凌驾两台“母机”发展应变素质——关于比例线段的证题规律探析

比例线段是平面几何的重要内容 ,其表达形式又是多种多样的。如 ab =cd ,a·b =c·d ,1a + 1b =1c ,ab + cd =1,a·b =c·d +e·f,b2 =b(b +c) ,a·b·c =d·e·f+ghl等。它们分别是基本比例式、变形比例式与组合比例式。笔者认为“平行线和相似形是制造比例线段的两台母机”。无论何种形式的比例线段 ,必须通过“母机”得出基本比例式 ,或者再根据比例性质、几何性质进行逻辑推理而获证。下面谈谈利用两台母机制造比例线段的方法与应用 ,以供探究。一、一线束被平行线截得比例线段如图 ,L1∥L2 ,截过O的线束于A1B1、A2 B2 、A3 B3 、A4…     

简解·妙解·推广

<数学通报>2001年2月号问题1300:设a,b,c,d∈R,且a+b+c+d=2,ab+ac+ad+bc+bd+cd=-(8)/(3),求b+c+d的最大值和最小值.     

一个数学问题的巧解

<数学通报>2001年2月号数学问题1 300: 设a,b,c,d∈R,且a+b+c+d=2,ab+ac+ad+bc+bd+cd=-(83),求b+c+d的最大值和最小值.     

一类三角形不等式问题的探讨

2013年OlympicRevenge 第3题为: 已知a,b,c,d是满足ab+ ac+ad+ bc+ bd+ cd =6的正数,求证:1/a2+1+1/b2+1+1/c2+1+1/d2+1≥2.(1) 文[1]退化思考得到 命题4 已知a,b,c是满足ab+bc+ca =3的正数,求证:1/a2+1+1/b2+1+1/c2+1≥3/2.(2) 在(2)式中令a=√tanA/2,b=√3tanB/2,c=√3tanC/2,则命题4可变为:     

一个连等式结论的妙用

利用性质“若实数x=y=z,且xyz=1,则x=y=z=1”,可妙解下列两例:例1在△ABC中,设命题p:sina B=bsin C=sinc A,命题q:△ABC是等边三角形,那么命题p是命题q的().(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分又不必要条件(2005年高考江西卷(文史)试题)解必要性显然,下面看充分性.对命题p三边分母同乘以2R,得ba=bc=ac.由于ab·cb·ac=1,所以ab=cb=ac=1.即a=b=c,故充分性成立.选C.注本题用等比性质解也很简单:ab=cb=ac=ba cb ac=1,所以a=b=c.例2△ABC中,ab2cos A=bc2cos B=ca2cos C,判断此三角形的形状.解原式三边除…     

双圆四边形中一个关联四圆的不等式

定理　设ABCD为双圆四边形 ,R、r分别为外接、内切圆半径 ,r1、r2 分别为△ABC、△ADC的内切圆半径 ,则有R≥4r (r -r1) (r-r2 )r1 r2.①证明 :记AB =a ,BC =b ,CD =c,DA =d ,△ABC、△ADC的面积分别为Δ1、Δ2 ,四边形ABCD的面积为Δ ,半周长为 p ,则Δ1=12 r1(a b AC) ,Δ2 =12 r2 (c d AC) .由Δ =Δ1 Δ2 ,得2Δ =r1(a b) r2 (c d) AC(r1 r2 ) .由文 [1 ]知Δ =abcd ,R =14(ab cd) (ac bd) (ad bc)abcd12 ,∴AC =(ac bd) (ad bc)ab cd12 =4RΔab cd≤4RΔ2Δ =2R ,∴ 2Δ≤r1(a b) r2 (c d) 2R(r1 r2 )…     

一道数学问题的新解

《数学通报》2 0 0 1年 2月号数学问题1 3 0 0 :设 a,b,c,d∈R,且 a b c d=2 ,ab ac ad bc bd cd=- 83 ,求 b c d的最大值和最小值 .除了《数学通报》上已给出的一种解法之外 ,本文再给出这一问题的两种解法 .为此 ,我们先计算 a2 b2 c2 d2 =(a b c d) 2- 2 (ab ac ad bc bd cd) =2 2 - 2·(- 83 ) =2 83 .解法 1　∵b c d=2 - a,b2 c2 d2 =2 83 - a2 .构造函数 f (t) =(t- b) 2 (t- c) 2 (t- d) 2 ,则f(t) =3 t2 - 2 (b c d) t (b2 c2 d2 )=3 t2 - 2 (2 - a) t (2 83 - a2 )≥ 0 ,∴Δ=4 (2 -…     

