由式构形解不等式问题

许多代数、三角不等式问题,如果能发掘出其数量关系中的几何特征,构造相应的几何图例1.解不等式(5-4x-x~2)~(1/2)≥x。     

巧凑斜率结构

两点A（x1,y1）、B（x2,y2）（x1≠x2）连线的斜率为k=y2-y1/x2-x1,这种表达式可看作是直线AB的斜率,这样斜率就将代数结构与几何图形有机结合起来,从而把对代数问题的研究转化为对几何图形中直线斜率的讨论．当然．由于斜率公式结构是两个代数式之比,所以要凑成这种结构．需要采用一些技巧．     

1996年莫斯科大学入学考试部分数学试题及解答

1.（力学数学系,七月）解不等式 (17.9x-4x)~(1/2)≥3x-3·2x 2.（力学数学系,五月）求不等式 (x~2-5x-3)~(1/2)≤6-x　 3. （力学数学系,七月）解混合组 log_2sinx-log_2 2y |log_2cosx-log_2 2y|=2 (x-π/4)~2 1/(2y~2)≤1 4.（力学数学系,三月）α为何值时,方程2cos_2 (2~(2x-x~2))=a 3~(1/2)sin(2~(2x-x~2 1))至少有一解?     

几类函数最值问题的几何解法

解析几何是用代数方法研究几何问题的一门学科,把几何问题代数化,可以降低逻辑推理的难度;反过来,对于一些较繁的代数问题,也可以通过解析几何公式转化为几何问题,通过逻辑推理的方法代替代数运算,本文略举几则.一、构造两点间距离解题【例1】求函数y=x2-2x 5 x2-4x 5的最小值.分析:函数式为两个根式,这两个根式可分别转化为两点间的距离.解:函数解析式可改写为y=(x-1)2 (0-2)2 (x-2)2 [0-(-1)]2当x变化时,它表示动点P(x,0)到两定点A(1,2)与B(2,-1)的距离之和.如图1,点P在x轴上移动,有|PA| |PB|≥|AB|,当且仅当P、A、B三点共线时取等…     

斜率的综合应用探索

<正>直线斜率是表示直线特征的一个重要概念,它不仅表示直线位置与倾斜的情况,而且利用平面上两点的斜率公式k=Δy/Δx来解决一些数学问题,往往令人耳目一新。下面探索斜率可以应用的范围。一、斜率与不等式例1已知函数f(x)=log2(x+1),若-1相似文献   

斜率结构的巧变妙用

<正>众所周知,"直线斜率"是沟通"数"与"形"的一座桥梁,是实现数形结合的载体。连接两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)所得直线的斜率为k=(y2-y1)/(x2-x1),具有这种结构的代数式均可看成是直线AB的斜率。这样"斜率"就将代数结构与几何图形有机地结合起来,从而把对代数问题的研     

一类代数题的复数解法

某些代数题借助几何方法来解,可以加强直观形象,有时甚至是很巧妙的.例如下面的这些问题,一些书刊中常把它作为用几何方法来解代数问题的范例: 例1:设两正变量x、y,满足方程x+y=c,试证函数z=(x~2+a~2)~(1/2)+(y~2+b~2)~(1/2)的最小值为(c~2+(a+b)~2)~(1/2),其中a、b、c是给定的正数。     

构造解几模型 解决代数问题

下面就通过几个例子谈谈几种常见的解几模型在解决代数问题中的应用.1.构造两点间的距离公式对于形如(x-a)2+(y-b)2型的代数问题,常可构造两点间的距离公式来解决.【例1】　求函数y=x2-8x+17+x2+4x+29的最小值.图1分析　本题用代数方法求解,较难入手,观察函数表达式中,二次根式的被开方式为二次式,联想到距离公式,不妨借助函数式的几何意义,运用数形结合的方法求解.解:将函数解析式改写成y=(x-4)2+(0-1)2+(x+2)2+(0-5)2,根据两点间的距离公式知,y表示x轴上的动点P(x,0)到两定点A(4,1)和B(-2,-5)的距离之和(如图1).于是问题转化为求动折线A…     

