三垂线定理的教学片断及其反思

1教学过程片断一:如图1,AB是平面α的垂线,AC是平面α的斜线,BC为斜线AC在平面α内的射影.教师:AB可以垂直平面α内的任意一条直线,斜线AC可以垂直平面α内的任意—条直线吗?AC能垂直平面α内的哪些直线呢?图1教师要求同桌两位同学协作,以桌面为平面α,三支笔分别代表垂线AB,斜     

应用“垂面、三垂线定理”求“二面角”(高二)

三垂线定理及其逆定理是立体几何中最重要的知识点．三垂线定理及其逆定理,概括起来,可叙述为:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线或此斜线的射影,若垂直其中之一,则必垂直于另一．欲运用上述定理解题,关键注意以下几点:     

三垂线定理在解题中的应用

众所周知,三垂线定理是证明两条直线垂直的重要依据。利用三垂线定理证明两条直线垂直,首先要选定一个平面,通常称为基准平面,然后确定该平面的垂线、斜线及斜线的射影,其中关键是要找到平面的垂线,不能想当然,见垂直就确定为垂线。当欲证垂直的两直线是异面直线时常用三垂线定理,将其中一条作为某平面内的一直线,另一条作为该平面的斜线,从而想到去寻找该平面的垂线及斜线的射影;     

一道习题与两个定理

高中《立体几何》(必修)以下简称课本)P.31第11题: 经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线.如果斜线和这个角两边的夹角相等,那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线. 这是一道安排在三垂线定理后的题目.笔者不用三垂线定理,对这个题目作出证明.然后将这个命题演变,得出三垂线定理的逆定理,再利用三垂线定理的逆定理,对直线和平面垂直的判定定理作一个简捷的证明.     

三垂线定理的教学设计

教学目的:掌握三垂线定理,从复习旧知到渗透新知识,使学生处新而不惊,于不知不觉中理解和掌握三垂线定理及其证明。 模式:观察实践——发现——证明——应用。采用师生共同问答式教学（下文中T代表教师,S代表学生） T:我们已学过平面的垂线、平面的斜线及斜线在平面内射影等知识,再来回忆一下: 什么叫平面的垂线?（先画一平面,再提问） S:与平面内所有直线垂直的直线叫平面的垂线。     

三垂线定理的教学片断及其反思

片断一：如图1，AB是平面α的垂线，AC是平面α的斜线，BC为斜线AC在平面α内的射影．(图中其余直线根据后面讲述需要再添)     

巧用最小角定理

如图1,已知AO是平面α的一条斜线, A是斜足,OB垂直于α,B是垂足,则直线AB是斜线AO图1在平面α内的射影．设AC是α内的任一直线．设AO与AB所成的角为θ1,AB与AC所成的角为θ2,AO与AC所成的角为θ．则cosθ=cosθ1cosθ2．由此我们得到最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角,是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中的最小的角．     

应用垂直求线面角

求斜线与平面所成的角,关键是过斜线上一点作平面的垂线．而这条垂线往往是由两个平面垂直的性质定理提供的．这样我们作线面角时,可先找证或作一个平面垂直于已知平面,然后在垂面内过垂面和斜线的交点作两个垂面的交线的垂线,再把垂足和斜足连结起来,线面角就作出来了．下面举例说明．     

应用垂面求线面角

求斜线与平面所成的角,关键是过斜线上一点作平面的垂线.而这条垂线往往是由两个平面垂直的性质定理提供的.这样我们作线面角时,可先找证或作一个平面垂直于已知平面,然后在垂面内过垂面和斜线的交点作两个垂面的交线的垂线,再把垂足和斜足连结起来,线面角就作出来了.下面举例说明.     

平面搭台 直线唱戏

三垂线定理及其逆定理的实质是斜线和它在平面上的射影同时垂直于平面内的某条直线,在学习这两个定理时应注意把握这一实质.     

向量与空间想象能力(续)

4 三垂线定理与空问向量三垂线定理及其逆定理:平面外的一条直线 l,在平面α的投影内的射线为 l′,直线 aα,若a■l',则a■l;(三垂线定理)若     

浅述线与面之间的三类垂直

分析 由线面垂直证线线垂直较麻烦；由三垂线定理，要证AB1⊥A1l肘，B1C1⊥平面A1C，由三垂线定理可以证得AC1⊥A1M，而AC1⊥A1M可以在平面ACC1A1内去证明。     

构造“第三者”，巧解“二面角”

