不等式的证明（二）

设 a_1,a_2,…,a_n 与 b_1,b_2,…,b_n 是两组不成比例的实数,实数 x_1,x_2,…,x_n 满足sum from i=1 to n a_ix_i=0, (1)sum from i=1 to n b_ix_i=1, (2)证明 (3)题中的条件"a_1,a_2,…,a_n 与 b_1,b_2,…,b_n 不成比例"可以省去,因为若 a_1,a_2,…,a_n 与 b_1,b_2,…,b_n 成比例,则由式(1)可得 sum from i=1 to n b_ix_i=0,与式(2)矛盾,所以条件(1)和条件(2)已隐含此意.熟悉 Lagmnge 恒等式的人立即可以看出式(3)的分母     

赏析如出一辙的两道高考数列题

2007年高考山东理科数学第19题(以下简称试题1):设数列{a_n}满足a_1+3a_2+3~2a_3+…+3~(n-1)a_n=n/3,n∈N~*(Ⅰ)求数列{a_n}的通项;(Ⅱ)设b_n=n/a_n,求数列{b_n}的前n项和S_n.时隔仅二年,2009年高考湖北卷文科数学     

一道题的正确解答

题 设{a_n}为等比数列,且S=a_1 a_2 … a_n,T=1/a_1 1/a_2 … 1/a_n,求{a_n}的前n项之积。 对于该题,在很多资料上都出现过,错误解答广为流行,给出的答案都是(S/T)~(n/2)。因     

应用柯西不等式的几个推广

<正>柯西不等式:设a_1,a_2,…,a_n;b_1,b_2,…,b_n是两组实数,则有n∑k=1a_k²·n∑k=1b_k2·n∑k=1b_k²≥(n∑k=1a_kb_k)2≥(n∑k=1a_kb_k)²。其中等号成立当且仅当a_1:a_2:…:a_n=b_1:b_2:…:b_n。推论:设a_1,a_2,…,a_n是正实数,则(a_1+a_2+…+a_n)(1/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n2。其中等号成立当且仅当a_1:a_2:…:a_n=b_1:b_2:…:b_n。推论:设a_1,a_2,…,a_n是正实数,则(a_1+a_2+…+a_n)(1/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n²,其中等号成立当且仅当a_1=a_2=…=a_n。     

算术平均值——几何平均值定理的一个新证明

在高中数学第三册中我们已知下面的重要定理: 定理 n个(n是大于1的整数)正数的算术平均值不小于它们的几何平均值,即如果a_1,a_2,…,a_n为n个正数,则(a_1+a_2+…+a_n/n≥(a_1a_2…a_n)~(1/n)式中等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n成立. 由于这个定理的重要性,人们对它作出了各种各样不同的证明,这些证明体现了很多巧妙的想法.其中很多种证法都使用了数学归纳法,最常见的是法国著各数学家Cauchy提出的两种数学归纳法证法(即《高     

巧用函数解不等式

不等式是中学数学教学的重点和难点,各种杂志已介绍了不同的方法,本文将通过构造函数,巧妙地解决某些不等式问题. 例1 设a_k>0(k=1,2,3,…,n),且a_1a_2…a_n≥1。求证: (a_1 a_2 … a_n)/n n/(a_1 a_2 … a_n)≥≥(a_1a_2…a_n)~(1/n) 1/(a_1a_2…a_n)~(1/n)≥1,     

柯西不等式的两种形式及应用

<正>柯西不等式设a_1,a_2,…,a_n与b_1,b_2,…,b_n是两组实数,则有(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)(b_1~2+b_2~2+…+b_n~2)≥(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)~2,当向量(a_1,a_2,…,a_n)与向量(b_1,b_2,…,b_n)共线时,等号成立[1].对于柯西不等式在n=2和n=3时有下面常见的代数形式和几何形式.设A,B与x,y是两组实数,则有     

一个代数不等式猜想的否定

文献[1]提出如下一个代数不等式猜想:猜想设 a_1>0,i=1,2,…,n,3≤n∈N.证明或否定:f(a)a_1/a_1a_2…a_(n-1) a_2aa_2…a_(n-2) … a_1 1 a_2/a_2a_3…a_2a_3…a_(n-1) … a_2 1 … a_n/a_1…a_(n-2) a_na_1…a_(n-3) … a_n 1≤1.文[1]作者指出:当 n=3时已给出初等证明,当 n≥4时仍为猜想.笔者指出:当 n≥4时,此不等式猜想不成     

