1 、S2 、S3 、S4,依次记△OAB ,…     

“余弦定理在四边形的一个推广”的一个注释

文 [1 ]的定理给出了余弦定理在四边形的一个推广 ,但该定理的题设是凸四边形 ,实际上 ,该定理可以推广到任意四边形 .定理　记四边形 ABCD(可以是凸的、凹的 ,也可以退化成三角形——即有一个角是平角的情形 )的四边长 AB=a,BC=b,CD= c,DA=d,两对角线长 AC=p,BD=q,则cos( B+ D) =( ac) 2 + ( bd) 2 - ( pq) 22 abcd .( A,B,C,D分别表示四边形 ABCD的相应内角 )证明　文 [1 ]已证出凸四边形的情形 ,该证明完全适合退化成三角形的情形 ,下面再证凹四边形的情形 (只证图 1的情形 ) .图 1在图 1中 ,AC与 BD的延长线交于点 O,∠ A…     

返本归真寻根溯源

题2006年全国高中数学联赛一试的第一小题是一个选择题,原题如下:已知△ABC,若对任意t∈R,BA-t BC≥AC,则△ABC()A.必为锐角三角形B.必为钝角三角形C.必为直角三角形D.答案不确定1题解回放文[1]给出了此题的一个“基本解法”和一个“巧思妙解”.两种解法的起点都是向量模的计算     

对2005年一联赛题解法的改进

2005年全国初中数学联赛第四题是一道平面几何的计算题,它涉及圆,直角三角形,相似三角形等知识,学习了标准答案之后,觉得原解法有值得改进的地方,现先将题目和标准答案抄录于下:(2005年全国初中数学联赛初赛第四题)如图1,AB是⊙O的直径,AB=d,过A作⊙O的切线并在其上取一点C,使AC=AB连结DC交⊙O于点D,BD的延长线交AC于E,求AE的长.     

关于三角形中线的一个不等式

本刊1991年第5期刊登了第一届浙江省高师院校数学联赛试题及解答,其中的第五大题是:已知AD′、BE′、CF′、为非钝角三角形ABC的三条中线,它们分别交△ABC的外接圆于D、E、F 点,G为△ABC的重心,R为外接圆半径。求证:GD CE GF≥8/3R。下面是刊登的解答的后半部分: 如△ABC为非钝角三角形,则外心O位于它的内部或一边之上。不妨设点O位于△ABG的内部或边上,如图。这时2R=AO BO≤AG BG     

1994年全国初中数学联赛试题及解答

对今年全国初中联赛试题,据反映认为难度比较适宜,我省最高分为134分。在这份解答中,选择题和填空题、除几个有一定难度的以外,都只给出了答案,对大题给出了一些与标准答案不同的解法。     

2003年全国高中数学联赛加试题另解

2003年全国高中数学联赛结束后，编辑部收到很多热情读的来稿，就联赛加试题给出了许多异于标准答案的解法．现根据来稿先后及解法的特点将部分解答进行整理，望与广大读分享．     

浅析1998年中考题中线段比例式乘积式的证明

在1998年各地中考试题中,证明线段比例式、乘积式的题目多是圆与三角形、四边形、相似三角形知识的综合运用,涉及知识点多,解法灵活,是对学生数学能力的综合考查。 这类题目证明思路是从求证入手,先把乘积式变换成比例式,通过相似三角形得出结论。解证过程的一般思路是以下有序的四步。1 比例前项和后项,是否分别是两个三角形的     

2022年全国高中数学联赛(四川预赛)试题及解析

给出2022年全国高中数学联赛(四川预赛)试题及其解析,部分试题给出一题多解,解答题给出了有别于参考答案的精彩解法.     

2023年全国高中数学联赛(四川预赛)试题及解析

文章给出2023年全国高中数学联赛(四川预赛)试题及解析，部分试题给出一题多解，解答题给出了有别于参考答案的精彩解法.     

2000年全国高中数学联赛加试平面几何题的5种证法

(2000年联赛题)如图1,在锐角三角形ABC 的 BC 边上有两点 E,F,满足∠BAE=∠CAF,作 FM⊥AB,FN⊥AC,(M、N 是垂足),延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D 点.证明:四边形 AMDN 与三角形 ABC 的面积相等.     

一道中考题的解法探究

山东省济宁市2006年一道中考试题:直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形,方法如下:请你用上面图示的方法,解答下列问题:(1)对任意三角形(下图a)设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原三角形面积相等的矩形.(2)对任意四边形(上图b),设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原四边形面相等的矩形.(1)解法1直接仿题例即可.如图1.图1解法2从两边中点作第三边的垂线段再旋转即可.如图2.图2解法3作三角形的一条中位线,再过两中点作第三边的垂线段即可.如图3.图3解法4过一顶点及相临两边中点作第三边的垂线段.如图4…     

2000年全国高中数学联赛加试平面几何题的推广

原题【2000年全国高中数学联赛加试试题】如图1,在锐角三角形ABC的BC边上有两点E,F,满足∠BAE=∠CAF,作FM⊥AB,FN⊥AC(M,N是垂足),延长AE交△ABC的外接圆于.求证:四边形DAMDN与ΔABC的面积相等.     

用两个互逆命题证明一道加试题

<正>2011年全国高中数学联赛加试平面几何试题为:如图1,P、Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD的中点.若∠BPA=∠DPA,证明:∠AQB=∠CQB.笔者进行了研究,发现只要用两个互逆的命题就可以证明.     

一道全国数学竞赛题的另解与推广

1992年全国初中数学联合竞赛试题第二试的第二题如下所述:如图(1),在△ABC中,AB=AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点,且∠BED=2∠CED=∠A.求证BD=2CD.试题的标准答案中对该题给出了两种证法.本文将给出另一种较为简捷的证法,并对该问题进行推广.证明:过点D作DF∥AC,交AC于F,易得FB=FD.     

10月份《俄罗斯萨温竞赛题选(五)》参考答案

1.显然△AA1 D与△CC1 B的面积和是四边形ABCD面积的一半 ,类似地还有△BB1 A与△DD1 C的面积和也等于ABCD面积的一半 .这就说明了以上这四个三角形的面积和等于整个ABCD的面积 .你可以注意到这时周围那四个小三角形被重复计算了两次 ,而中央的四边形面积则没有被计算进去 ,说明这四个小三角形的面积总和与中央四边形的面积是相等的 .2 .不难看出 :图 1中六个直角三角形有一个公共顶点 .从该点作三条线平行于原三角形的三条边 ,就将原三角形剖分成 1 2个更小的三角形 .容易看出有阴影的和没有阴影的正好成双成对 ,而且容易证明出…