浅说常数·特征方程

人们都认为常数比变数在一个数学问题中处理起来要简单一些,但我们认为许多时候常数的变形技巧性要求还更高.比如初中数学中解二元二次方程组时,如果未知数x、y的系数不成比例,二次项、一次项系数也不成比例,两个方程均不能分解因式,这时最后的手段就只有消去常数项了.     

巧解方程（组）

在数学竞赛中 ,常遇到一些特殊形式的方程 (组 ) ,它们结构巧妙而富有规律性 .解题时应仔细观察题目的特点 ,抓住方程的结构特征或某种规律 ,联想一些解题方法与技巧 ,往往能避免常规解法带来的繁杂运算 ,找到较为简便的解法 .下面举例说明 .1　拆项例 1　解方程 1ｘ(ｘ - 1) 1ｘ(ｘ 1) … 1(ｘ 9) (ｘ 10 ) =112 6 .分析　这个方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数 1,因此可考虑将每一个分式拆成两个分式之差的形式 ,通过消去相同的分式 ,达到化简方程之目的 .解　原方程变形为1ｘ - 1- 1ｘ 1ｘ - 1ｘ 1 … 1…     

用消常法解圆锥曲线问题

有关直线与圆锥曲线相交的问题,若运用消常法——即消去直线方程中的常数项,化为二次齐次方程来解,则解题过程有时会非常简捷,下面我们举例说明之.1求曲线方程例1设A和B为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB,求点M的轨迹方程,并说明是什么曲线.(2000年北     

与连心线有关的圆系方程

解联立两圆方程,消去平方项并整理,得两个已知圆的相交弦所在的直线是     

思路要明 方针要定——解多元一次方程组

解多元一次方程组时,思路要明、方针要定,现举例说明. 例1解方程组 {劣一Zy+2一O,〔1) 长3x+Zy一2二一1,(2) (Zx一3y+22一2.(3) (王受想之.一):观察(1)、(2)、(3)之间的关系,发习见(1)+(2)立即消去y,(2)十(3)立即消去之.但就全局看,这种设想并没有达到消去某个未知数的目的. (i受想生匕二)这是含有三二个未知数‘三个方程的方程组,第一步应通过适当组合,消去一个未知数,出现含两个未知数和两个方程的方程组.纵观全局,消去x或消去y都不如先消去二为宜.第一步决定消去二,出现只含x和y的两个方程—这是既定方针. (1)XZ+(2):sx一2少一1,(4) (…     

关于两个一元二次方程的公根问题

解决关于两个一元二次方程有且只有一个公根的问题的途径通常有两条:一条是消去二次项,另一条是消去常数项.下面举例说明.     

对一道习题的再探究

引例　解关于x的方程x+1x =c+1c 解方程得　x1=c ,x2 =1c.仔细观察方程就可以发现 :方程左边和右边的两项分别互为倒数 ,方程的两根为方程右边的两个常数 .一、问题探索问题 1　在引例中 ,若方程左边和右边的两项分别互为负倒数时 ,上述结论是否仍然成立 ?x- 1x =c - 1c 通过解方程可以发现 ,方程的两根仍为右边的两个常数 ,即x1=c ,x2 =- 1c.问题 2　在引例中 ,若方程左边和右边的两项的积为± 2 ,结论又怎样变化呢 ?x± 2x =c± 2c 通过解方程可以发现 ,方程的两根仍为右边的两个常数 .即x1=c ,x2 =± 2c.二、规律总结通过以上探究 ,关于x…     

方程组的概念和解法

一、知识要点1．方程组的概念：方程组、方程组的解、解方程组、二元一次方程组、二元二次方程组．2．方程组的解法：（1）二元一次方程组的解法：加减消元法和代人悄无法．三元一次方程组的解法与二元一次方程组的解法相类似．（2）二元二次方程组的解法形式的：可消去二次项的；可消去一个未知数的；有一个方程可分解团式的；可消去常数项的；可求出两个未知数的和与积的．＝、解题指导。（乌鲁木齐，1990年）分析本例是考查用换元法解无理方程和二元一次方程组的解法．设，则（1）变形为．解之得（舍去）．所以．故x＋y=16．从而得，苏州…     

轻松求三元一次方程组的解

解三元一次方程组的基本思想和解二元一次方程组一样,仍然是消元,其基本方法也是代入消元法和加减消元法,一般步骤为:(1)利用代入法和加减法,消去一个未知数,得出一个二元一次方程组;(2)解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;(3)将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程,求出第三个未知数的     

三元一次方程组的解法

1．先消去系数最简单的未知数 例1解方程组： 解{x＋y＋z=0 x＋4y＋2z=3, x＋9y-3z=28.     

