一个几何定理及其应用

本文在这里向读者介绍一个与面积有关的几何命题.定理由点 P 发出的三射线 PA、PB、PC,设L、M、N 分别在射线 PA、PB、PC 上,使得 PL/PA=λ_1,PM/PB=λ_2,PN/PC=λ_3(图1).则 L、M、N 三点共线的充要条件为S_(△PBC) S_(△PAB)     

也谈关于三角形面积的一个不等式

贵刊1987年第二期刊《有关三角形面积的一个不等式》,读后深受启发,但感到文中对定理——若P为△ABC内的一个任意点,分别连结AP、BP、CP并延长交对边BC、CA、AB于D、E、F,则S_△DEF≤1/4S_△ABC——的证明过于繁复。这里提供一个简单的证法。证明如图设BD:DC=;λ_1,CE:EA=λ_2AF:FB=λ_3,则     

关于若干几何不等式的猜想的思考

1.引言 文[1]中,蒋明斌老师给出如下两个猜想: 猜想1、设P,P′为△ABC内两点,XA=PA,XB=PB,XC=PC,XA′=P′A,XB′=P′B,XC′=P′C,则 (扫:㈠):(x:xi·x/,L:xB·x/,A。xc,xc/)≥(1:l。a’*A。x,b’ h寸指;)其中λ_1、λ_2、λ_3∈R~ 猜想2,设λ_1、…、λ_n∈R~ ,P、P′为凸n边形A_1A_2…A_n所在平面上两点,则: (三札)(君:xiPAitP/Ai)≥:≤i乏,≤nx山4i厶i’ 1‘2, 文[2]中,林祖成给出如下猜想: 猜想3,四面体A_1A_2A_3A_4存在棱切球,内切球半径记为r,则:     

广义梅涅劳斯定理

定理 在△ABC的边BC的延长线上及CA,AB上取点D,E,F,如AF/(FB)=λ_1,BD/(DC)=λ_2,CE/(EA)=λ_3,则 S_(△DEF)=|(λ_1λ_2λ_3-1)/((λ_1 1)(λ_2-1)(λ_3 1))|S_(△ABC)。 证明 ∵CD/(BC)     

三角形两个性质的一般性推广

文[1]和文[2]对三角形的重心和内心进行了探究,得到了优美的性质.笔者在此基础之上进行了一般性的推广,写成下文,供同行们参考.性质1如图1,已知点O是△ABC内一点,且满足λ_1 (?) λ_2 (?) λ_3 (?)=O,过O作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点,且(?)=m(?),(?)=n(?),则λ_2/m λ_3/n=λ_1 λ_2 λ_3.     

三点共线的等价命题类

从平面几何到代数、立体几何和解析几何,证明三点共线的命题、方法、技巧,实在不少,它们都可以归结为等价命题.(1)P、Q、R 三点共线(在同一条直线上).(2)P 在直线 QR 上.(3)P 到直线 QR 的距离为0.(4)P、Q、R 都是平面α与β的公共点.(5)P、Q、R 是△ABC 外接圆上一点分别在直线AB、BC、CA 上的射影.(6)S_(△PQR)=0。(7)三点 P、Q、R 在直线 AB 同侧,且 S_(△PAB)=S_(△QAB)=S_(△RAB).(8)线段 PQ、QR、PR 中,有两条之和等于第三条.(9)k_(PQ)=k_(PR).(10)若直线 PQ 的方程为 Ax By C=0,则直线 PR 的方程为 kAx kBy kC=0(k≠0为常数).若设三点 P、Q、R 的坐标分别为(x_1,y_1)、(x_2,y_2)、(x_3,y_3),则有(11)(x_3,y_3)满足方程(x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1).(12)设λ_1=(x_1-x_2)/(x_2-x_3),λ_2=(y_1-y_2)/(y_2-y_3),则λ_1=λ_2.     

定比分点坐标公式的应用

定比分点的向量式:图1如图1,一般地,若P是分线段P1P2成定比λ的分点(即P1P=λPP2,λ≠-1)则OP=1 1λOP1 1 λλOP2.证明:设O为平面上任意一点,若P1P=λPP2.则OP-OP1=λ(OP2-OP)=λOP2-λOP∴(1 λ)OP=OP1 λOP2即OP=1 1λOP1 1 λλOP2.特别地,当λ=1时,点P是线段P1P2的中点,则OP=21(OP1 OP2)称为线段P1P2中点P的向量表达式.变式:一般地,若P、P1、P2三点共线,且P1P=nmPP2,O为任意一点,则OP=nOP1m mnOP2图2应用例析:一、探求点的坐标【例1】如图2,△ABC顶点A(1,1),B(-2,10),C(3,7),∠BAC平分线交BC边于D,求…     