源头活水来 串连思路宽

本文就高中《代数(下册)》(人民教育出版社、90年版)“不等式”一章中三个简单而重要的习题,串连课本定理、习题、高考题、竞赛题进行阐述,并简要说明其统一形式及应用。串连起到了推波助澜的作用。用问题串连概念,澄清、变活源头;用概念串连问题,拓宽、理顺思路。 (Ⅰ) (a~2 b~2)(c~2 d~2)≥(ac bd)~2 一、用(Ⅰ)串连课本知识 《课本》15页第6题,“已知ad≠bc,求证(a~2 b~2)(c~2 d~2)>(ac bd)~2” 1.[证题思路] 用本章定理1(p.8.“a~2 b~2≥2ab”)就有(a~2 b~2)(c~2 d~2)=(ac)~2 [(ad)~2 (bc)~2) (bd)~2≥(ac)~2 2acbd (bd)~2=(ac bd)~2。这里可突出“等号当且仅当ad=bc时成立。”以加深理解定理1,也利于极值等问题的求解。 不妨进一步说明(Ⅰ)是重要的柯西不等式的二维形式,其三个二次式,从不等关系     

地理科试题精选

一、选择题(一)单项选择题图1所示的是经纬网,据图回答1～3题。1.下列各线段比例尺的比较,正确的是()A.ab﹥cd﹥ac=bdB.cd﹥ab﹤bd﹤acC.ac﹥bd﹥ab﹥cdD.bd=ac﹥ab=cd2.当ac经线为晨线时()A.a处的区时为6时B.北京时间为7时20分C.c处的正午太阳高度达一年中最大值D.b处昼长夜短3.当d处为9日6时,这时处于9日范围的地区占全球面积的比例是()A.一半B.大于一半C.小于一半D.无法确定2004年12月当地时间26日上午,苏门答腊岛附近海域(图2中A处)发生40年来世界最强烈地震,并引发海啸,东南亚和南亚数个受波及国家死亡失踪人数已逼近30万人,远在…     

图形的相似考点解析

图形的相似是图形变换中的重要内容,是中考命题的热点之一.常见的考点有:考点1比例线段、比例的性质【考点解读】a:b=c:d圳ad=bc.利用它可将比例式与等积式进行相互转化.这部分知识常与其他知识结合在一起考查     

多元文化中的无理数

先让我们把目光投向古希腊的毕达哥拉斯学派 .毕氏学派在数学方面作出了巨大的贡献 .同时 ,数学在天文和音乐等方面的大量结果也深深地影响了他们的宇宙观 .他们相信“万物皆数” ,即宇宙万物都可以归结为简单的整数比 .此外 ,他们还相信只要单位线段取得足够短 ,则任何两条线段A、B都能被单位线段量尽 .即 ,任何两个量都是可公度的 .这与其“万物皆数”的宇宙观是不冲突的 .具体而言 ,设 ｜A｜=ab ,｜B｜=cd ,若 ｜A｜=｜B｜ ,则 ｜A｜ ,｜B｜显然可公度 ;否则 ,不妨设｜A｜ >｜B｜ ;于是｜A｜- ｜B｜=1bd(ad -bc) ;由于ad ,bc均为整…     

圆内接四边形的一个新性质的探索与证明

<正>1问题的提出在圆内接四边形ABCD中,记边长AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,对角线AC=e,BD=f.著名的托勒密(Ptolemy)定理指出:圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线长的乘积,即ac+bd=ef.一个十分自然而且重要的问题是:对于圆内接四边形ABCD的两组邻边乘积之和,也就是ab+cd和bc+ad,能否像托勒密定理那样分别找到两条线段m、     

一道课本习题结论的解题功能

高中代数下册(必修)．P15习题十五第6题为：已知ad≠bc，求证(a^2+b^2)(c^2+d^2)&gt;(ac+bd)。当ad=bc．即a/c=b/d时，则有(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2(*)(*)式实为柯西不等式的最简形式．(*)式具有较多的解题功能，且解题显得特别自然流畅、方便简洁．     

