在变换的过程中提出问题

问题 1　《数学教学》2 0 0 3年第 2期“数学问题与解答”栏目中的第 5 80题为设a、b、c为△ABC的三边 ,求证 :a2a +b -c+b2b +c -a+c2c+a -b≥ 32 .①笔者试图探索这个新颖不等式的上界 ,得出问题 1 .1　设a ,b,c为△ABC的三边 ,求证 :a2a +b -c+b2b +c -a+c2c+a -b<73 .②综合不等式①、②得问题 1 .2　设a ,b,c为△ABC的三边 ,求证 :32 ≤ a2a +b -c+b2b +c -a+c2c+a -b<73 .③为了证明不等式③ ,笔者首先想到了它的类似 :问题 1 .3　设x ,y ,z为任意正实数 ,求证 :xy +z+yz +x+zx +y≥ 32 .④于是 ,联想到 :能否将不等式③转化为三…     

一个优美不等式的又一简证及探究

题目设a,b,c是正实数,且a＋b＋c=1,则有（1/b＋c-a）（1/c＋a-b）（1/a＋b-c）≥（7/6）^3（1） 文[1][2][3]给出了不同的证明方法,笔者对这个优美的不等式再给出一个简单的初等证明,并对不等式（1）做一些探究．     

构造一等式证明一类不等式

我们知道,利用等式证明不等式是证明不等式的一种重要思想方法.在不等式中,对于可化为（a/（b＋c））、（b/（c＋a））、（c/（a＋b））（其中a、b、c〉0）的一类对称不等式,若令x=（a/（b＋c））,y=（b/（c＋a））,z=（c/（a＋b））（x、y、z〉0）,则x、y、z满足等式（x/（x＋1））＋（x/（y＋1））＋（z/（z＋1））=1（）（1/（x＋1））＋（1/（y＋1））＋（1/（z＋1））=2（）xy＋yz＋zx＋2xyz=1（以下记此三式依次为①、②、③式）,这样,利用这几个恒等式.     

从一题看不等式的证明方法

本文就一道不等式证明题深入挖掘,呈现出不等式证明的多种方法,希望读后能开阔视野,活跃思维,提高能力.题目设a+b=1,a、b为正数,求证(a+1/2)~2+(b+1/2)≥2.本题可以用证明不等式的基本方法:比较法、分析法、综合法来证明,也可以用反证法、放缩法来证明.     

一个猜测不等式的证明

第9届美国数学竞赛试题中有如下不等式：设0≤a,b,c≤1,证明a/b＋c＋1＋b/c＋a＋1＋c/a＋b＋1＋（1-a）（1-b）（1-c）≤1.     

一个三角不等式的妙用

“在△ABC中,∑sin A≤3√3/2”是一个基本的三角不等式.下面用它证明一个三元不等式问题 题目 正数a、b、c满足∑a=1.证明： ∑1/bc＋a＋1/a≤27/31,其中,“∑”表示轮换对称和.[1] （2008,塞尔维亚数学奥林匹克） 证明 令a=yz,b=zx,c=xy（x、y、z＞0）.     

一个分式不等式链及其证明

文[1]提出一个猜想：若正数a,b,c满足abc≥1,则（a/b＋b/c＋c/a）（b/a＋c/b＋a/c）≥（a＋b＋c）（1/a＋1/b＋1/c）,文[2]将猜想的条件扩大为a,b,c为正数,并提出几个结构类似的不等式,笔者在学习文[1]和文[2]的基础上,利用柯西不等式及其推广给出文[1]中的猜想及其几个形似不等式的证明.     

一类条件不等式的背景

《数学教学通讯》2001年第10期刊发的一篇文章[1]中利用均值不等式巧妙地证明了一类条件不等式.本文借用这篇文章中的例子进一步探讨这类条件不等式的统一背景. 例 1 已知 a,b∈R~+,a+b=1,求证: (1)a2十b2≥1/2;(2)a3十b3≥1/4. 该例中的第(1)个不等式的背景是 2(a2十b2)≥(a十b)2,①不等式(1)只不过是当a+b=1时的特殊情形.显然不等式①对任意实数a和b都是成立的,因此对不等式(1)就没有必要限制a和b为正实数. 不等式①应该说是中学数学里常见的基本不等式之一,在此没有必要给出它的证明.不     

由∑bc—4／9пa≤1／4引起的“链式反应”

针对一类条件为：a b c=1(a,b,c为非负实数）的三元非齐次不等式的证明问题，笔提出如下定理：∑a^2 2∑bc=1Ⅰпa≤1/27Ⅱ∑bc-4/9пa≤1/4Ⅲ本列举10道三元非齐次条件不等式，均可由该定理直接或间接得到证明，其证明途径可列成如下网络：定理→（1)→（5) 0190(10)→（2)→(7)→（6)→（3)→（8)→(4）→（9)。     

