一道习题结论的拓广

现有高三习题一道:如图,一动圆与两定圆M_1∶(x 4)~2 y~2=5~2和 M_2:(x-4)~2 y~2=1都外切.(1)求动圆圆心 M 的轨迹方程;(2)过M_2的直线与上述所得轨迹交于 A、B 两点,求|AM_1|·|BM_1|的取值范围.解:(1)过程略,结果为:所求动圆圆心 M 的轨迹方     

一堂数学复习课的变式训练

近几年高中数学改革力度不断加大,新课程启动,p要求我们高中数学教师在高中数学复习中要转变教学思路,设计符合现代教学理念的高中复习课方案,让学生自觉、主动、创造性地去开展数学活动。现以圆锥曲线中的"求|(MA)~—| μ|(MF)~—|的最值"一课为例谈谈高三数学复习课的设计:例题:已知A(-2,3~(1/3)),F是椭圆(x~2/16) (y~2/12)=1的右焦点,点M在椭圆上移动,当|(MA)—| 2|(MF)—|取得最小值时,求点M的坐标。     

对一道复数题的思考

1 题目1 z∈C,|z|=1,解方程z~5 z=1,(苏州大学《中学数学》编辑部编《高三数学教学与测试》 解法1 由|z|=1,可设z=cosθ isinθ,代入原方程有 cos5θ isin5θ cosθ isinθ=1, (1) (2) (1)~2 (2)~2得cosθ=’言, 经检验是原方程的根。     

步步深入 引人入胜 开发学生思维的创造性——一堂开放式教学课的尝试

一问题的提出在高三数学复习课教学中,我遇到了这样一个问题|z-i| |z i|=4(z ∈C),求|z-3~(1/2)|的最大值,容易将此问题转化为求椭圆x~2/3 y~2/4=1上到点(3~(1/2),0)距离最大值的问题,在参考答案中说由几何性     

一堂开放式数学课的尝试

1 问题的提出 在高三数学复习课教学中,我遇到了这样一个问题: 例1 已知|z-i| |z i|=4(z∈C),求|z-3~(1/2)|的最大值。容易将此问题转化为求椭圆x~2/3 y~2/4=1上的点到点A(3~(1/2),0)的距离的最大值的问题。参考答案中说由几何性质知为2×3~(1/2),但我不知有这样的性质。经深入思考分析,我意识到本题是一个好题,所以决定用开放式教学方法引出问题,进行尝试教学。     

一道数学竞赛题的推广

1987年上海市中学生数学竞赛中有这样一道试题:[1] 正七边形A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7,内接于单位圆⊙O中,P在OA_1的延长线上,且|OP|=2,则|PA_1|·|PA_2|…|PA_7|等于多少? 下面我们把这道富于思考性的试题推广成: 定理设正n边形A_1A_2A_3…A_n内接于圆x~2+y~2=R~2,P(rcosθ,rsinθ)为平面上任意一点,则|PA_2|·|PA_2|·…·|PA_n|=(r~(2n)-2r~nR~ncosnθ+R~(2n))~(1/2)。     

错在哪里

题 设P是圆M:(x-5)~2 (y-5)~2=1上的动点,它关于定点A(9,0)的对称点为Q,把(?)绕原点O依逆时针方向旋转90°得到(?),求|SQ|的最大值及最小值.解 设P(x_0,y_0),Q(x_1y_1),S(x_2,y_2).由P、Q 对关于点A对称,得:X_0=18-X_1,Y_0=-Y_1(?)(18-x_!-5)~2 (-y-5)~2=1,即:(x_1-13)~2 (y_1 5)~2=1.     