“相似形”学习中的创新与实践

一、不要满足书中已给出的结论“相似形”第一单元给出比例性质 :基本性质、合比性质、等比性质。对初学者来说 ,通过 a∶ b=c∶ d ad=bc b∶ a=d∶ c(反比 )和 a∶ c=b∶ d(更比 ) ,这无疑是一种学习中的新发现。对合比性质 ab= cd a+ bb =c+ dd ,同样可使结论发展深化为ma± nbkb =mc± ndkd (m、n、k为正整数 )。对等比性质ab=cd=ef a+ c+ eb+ d+ f=ab(b+ d+ f≠ 0 ) ,同样可以使结论发展深化为 m1a+ m2 c+ m3 em1b+ m2 d+ m3 f=ab (其中m1b+ m2 d+ m3 f≠ 0 ,m1、m2 、m3 为正整数 )。如此灵活而全面地理解性质的结论 ,不仅使学生受到…     

分数大小比较的引伸

小学算术里讲解分数大小比较的方法,主要有两种,这两种方法都是按照分数的,基本性质,把两个(或几个)分数化成同分母或同分子的办法来完成的。 如,分数a/b与c/d,同分母有(ad)/(bd)与(bc)/(bd),同分子有(ac)/(bc)     

代数公式教学中的构图

法国数学家笛卡儿曾指出:“没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了。因此,用这种方式来表达事物是非常有益的。”以下,结合自己的教学实践和认识,谈谈构图在公式教学中的作用。一、运用构图,领会、记忆、运用公式。例如介绍乘法公式:m(a b c d)=ma mb mc md,(a b)(c d)=ac ad bc bd,(a b)~2=a~2 2ab b~2,(a-b)~2=a~2-2ab     

构成勾股数的一种方法

一九八六年全国初中数学联赛的第一、4题是一道填空题:“设a、b、‘、‘都是整数,且m~砂+bt.,,~‘,+矛.则m·,也可以表示成两个整数的平方和,其形式是_。”答案是:(ac一叼),+(ad+bc)’,即:m·n二(ac一bd),+(ad+bc)t。 观察此题的结论可以设想:如果m·n是一个完全平方数,那么〔石万石,a。一bd,ad+加〕将构成一组勾股数.例如a=4,b=2,则m=2.+ 4t=20。c=2,d=1,则,=1.+22=5。由于m,=20 xs== 10.是一个完全平方数,且ac一bd~2 X4一1 XZ一6,ad+bc=1x4+2 xZ,8,则(10,8,6)为一组勾股数.这就是说:由两组已知数(二,a,b)及(二,‘,d)(但二·n应是完全平…     

巧用"诱导比例法"妙解一类习题

在教学比例的性质时,曾遇到过一个这样的结论:设a、b、c、d均为不等于零的实数,则ba=cd aa -bb=cc -dd.下面,笔者运用这个性质妙解一类习题,供参考.1分式的化简求值例1已知x=a4 abb,求xx -22aa xx -22bb的值.分析本题若直接代入计算较麻烦,要求值的代数式的分子、分母只有一些项的符号不同,因此可考虑用比例的性质.解把x=a4 abb变为比例式2xa=a2 bb.由ba=dc aa -bb=cc- dd.得x 2ax-2a=22bb -((aa bb))=-aa -3bb.再由2xb=a2 ab,∴xx -22bb=22aa- ((aa bb))=3aa- bb.∴xx- 22aa xx- 22bb=-aa -3bb 3aa- bb=2(aa--bb)=2.2二次根式的化简求值…     

乘法运算律的灵活应用

乘法运算律是指： （1）乘法交换律：ab=ba; （2）乘法结合律：（ab）c=a（bc）; （3）分配律：a（b＋c）=ab＋ac． 应用乘法运算律解题,贵在灵活．现举几例说明．     

一个不等式的简洁证明

文 [1]在引言中谈到 :在江苏省吴县市召开的 1999年全国不等式研究学术会议上 ,中科院成都计算机应用研究所杨路教授应用通用软件 Bottema给出以下不等式的一个“机器证明”:设 a,b,c都是正数 ,则ab c bc a ca b>2 .文 [1]中通过构造长方体给出了一个证明 ,但证明还是较繁 .事实上 ,利用二元均值不等式就可以给出一个简洁的证明 .证明　　∵ a· b c≤a b c2 ,∴ ab c=aa· b c≥ aa b c2=2 aa b c,同理可得bc a≥ 2 ba b c,　 ca b≥ 2 ca b c.注意到以上三式等号不同时成立 ,故ab c bc a ca b>2一个不等式的简…