利用斜率公式简解“希望杯”代数竞赛题

数学家拉格朗日说过:"代数与几何两门学科一旦联袂而行,它们就会从对方吸收新鲜活力,从而大踏步地走向各自的完美."斜率公式是平面解析几何中的重要公式,若在高中代数中能灵活运用斜率公式求解,把有些代数问题转换成几何问题讨论,既简洁又新颖,往往能峰回路转,探索出十分巧妙的解法.一、求代数式的取值范围或二元函数的最     

圆锥曲线焦点弦的一个统一结论及其应用

寻求较好的解题途径是解决解析几何问题的关键.本文探讨一类焦点弦问题的几何解法,并给出相应结论. 引例过椭圆 x~2/4 y~2=1左焦点 F 引直线截椭圆的弦被 F 分成上、下两段之比为2∶1,则该直线的斜率为_______.分析:有的学生是这样考虑的:先求得F(-3~(1/2),0),再设直线 AB 的方程为 y=k(x 3~(1/2)),再将该方程与椭圆方程联立,求出 A、B的坐标,最后由|AF|∶|FB|=2∶1求出斜率k.     

数形结合的几种基本形式

数形结合是数学解题的一种重要的思想方法.它既可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性,也可以借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系.要想灵活的运用数形结合的思想指导解题,除了要准确理解数学概念、运算的几何意义和曲线的代数特征外,还必须熟悉数学问题中数形结合的一些基本形式,使解题思维迅速奔向数形结合的通道,实现数形的转化.本文着重说明借助几何直观性解决与数有关的数学问题的解法.1 .斜率型过A(x1,y1)、B(x2 ,y2 ) (x1≠x2 )两点的直线斜率是y2 -y1x2 -x1,因此涉及此类比值的问题,可考虑转化为直线斜率来求解.例1　已…     

用几何法求y=[(x-x_1)~2 y_1~2]~(1/2)±[(x-x_2)~2 y_2~2]~(1/2)的值域

用代数方法求y=(x~2-2x 5)~(1/2)±(x~2-4x 13)~(1/2)的值域非常繁难.如果仔细观察,此题可以写成y=[(x-1)~2 (0-2)~2]~(1/2)±[(x-2)~2 (0-3)~2]~(1/2)的形式,故可转化为求动点P(x,0)到定点A(1,2)和B(2,3)的距离之差(和)的取值范围问题,这样就能借助于解析几何有关知识加以解决。此类问题就是求     

探析圆之“最值”

与圆有关的最值问题是一类热点问题,常见解法是观察所给式子的几何意义,充分利用圆的性质,由数形结合来解决. 一、与圆上的点的坐标有关的最值问题 例1 设实数x、y满足x 2+(y-1)2=1,求y+2/x+1的最值. 分析:y+2/x+1的几何意义是圆上一动点(x,y)与已知定点(-1,-2)连线的斜率.     

一道不等式的推广及证明

高中代数有这样一道不等式:题 求证 2~(1/2) 7~(1/7)<3~(1/3) 6~(1/6).对此不等式我们注意到高中代数有这样一道不等式:题 求证2~(1/2) 7~(1/7)<3~(1/3) 6~(1/6).对此不等式我们注意到2 7=3 6,7-6=3-2.所以,我们拟将不等式推广为:题 对任意正实数m,有:(x-m)~(1/(x-m)) (x n)~(1/(x n))<(x-m 1)~(1/(x-m 1)) (x n-1)~(1/(x n-1))(x>m,n>1-m).证明 构造如图Rt△ABC和     