运用“整体思想”巧解一轨迹题

题 射线OA、OB的方程分别为y=3~(1/2)x(x≥0)和y=-3~(1/2)x(x≥0),线段CD的两端分别在OA、OB上滑动,若|CD|=4√3,求CD的中点P的轨迹方程。 此即贵部所编《高三数学教学与测试》下册第70页的例4,原解答较繁,且有一定难度。     

A≥0且A≤0的条件的应用

大家都知道:若A≥0且A≤0,则有A=0。这个性质在数学解题中有着重要地位。其条件的出现往往是隐藏在题设或解题过程中,如果充分利用此性质,有时可以收到事半功倍之效。例1 在实数范围内:设x=(((a-2)(|a|-1))~(1/2) ((a-2)(1-|a|))~(1/2))/(1 1/(1-a)) (5a-1)/(1-a))~(1988),则x的个位数字是()(A)1(B)2(C)4(D) 6(88年全国初中数学联赛试题第一题(2)题). 解:要使两个根式都有意义,必须使:(a-2)(|a|-1)≥0且(a-2)(1-|a|)≥0,即(a-2)(|a|-1)≥0且(a-2)(|a|-1)≤0所以只能满足(a-2)(|a|-1)=0,解得a_1     

一个等价条件的应用

在不等式证明中一个常用的绝对值不等式|a b|≤|a| |b|可推得如上两个结论: (Ⅰ)|a b|<|a| |b|ab<0, (Ⅱ)|a b|=|a| |b|ab≥0。这两个结论对解一些方程和不等式有事半功倍之效。例1 解方程 (x (2x-1)~(1/2))~(1/2) (x-(2x-1)~(1/2))~(1/2)=2~(1/2) (第一届国际中学生数学竞赛题) 解:将原方程两边乘以2~(1/2)得:(2x-1 2 (2x-1)~(1/2))~(1/2) 1 (2x-1-2 (2x-1)~(1/2))~(1/2) 1=2令y=(2x-1)~(1/2)(y≥0),则原方程可变为: ((y 1)~2)~(1/2) ((y-1)~2)~(1/2)=2即|y 1| |1-y|=2∵(y 1) (1-y)=2,根据(Ⅱ)得:(y 1)(1-y)≥0,∴-1≤y≤1。又y≥0,∴0≤y≤1即0≤(2x-1)~(1/2)≤1解之得1/2≤x≤1。     

使用|Z_1 Z_2|≤|Z_1| |Z_2|时要注意等号成立条件

本刊1985年第四期刊登了《复数证明不等式初探》一文,该文能灵活运用不等式|z_1 z_2|≤|z_1| |z_2|进行解题,阅后得益非浅,但美中不足之处是在使用这个不等式时没有指出等号成立条件。从而学生在使用不等式|z_1 z_2|≤|z_1| |z_2|时存在盲目性。这正是我们教师应该指点之处。为了说明问题,我们将原文中例6,求证: (x~2-4x-5)~(1/2) (10-2x x~2)~(1/2)≥17~(1/2)(原文题目有印错)改为: 例1:求函数y:(x~2-4x-5)~(1/2) (10-2x x~2)~(1/2)的极小值。     

浅谈椭圆方程及其题型求解

<正>一、利用椭圆的定义解题例1已知椭圆方程(x~2)/~(a~2)+(y~2)/~(b~2)=1(a>b>0),焦点为F_1,F_2,P是椭圆上一点,∠F_1PF_2=α。求:△F_1、PF_2的面积(用a、b、α表示)。解:如图1,设P的坐标为(x,y),根据椭圆的对称性,不妨设P在第一象限。由三角形的余弦定理可知:|F_1F_2|~2=|PF_1|~2+|PF_2|~2-2|PF_1|·|PF_2|cosα=4c~2。①     

活用条件|z|=1解题

本文把高中代数下册(人民教育出版社,1990年版,以下简称课本)、《高三数学教学与测试上册》(苏州大学《中学数学》编辑部,1995年版,以下简称教学与测试)和高考题中一些含条件|z|=1的复数问题串连起来,旨在提醒学生注重条件、用活条件,以提高运算能力。 1 从课本两道习题谈起 课本在复数一章有两个习题: (1)求证:(cosθ isinθ)/1=cosθ-isinθ (第216页习题二十八,10(1)) (2)求证:|z|=1(z∈C)的充要条件是1/z=(?)(第222页复习参考题八.15) (1),(2)两题形异实同,它们是关系式z·z=|z|~2=|z|~2 (课本第194页)当|z|=1时的特例,也是联系虚数与实数的纽带,针对实际问题,实施题(1),(2)的转换,既拓宽了复数问题的解题思路,又进一步沟通了     