坐标系中三角形的一个面积公式及其应用

<正>在直角坐标系中,△ABC的顶点A(x_A,y_A),B(x_B,y_B),C(x_C,y_C),过点A作l∥y轴,交BC所在直线于点D,设D(x_D,y_D),则S_(△ABC)=1/2|y_A-y_D|·|x_C-x_B|.下面我们来证明这个公式.当△ABC位置如图1时,过C作CF⊥l,过B作BE⊥l,垂足分别为F,E,所以x_D=x_E=x_F,有AD=y_A-y_D,CF=x_C-x_D,BE=x_D-x_B,所以S_(△ABC)=S_(△ABD)+     

一道试题引出圆锥曲线一个有趣的向量性质

2007年福建省高考理科第20题为:如图1,已知点F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为Q,且(?)·(?).(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A、B两点,交直线l于点M,已知(?)=λ_1(?)=λ_2(?),求λ_1 λ_2的值.     

一个三角形面积公式的推导及其应用

定理　如果△ＡＢＣ的面积为Ｓ ,点Ｄ、Ｅ、Ｆ依次分△ＡＢＣ三边所成的比分别为λ1、λ2 、λ3 ,那么Ｓ△ＤＥＦ =1 λ1λ2 λ3 (1 λ1) (1 λ2 ) (1 λ3 ) Ｓ .　　证明　先看点Ｄ、Ｅ、Ｆ均在三边上 ,由已知得　　ＡＤ∶ＤＢ =λ1,ＢＥ∶ＥＣ =λ2 ,ＣＦ∶ＦＡ =λ3 ,于是有ＡＤ =λ11 λ1ＡＢ ,ＢＤ =11 λ1ＡＢ ,ＢＥ =λ21 λ2ＢＣ ,　ＥＣ =11 λ2ＢＣ ,ＣＦ =λ3 1 λ3 ＣＡ ,　ＦＡ =11 λ3 ＣＡ .∴Ｓ△ＡＤＦ =12 ＡＤ·ＡＦｓｉｎＡ=12 · λ11 λ1ＡＢ· 11 λ3ＣＡ·ｓｉｎＡ= λ1(1 λ1) (1 λ3 ) · 12 ＡＢ·ＡＣ·ｓｉｎ…     

等角共轭点一个性质的推广

定理　设P、Q为△ABC内两点 ,则AP·AQAB·AC +BP·BQBA·BC+CP·CQCA·CB≥ 1 . ( )等式当且仅当P、Q为△ABC等角共轭点 (即∠PAB=∠QAC ,∠PBC =∠QBA ,∠PCB =∠QCA)时成立 .证明 :如图 ,顺次以BC、CA、AB为对称轴作△PBC、△PCA、△PAB的对称图形 ,分别为△A′BC ,△B′CA ,△C′AB ,连结A′Q、B′Q、C′Q ,则易知 (以S△ 表示面积 ) :S△AC′Q+S△AB′Q=12 AC′·AQsin∠C′AQ +12 AQ·AB′sin∠B′AQ =12 AP·AQ(sin∠C′AQ +sin∠B′AQ)=12 AP·AQ·2sin ∠C′AQ +∠B′AQ2　·c…     

利用面积证题一例

84年在贵州参加全国数学竞赛的命题工作,会议期间曾讨论过一道问题: 设在△ABC中,D为BC的中点,G为重心,过G任作直线分别交AB、AC于E、F。设AE/AB=h,AF/AC=k,求证我们不想局限于就解决这一个问题,所以,先作一些推广,考虑一下,D为BC上任意一点,G为AD上任意一点,这时的结论是什么? 设BD/DC=λ_1/λ_2,λ_1+λ_2=1,AG/AD=t,我们断言有为了证明(2),我们借助于三角形的面积。设△AEG,△AGF,△ABC的面积分别为S_1,S_2,S。则由于△ABD的高与△ABC的高相同,而     

高中数学基础训练题（3）

1.下列命题是真命题的是 (　　 )1 a∥b 存在唯一的实数 λ,使 a=λb;2 a∥b 存在不全为零的实数 λ,μ,使 λa+μb=0 ;3a与 b不共线 若存在实数 λ,μ,使 λa+ μb=0 ,则 λ=μ=04 a与 b不共线 不存在实数λ,μ,使λa+ μb=0( A) 1和 4　 ( B) 2和 3　 ( C) 1和 2　( D) 3和 42 .设 a,b为非零向量 ,则下列命题中 ,1 | a+ b| =| a- b| a与 b有相等的模2 | a+ b| =| a| + | b| a与 b的方向相同3| a| + | b|≤ | a- b| a与 b的夹角为钝角4 | a+ b| =| a| - | b| | a|≥ | b|且 a与 b方向相反真命题的个数是 (　 )( A) 0　 ( B) 1　 (…     