求二面角的大小,主要方法是利用三垂线定理及其逆定理,要反复涉及线面垂直的性质和判定定理,学生在复杂的图形面前往往会感到无从下手,笔者经过细致的探索总结,在教学中引入“第三者”,即构造第三个平面(相对于二面角的两个半平面而言),再经过作两条垂线,很好地解决了这一问题. 如图1.在二面角α-α-β中,取A∈α,过A作AB⊥β于B,过B 作BC⊥α于C,连结AC,则AC⊥α,故∠ACB是该二面角的平面角,从中可以看出,第     

浅谈三垂线定理(逆)的教学

一、关于定理(逆)在教材中的地位三垂线定理(逆)是在教材中研究了空间两条直线的位置关系、直线与平面垂直及斜线在平面内的射影的基础上提出来的。它是研究空间直线与直线互相垂直的有力工具,很多空间图形的问题都是通过这两个定理转化为平面图形的问题得到解决的。例如,二面角转化为它的平面角,多面体性质的研究都有广泛的应用。因此,三垂线定理及其逆定理是研究空间两条直线垂直关系的支柱,是学习多面体性质的基础,教学中必须给以足够的重视。二、关于定理(逆)的第一次教学三垂线定理及其逆定理是立体几何中的两个重要定理。搞好第一次教学是个关键。第一次教学使学生能灵活运用是困难的。实际上也是不可能的,但是讲     

三正弦定理及其应用

<正>在立体几何的学习中,大家都知道三余弦定理(又称最小角定理,反映的是斜线和它在平面内射影所成角是斜线与平面内任一直线所成角的最小值),但只有少数人知道还有三正弦定理(又称最大角定理).本文主要介绍三正弦定理的内容、证明及其应用.一、三正弦定理如图1,设二面角M-AB-N的度数为锐角α,在平面M上有一条射线AC,它与棱AB所成角为锐角β,与平面N所成角为锐角γ,则有sin γ=sin βsin α.     

如何确定由平面外点所作平面垂线的垂足的位置?

立体几体中 ,在求点到平面距离以及线面角、面面角时 ,往往要由平面外一点向平面作垂线 ,如何确定垂足的位置 ,常使同学们感到困难 .找不到垂足 ,解题过程便无法继续 .那么 ,怎样才能解决好这一问题呢 ?课本中有两个平面垂直的性质定理 :“如果两个平面互相垂直 ,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面”.因此已知点 P 面α,由 P向α作垂线 ,垂足位置不明显时 ,可观察图中有无过 P且与α垂直的平面β.若有 ,由性质定理 ,只要过 P作α、β交线的垂线 ,即得由 P向α所作垂线的垂足 ;若没有 ,先想法作出这样的辅助面β,再进…     

听茅于渊老师讲三垂线定理

三垂线定理是“空间直线与平面”一节中的重点和难点。笔者听了茅于渊老师的讲课,他用两课时讲授了三垂线定理、逆定理及其应用。他的讲授层次清楚,步步深入,注意新旧联系,重视培养思维能力,使人听后受益颇多。一、注意知识迁移,自然导入新课。在介绍三垂线定理之前,先围绕直线与平面的位置关系,提出几个问题。 1、直线和平面的位置关系有几种? 2、直线和平面相交有几种不同情况? 3、平面的垂线和斜线在平面内的射影是什么? 在此基础上教者指出,平面的垂线必垂直于这平面内的一切直线,而斜线不能与这     

三垂线定理的应用

三垂线定理涉及到的五个元素是“一面四线”(一面:基础平面;四线:斜线、垂线、射影、面内直线.),应全面灵活地使用定理的这五个元素.     

几何自测试题(一)——立体几何部分

一、填空题 1._的三点确定一个平面。 2.两条_或_的直线确定一个平面。 3.有一个公共点的两个平面相交于通过 点的一条直线。 4.在同一平面的两条直线,只有_、_、_这三种位置关系;空间两条不重合的直线的位置关系有_, 5.如果一条直线和两个相交的平面平行,则和它们的交线—。 6.平面内的一条直线如果和这平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线_;平面内的一条直线如果和这平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在这个平面内的射影_。 7。如果斜线的长为1,它和平面日所成的角为e,那么它在日内的射影是_ 8.过直角三角形的…     

高中立体几何中删除三垂线定理的利弊分析

三垂线定理因其联系着一系列主要概念（平面的垂线、斜线、斜线在平面内的射影等）,且其证明中包含着较为典型的证题方法（线面垂直与线线垂直证法）,并有着广泛的应用而成为立体几何中的一个重要定理．但是,《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）中却把如此重要的一个定理删除了,这种做法引起了一线教师的关注．为了让广大教师更好地理解课程改革的意图,本文将具体地分析这一做法给高中立体几何的教与学带来的利与弊,以供大家参考．