两个非线性发展方程的自Bcklund变换及其精确形波解

结合截断Painlevé展式和Painlevé-Bcklund方程组的不同的解,构造了广义变系数KdV方程和（1＋1）维KdV型方程的精确形波解,并给出了这两个方程的自Bcklund变换.这个方法也可以用来构造其他非线性发展方程的精确形波解.     

一元二次方程“常见病”

一、对一元二次方程概念的理解产生错误.例1.在下列方程中:(1)x2=4;(2)x2-1x=1;(3)5x23-2x=4x;(4)4x2 y2 1=0,是一元二次方程的是(.只填序号)错解:(1)(2)(3)错解分析:错解的原因没有弄清一元二次方程必须是整式方程,方程(2)是关于x的分式方程,故不是一元二次方程,只有(1)(3)是一元二次方程.正确解法:(1)(3)二、对一元二次方程中系数的确定产生符号的错误.例2.求一元二次方程3x2-2x=3的二次项系数、一次项系数和常数项.错解:二次项系数3,一次项系数2,常数项为3.错解分析:一般情况下,在判断一元二次方程的系数时,要先把方程化成一般形式,然后…     

二元高次方程组的另种解法

一般书上对于两个方程的二元高次方程组成的高次方程组是应用结式的有关知识求方程的解,在计算结式时不好计算,本文应用解方程组的同解原理及整系数方程有理根的有关知识便能求出二元高次方程组的解。     

不定方程组的应用举例

在方程组的学习中,会遇到求解方程组的个数少于未知数个数的问题,解这类问题的一般方法,是把其中一个未知数视为常数,用它的代数式表示另外的未知数或消去方程组的公有未知数,转化为二元方程,从而使问题得解。     

关于不定方程组7x2-5y2=2,24y2-7z2=17

研究了不定方程组7x2-5y2=2,24y2-7z2=17,给出了求此不定方程组正整数解的一种方法.并求出了此方程的两个解:x=y=z=1;x=131,y=155,z=287.     

直线与圆锥曲线位置关系问题的解题策略

<正>"解方程组"与"点差法"都体现了"设而不求,整体代换"的解题思想与技巧,对解决直线与圆锥曲线位置关系一类题目有着广泛而重要的应用.现在通过举例来说明.一、解方程组在解题中,将直线的方程与圆锥曲线的方程联立,消去一个变量后可得到一个二次方程,控制、讨论这个方程的根,并结合韦达定理,可以解决如下问题:(1)判断直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离);(2)交点问题(公共点的个数,与交点坐标相关的等式或不     

一元二次方程的公共根问题

解关于一元二次方程的公共根问题 ,是一种常见的题型 ,但同学们在解此类问题时 ,常感到棘手 .为此 ,本文通过举例向同学们介绍此类问题的几种常用解法 .一、作差求根法对于比较简单的两个一元二次方程有公共根的问题 ,可采用作差求根法来解决 .具体操作步骤是 :把两个方程相减 (或相加 )消去二次项 ,由所得一元一次方程来确定参数的值 ,进而求出方程的根 .例 1　ｍ为何值时 ,方程ｘ2 ｍｘ-3=0与方程ｘ2 -4ｘ -(ｍ -1 ) =0有一公共实数根 ?并求此根 .解　将已知两方程相减 ,得(ｍ 4)ｘ =-(ｍ -4 ) .当ｍ =-4时 ,公共根不存在 ;当ｍ≠ -4时…     

这样的“配方法”更好——评用“配方法”解一元二次方程a~2+bx+c=0(a≠0)

“配方法”是初中代数中的一种重要的解题方法 ,人教版初中《代数》第三册第 13页给出了用“配方法”解一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 )的过程 ,由此可以归纳为四个步骤 :1.方程两边都除以二次项系数2 .把常数项移到方程右边去3 .方程两边都加上一次项系数一半的平方4.把方程左边化为完全平方式 ,如果方程右边是非负常数 ,那么再运用“直接开平方法”求解 ,这是一种“传统”的“配方法” ,事实上用下面的“配方法”解一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ+ｃ =0 (ａ≠ 0 )更好 .解法一　把方程的两边都乘以ａ ,得ａ2 ｘ2 +ａｂｘ+ａｃ =0 ,移项…     

巧添未知数，妙解方程趣题

记得解一次联立方程组时，我们有一个解题法宝——消元法，就是将方程组中的未知数一个个地消去，最后化归为一元一次方程，从而得解．这种解法行之有效，是一种很有规律的解法．但是对某些特殊方程(组)，我们不是先消元，而是适当地添加未知数后，使原题转化为熟知的方程或方程组，从而求得满意的解答．现例说如下：     

二元一次方程组（二）专题训练

1．用加减法解方程组{4x＋3y=6, 4x-3y=2,若先求x的值,应先将两个方程相——;若先求y的值,应先将两个方程相——．