关于三角形内点的一个向量命题

命题　若P是△ABC内的一点 ,记△BPC、△APC、△APB的面积为SA 、SB 、SC ,则SA ·PA SB ·PB SC ·PC =0 .证明　延长AP与BC边相交于D点 ,则｜BD｜｜DC｜ =S△ABDS△ACD=S△BPDS△PCD=-S△BPD-S△PCD等比定理 SCSB.记｜BD｜｜DC｜=λ ,有BD=λDC ,所以PD- PB=λ( PC- PD) ,所以 - ( 1 λ) ·PD PB λPC=0 .又因为PD =- ｜PD｜｜PA｜ · PA =-SASB SC·PA ,所以 SASB SC( 1 SCSB) ·PA PB SCSB ·PC=0 ,所以SA·PA SB·PB SC·PC =0 .推论 1　当P为△ABC的内心时 ,有sin…     

公式cosθ=S′/S的证明及应用

求二面角的一般方法是根据定义找出二面角的平面角,然后通过论证计算求解,下面介绍一种较简捷的方法,即应用面积射影定理求解,可避免作、找、论证二面角的平面角.面积射影定理:若二面角M—a一N的大小为θ,在平面M内的一个三角形的面积为S,它在平面N上的射影面积为S′,则有:cosθ=S′/S.证:设平面M内的△ABC,且S_(△ABC)=S(1)若△ABC的边AB与交线a重合(如图1),设C在平面N上的射影为C′,则S_(△ABC′)=S′,在平面M内过C作CE(?)a于E,连C′E,则∠CEC′=θ,在Rt△CC′E中:C′E=CE·cosθ.∴cosθ=C′E/CE=(1/2C′E·AB)/(1/2CE·AB)=S′/S.(2)若△ABC的边AB∥平面N(如图2),则过AB作平面N′∥平面N,设C在平面N,N′内的射影分别为C′C″.A、B在平面N上的射影分别是A′、B′则△A′B′C′、△ABC″分别是△ABC在N、N′     

反比例函数的一个性质及其应用

<正>反比例函数y=k/x的本质特征是:两个变量y与x的乘积是一个常数k.由此不难得出反比例函数的一个重要性质:性质如图1,点P(x,y)是反比例函数y=-k/x上任意一点,过点P作PA⊥x轴于点A,作PB⊥y轴于点B,则S_(长方形AOBP)=|k|,S_(△PAO)=1/2|k|.下面举例说明上述结论的应用.一、正向应用例1如图2,点A在双曲线y=1/x上,点B在双曲线y=3/x上,且AB∥x轴,C、D在x轴上,若四边形ABCD的形状为矩形,则它的面积为____.     

线段定比分点的向量公式及应用例举(二)

三、定比分点向量公式的潜在作用由P1、P2、P3三点共线(P1P=λPP2)可得定比分点向量公式OP=OP1 λOP21 λ.反过来,如果OP=OP1 λOP21 λ,则可证三点P1、P、P2共线.事实上,由OP=OP1 λOP21 λ得(1 λ)OP=OP1 λOP2,OP-OP1=λ(OP2-OP)即P1P=λPP2所以三点P1、P、P2共线从而有三点     

抛物线与三角形面积一文的补充

本刊93年第5期“抛物线与三角形面积”一文,给出了下面的两个结论:设抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)当△=b~2-4ac>0时,抛物线与x轴的两交点为A、B,顶点为C,与y轴的交点为D,则本文拟对结论(2)作两点补充: ①若△ABC为等边三角形,则△=b~2-4ac=12,S_(△ABC)=3 3~(1/2)/a~2. ②若△ABC为等腰直角三角形,则△=b~2-4ac=4,S_(△ABC)=1/a~2. 由于△ABC的底边AB=△/|a|,高为|△/4a|;当△ABC为等边三角形时,高为底边的3~(1/2)/2倍;当△ABC为等腰直角三角形时,高为底边的一半,利用这两点,不难证明以上两个结     

三角形两个性质的三维推广

本文将三角形的两个平凡而有趣的性质推广到四面体中.先介绍三角形的两个性质:题1 设 M 是△PAB 的 AB 边上的点,任作一直线分别交 PA、PB、PM 于 A′、B′、M′点,则(PA)/(PA′) (PB)/(PB′)=2·(PM)/(PM′)的充要条件是 AM=MB.题2 设 M 是ΔPAB 的 AB 边上的点,过P点任作一圆分别交 PA、PB、PM 于 A′、B′、M′,则 PA′·PA PB′·PB=2PM′·PM 的充要条件是 AM=MB.题1的证明较易,证明从略.下面证明题2:     

利用中线性质巧解两道竞赛题

定理 设D是△ABC的边BC中点,则S_△ABD=S_△ACD。这是中线的一个性质,本文巧用这一性质解两道竞赛。 例1 (81年芜湖市竞赛题)如图1,AA′,BB′,CC′是△ABC的外接圆直径,试证:S_△ABC=S_△ABC′ S_△BCA′ S_△CAB′。