韦达定理的妙用

韦达定理反映了一元二次方程中根与系数间的关系,是初中代数中一条重要定理。它不仅丰富了初中代数内容,还增加了求解某些问题的方法。若巧妙地运用此定理解决某些问题,可使过程简捷,收到事半功倍之效。现举几例。一、若 x=2-3~(1/2),求 x~4-5x~3+6x~2-5 x 的值.(1986年上海市初中数学竞赛题)若将已知直接代入待求式进行求值,计算很繁琐。但由 x=2-3~(1/2)可知 x_1=2-3~(1/2),x_2=2+3~(1/2)一定是方程 x~2-4x+(?)=0的两根,故巧妙运用     

两数和的完全平方及其应用

早在初中代数课上,就已经知道了两数和的平方公式 (x y)~2=x~2 2xy y~2(1)、这一公式的应用是极其广泛的。在这里,我们介绍它的部分应用。 一、推证公式问题 以下乘法公式 (x-y)~2=x~2-2xy y~2 (x y)(x-y)=x~2-y~2 (x y)~3=x~3 3x~2y 3xy~2 y~3 (x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 (x-y)(x~2 xy y~2)=x~3-y~3 (x y)(x~2-xy y~2)=X~3 y~3等都可运用公式(1)来推导 例1、求证:(x y)(x-y)=x~2=y~2 证:令a=(x y)/2,b=(x-y)/2, 则两数x、y的平方差,x~2-y~2=(a b)~2-(a-b)~2运用公式(1)有x~2-y~2=4ab据假设条件,得x~2-y~2=4(x y)/2·(x-y)/2,即x~2-y~2=(x y)(x-y) 例2、求证:(x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 证:将上式右端进行配方变换即得证 x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 =x~3-2x~2y xy~2-x~2y 2xy~2-y~3 =x(x-y)~2-y(x-y)~2 =(x-y)~3 类似地,乘法公式都可用公式(1)来推导,此外,还可推证一些多项因式的乘法     

利用几何解释解极值问题几例

解函数极值问题的方法很多,本文意在通过极值的几何解释使变量之间的关系变得较为直观,从而使问题的解决较为具体、简捷。例1 求函数y=(x~2 4x 5)~(1/2) (x~2-6x 25)~(1/2)的最小值。解式中变量y是x的无理函数,若将其有理化,计算是相当繁杂的。而要直接求解又难以下手。考查这个函数表达式的几何意义,发现可表示成两点间距离之和,即 y=((x 2)~2 1~2)~(1/2) ((x-3)~2 4~2)~(1/2)。则y表示x轴上的动点P(x,0)到两定点     

运用"距离公式"巧解代数题

我们知道在平面直角坐标系xOy中,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则|PQ|=(√)(x1-x2)2 (y1-y2)2.中学数学中不少代数题的解答,若能赋予它解析意义,揭示其几何背景,便可利用"距离公式"给出其独具特色的解答.现举几例,供同学们参考.     

数形结合的几种基本途径

数与形是初等数学中研究的主要对象 ,数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考 ,使抽象思维和形象思维结合 ,通过“以形助数”或“以数解形” ,使复杂问题简单化 ,抽象问题具体化 ,从而起到优化解题途径的目的 .数形结合包含两方面内容 :从几何角度看代数问题 ,或从代数角度看几何问题 .数形结合在解题过程中应用十分广泛 ,本文介绍数形结合的几种基本途径 .(1)代数式 (x-a) 2 +(x -b) 2 表示点 (x ,y)到点 (a ,b)的距离 .例 1　求函数 f(x) =x2 +15 -x2 - 6x +13的最大值 .解　f(x) =(x - 0 ) 2 +(0 - 15 ) 2 -(x- 3) 2 +(0 …     

对一道分式方程的解后再思考

1.题目 初中《代数》第三册78页第1(6)题是:解方程((x~2-1)/x)~2 7/2(x~2-1)/x 3=0。(1) 解:设(x~2-1)/x=y,于是原方程变形为y~2