一个不等式的简证及推广

文[1]给出如下不等式猜想：若a,b,C是正实数,且满足abc=1,则a~2/2＋a＋b~2/2＋b＋c~2/2＋c≥1.很多数学杂志给出了这个不等式的证明,下面笔者再给出一个简单的证明,证法1：由二元均值不等式得a~2/2＋a＋2＋a/9≥2/3a（？）a~2/2＋a≥5a/9-2/9,同理得到b~2/2＋b≥5b/9-2/9;     

多角度探讨同一不等式的证明

不等式的证明是高中数学的一个难点,掌握好不等式的证明,对训练学生思维能力,提高数学思维的效率是大有益处的,本文就以下不等式的证明进行探讨,以餮读者。 例 “设a、b、c为正数,且a b c=1,求证(1/a) (1/b) (1/c)≥9” 此不等式的证明方法很多,除可直接用常见的基本方法:作差比较法和均值定理法进行证明外,还可着眼于条件,     

一个三角形不等式的巧证

《数学教学》2 0 0 1年第 2期问题 532是 :在△ ABC中 ,∠ A,∠ B,∠ C的对边 BC=a,CA= b,AB=c,试证明 :2 bcos C2 +2 ccos B2 >a+b+c. (1 )这是一个形式优美的不等式 ,第 3期给出化边为角的常规的证明方法 ,下面我们给出另一种简便证法 .分析　观察不等式 (1 ) ,我们设想 ,如果能够构造出以 2 bcos C2 ,2 ccos B2 ,a+b+c为边长的三角形 ,则 (1 )式成立就不言而喻了 ,于是我们自然得到如下证法 .图 1证明　过 A点作直线 l∥ BC,BB′平分∠ABC,CC′平分∠ ACB,且 BB′∩ l=B′,CC′∩ l=C′.再过点 B作 BD∥ CC′,BD∩ l=D…     

一个代数优美不等式的证明和推广

本文[1]中提出30个优美的不等式,下面就第27个优美不等式给出它的证明并提出它的推广,供读者参考.问题 （第27个优美不等式）设a,b,c＞0且a＋b＋c=3,求证：1/√1＋a＋a2＋1/√1＋b＋b2＋1/√1＋c＋c2≥√3.     

一些特殊不等式的巧用

在不等式证明中,如果多留意,多反思,就可以发现一些课本上没有作为公式,但却十分有用的不等式,如a/b〈（a＋m）/（b＋m）,（b〉a〉0,m〉0）（a＋b）/2≤√（a^2＋b^2）/2,a^2＋b^2＋c^2≥ab＋bc＋ca等等,在证明某些不等式时,利用这些不等式可以简化思路、缩短解题过程。     

一个分式不等式的探源、证明与推广

《中学数学教学》2007年第4期解题擂台（86）提出如下分式不等式： 设a、b、c是正实数,且a＋b＋c=1,求证：1/a＋1/b＋1/c≥25/1＋48abc （＊）该不等式新颖、优美．本文对其作探源、简证与推广．     

一个条件不等式的证法探究

<正> 本文给出一个条件不等式的10种证法,从中可以看出条件不等式证明的一些常用思想方法.同时给出几个常见结论及其推广.已知:a、b、c是正数且a+b+c=1,求证:a2+b2+c2≥1/3.思路1 这是一个对称不等式,取等号的条件应为a=b=c=     

2011爱沙尼亚国家队选拔题简证及推广

2011年爱沙尼亚国家队选拔考试第4题设a,b,c为正实数,满足2a²+b²=9c²,证明:（2c）/a+c/b≥3^1/2.侯典峰、郝明泉两位老师在文[1]中主要依据均值不等式,对该题给出了"三个简证".经过探求,笔者发现,借助权方和不等式证明该题,更显简洁.证明:由题设知a,b,c为正实数,满足2a²+b²     

柯西不等式的两个推论及其运用

文[1]例4给出了不等式:“a~2/(b c-a) b~2/(c a-b) c~2/(a b-c)≥a b c,其中 a,b,c 为△ABC 三边”的证明.它采用逆用等比数列各项和的证明方法,其思路新颖,但证题过程繁琐,不利于学生理解与掌握.本文从柯西不等式着手推导出两个结论,并对文[1]例4给出另一种独特简洁的证法,然后对推论作一简单的运用.在初等数学中常遇到如下不等式:     

“利用基本不等式求最值”教学实录与反思

基本不等式√ab≤a+b/2(a≥0,b≥0)是现行普通高中课程标准实验教科书(苏教版)数学必修5第三章“不等式”第4节的内容,在江苏省考试说明中一直是C级考查要求,即属于掌握层次.利用基本不等式求最值是基本不等式的一个重要应用,是历年高考必考的重点内容,其中有些问题看似简单实则易错、难解.为此笔者在高三一轮复习时特地安排了一节“利用基本不等式求最值”的探究课,现给出本节课的教学实录与反思,供大家参考.     

不等式链的几种几何证明

不等式链√a^2＋b^2/2≥a＋b/2≥√ab≥2ab/a＋b（a〉0,b〉0）是高中数学重要内容之一，在高考中屡“试”不鲜，下面笔者就2010年湖北省高考理科卷第15题的解题及其反思过程，给出该不等式链的三种几何证明．