用解析法求极值

有些极值问题如果用解析法处理,将会简捷易行,下边通过举例说明。 [例1] 已知变量x、y满足等式4y-3x=4,求函数f(x,y)=((x 3)~2 (y-5)~2)~(1/2) ((x-3)~2 (y-6)~2)~(1/2)的最小值。解:如图(一),设二点A(-3,5)、B(3,6),作出4y-3x=4的图象,则本题可化为动点P(x,y)在直线4y-3x=4上移动时,求|PA| |PB|的最小值。求出点A(-3,5)关于直线4y-3x=4的对称点A_1(3,-3),连结A_1B,易知|A_1B|就是|PA|     

利用配方法解竞赛题

配方法是数学竞赛试题中最常用的解题方法之一 ,以下从几个方面例析配方法在解竞赛题中的运用 .一、通过配方 ,利用“和、差、积”三方的转化解题例 1　 ( 1999年全国初中数学竞赛试题 )已知 1a -| a| =1,那么代数式 1a + | a|的值为 (　　 )( A) 52 .　　　 ( B) - 52 .( C) - 5.( D) 5.解 :由已知 ,可得到 a,1a + | a|都是正数 ,所以 ( 1a- | a| ) 2 =1,1a2 + | a| 2 =3,( 1a + | a| ) 2 =5.∴ 1a + | a| =5,故选 ( D) .例 2　 ( 1998年全国初中数学竞赛试题 )如果方程x2 + px + 1=0 ( p >2 )的两根之差为 1,那么 p等于(　　 )( A) 2 .…     

构造法解题一例

题目.P,Q分别为圆x~2 (y-5)~2=1和椭圆3x~2 28y~2=63上的点。求|PQ|最大值及相应的P,Q点。构造圆族 x~2 (y-5)~2=r~2,将它与椭圆方程3x~2 28y~2=63联立,可求出族中     

关于空集、≤与0是否属于虚轴的理解

笔者认为对如下中学数学中若干问题的理解有展开讨论研究的必要。 一、关于空集φ 某区高三数学练习题: 集合A={x|a 1≤x<2a-1),B={x|-2≤x≤5},若A(?)B,则实数a的取值范围是____。     

用判别式解题造成错误的几点思考

一、先看几道用判别式解题造成错误的实例 例1 求函数的值域。(见苏州大学《中学数学》统辑部94年发行《高三数学与测试》一书p14页)。 为具体起见,改用数字系数,求函数的值域。 解:∵原函数的定义域是:{x|x≠1且x≠-3,x∈R},将原函数化为则有①当y≠1时,得(2y 3)~2 4(y-1)(3y 2)≥0’整理得(4y 1)~2≥0,故y为≠1的一切实数;     

一道不等式例题的深入剖析

新教材(数学)高二上册第22页例3是:已在|a|<1,|b|<1,求证:1a abb<1.(1)1.巧证设三点P1(-1)、P1a abb、P2(1),P分P1P2的比为λ,则λ=PP1PP2=a b1 ab 11-1a abb=((aa- 11))((bb -11)),由于|a|<1,|b|<1,显然λ>0,所以点P内分P1P2,即点P在线段P1P2上,故-1<1a abb<1,从而1a abb<1.2.变形已知|a|<1,|b|<1,且a≠b,求证:1a--abb>1.(2)证明:1a--abb>1(1-ab)2>(a-b)2a2 b2-a2b2-1<0(1-a2)(b2-1)<0,由条件|a|<1,|b|<1,知1-a2>0,b2-1<0,所以(1-a2)(b2-1)<0,从而知原不等式成立.3.推广用上述证明方法很容易把不等式(1)和(2)分别推广为如下两…     

2006年高考北京卷19题解法纵横谈

2006年北京市高考数学第19题是:已知点 M(-2,0),N(2,0),动点 P 满足条件|PM|-|PN|=22~(1/2),记动点 P 的轨迹为 W.(1)求 W 的方程;(2)若 A,B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求(?)·(?)的最小值.第(1)小问按双曲线定义极易得到;第(2)小问命题者给出了二种解法,本文将给出几种新的解法,从解答中我们可以看到这道试题的思维价值.