关系式S_n=Ka_n+r的探究

一、问题的提出 1987年高考数学(文科)试题的第七题是关于数列与极限的综合题: 设数列a_1,a_2,…,a_n,…的前n项和S_n与a_n的关系是S_n=ka_n+1(其中k是与n无关的实数,且k≠1),(1)试写出由n,k表示的a_n的表达式;(2)若limS_n=1,求k的取值范围。显然,题设的关系式Sn=ka_n+1可以看作S_n=ka_n+r的特例,而且括号中条件是解题的重要条件,由此不难想到如下问题: 若k是与n有关的实数,r为常数,在关     

柯西不等式在中学不等式证明中的应用

设a_1,a_2,…,a_n和b_1,b_2,…,b_n为两组实数,则有((sum from i=1 to n(a_ib_i))~2≤(sum from i=1 to n(a_i~2))(sum from i=1 to n(b_i~2)))。式中等号当且仅当a_1/b_1=a_2/b_2=…=a_n/b_n时成立。特别地,当b_1=b_2=…=b_n=1时,有 a_1~2 a_2~2 … a_n~2≥1/n(a_1 a_2 … a_n)~2。 以上第一个不等式称为柯西不等式,其证明方法很多,在此不再赘述。     

读者信箱

贵刊92年第5期《递推数列不等式的若干证法》中的例5证明有误。原题及证明如下:已知正项数列{a_n}满足a_n~2≤a_n-a_(n+1)(n≥1)。证明:a_n<1/n(n≥1)。证明设a_n=t/n,则a_(n+1)=t/(n+1)。代入条件a_n~2≤a_n-a_(n+1)并整理得t~2(n+1)≤nt。解得0≤t≤n/(n+1)<1,从而,a_n=t/n<1/n。这个证法犯了用“特殊代替一般”的错误。从“设a_n=t/n,则a_(n+1)=t/(n+1)”可以看出,变量t是与n无关的变量,这在题目已知条件中是没有的。上述证法只是证     

试论韦达定理及其应用

1559年,法国数学家韦达提出一个关于一元n次方程根与系数关系的定理:设方程a_0x~n+a_1x~(n-1)+a_2x~(n-2)…+a_(n-1)x+a_n=0的n个根为x_1,x_2,…,x_n,那么x_1+x_2+…+x_n=-(a_1)/(a_0)x_1x_2+x_1x_3+…+x_1x_0+…+x_(n-1)x_n=(a_2)/(a_0)     

对一道高考试题的初探

2008年安徽省高考数学理科卷第21题是这样一道题题目设数列{a_n}满足a_1=0,a_(n 1)=ca_n~3 1-c,n∈N~*,其中c为实数.(Ⅰ)证明:a_n∈[0,1]对任意n∈N~*成立的充分必要条件是c∈[0,1];     

这两道题值得商榷

一本杂志上刊登过如下一道题目: 题一:设,f(x)=(x~2-4)~(1/2)(x≤-2).(1)求f~(-1)(x);(2)设a_1=1,a_n=f~(-1)(a_(n-1))(n≥2,n∈N),求a_n;(3)求sum from i=1 to n 1/(a_1+a_i+1)的值该题作为函数与数列的综合题在教学中广为流传,通常简解如下解:(1)函数,f(x)=(x~2-4)~(1/2)(定义域为x≤—2,值域为y≥0)的反函数为f~(-1)(x)=-(x~2+4)~(1/2)(定义域为x≥0,值域为y≤-2) (2)∵a_1=1,a_n=f~(-1)(a_(n-1))由迭代法得:a_n=-(a_(n-1)~2+4)~(1/2)=-(a_(n-2)~2+2×4)~(1/2)=…=-(a_1~2+(n-1)4)~(1/2)=-(4n-3)~(1/2)(亦可由a_n~2=a_(n-1)~2+4,n=2,3,…n,累加而得) (3) 注意到 a_n~2-a_(n-1)~2=4,     

一类分式不等式的推广及应用

文[1]将一个无理不等式推广为:定理1 设正整数 n≥3,a_i∈R~ (i=1,2,…,n),实数 k≥(n-1)/n,则有∑(a_1/(a_2 a_3… a_n))~k≥n/(n-1)~k,当且仅当 a_1=a_2=…=a_n 时取等号.(∑表示对 a_1,a_2,…,a_n 的循环和)文[2]给出如下两个定理:定理2 若 a_i>0(i=1,2,…,n),s=,则(其中m≥1,n≥2,n∈N,p≥0,A>a_i~p).(1)     

一点异议与一点建议

一对等比数列前n项和的公式另一种证明的异议贵刊1985年第3期《等比数列求和公式的另一种证明》一文中,给出了等比数列前n项和的公式(以下称公式)的又一证法。转述如下: “对于等比数列由它的定义有 a_2/a_1=a_3/a_2=…=a_n/a_(n-1)=q (a_2+a_3+…+a_n)/(a_1+a_2+…+a_(n-1))=q (S_-a_1)/(S_n-a_n)=q (S_n-a_1)/(S_n-a_1q~(n-1))=q 整理得 S=a_1(1-q~n)/(1-q) (q≠1)”     

两个距离公式

本文利用正投影的概念将点到直线与点到平面的距离公式统一起来并作推了广。我们证明了:Ⅰ 设O≠δ=(a_1,a_2,…,a_n)∈R~n,则R~n中的点(y_1,y_2,…,y_n)到R~n的子空间W={x_1,x_2,…,x_n)∈R~n|sum from i=1 n(a_ix_i=0}的距离为|sum from i=1 n(a_iy_i)/(sum from i=1 na_i~2)~(1/2);Ⅱ 设O≠δ=(a_1,a_2,…,a_n,…)∈l~2,则l~2中的点(y_1,y_2,…,y_n,…)到l_2的子空间W={(x_1,x_2,…,x_n,…)∈l~2|sum from n=1 ∝(a_nx_n)}的距离为|sum from n=1 ∝(a_ny_n)|/(sum from n=1 ∝a_n~2)~(1/2)。     

利用分类解题几例

解证某些数学命题,若先将命题中所涉及的数学对象进行恰当的分类,往往会使命题较为顺利地获解。下面就提供利用分类解题的几个例子。例1设有n+1个元素的实数集 S={a_1,a_2,…,a_(n+1)}(?)[0,1)求证:存在a_1,a_k∈S,使|a_1-a_k|<1/n。证明将实数集[0,1)中的实数分成n类,[0,1/n),[1/n,2/n),…,[(n-1)/n,1),由题设S={a_1,a_2,…,a_n,a_(n+1)}(?)[0,1)=[0,1/n)∪[1/n,2/n)∪…∪[(n-1)/n,1)     

费——哈不等式的空间推广

人们对著名的费—哈不等式进行了广泛的探讨,得到了许多推广和加强形式。本文欲将这一不等式移植到空间的四面体中。 引理1.设a_i>0(1G 1/2n Q>G 1/2nsum from i=1 to n (a_i~(1/2)-a_(i-1)~(1/2))~2当且仅当a_1a_n=a_ia_i-1(1相似文献   

第三届全国中学生数学冬令营试题与解答

试题第一天(上午8:00—12:30) 一.设a_1,a_2,…,a_n是给定的不全为0的实数,r_1,r_2,…,r~n是实数,如果不等式sum from k=1 to n[r_k(x_k-a_k)]≤(sum from k=1 to n(x_k~2))~(1/2)-(sum from k=1 to n(a_k~2))~(1/2)对任何实数x_1,x_2,…,x_n成立,求r_1,r_2,…,r_n的值。二.设C_1,C_2是同心圆,C_2的半径是C_1的半径的2倍。四边形A_1A_2A_3A_4内接于C_1,将A_4A_1延长交圆C_2于B_1,A_1A_2延长交圆C_2于B_2,A_2A_3延长交圆C_2于B_3,A_3A_4延长交圆C_2于B_4。试证:四边形B_1B_2B_3B_4周长≥2×四边形A_1A_2A_3A_4的周长;并确