发现·归纳·探究·创新——一道中考压轴题引发的思考

一、中考试题:如图1,⊙O_1与⊙O_2外切于点A,BC是⊙O_1和⊙O_2的一条外公切线,B、C为切点.(1)求证:AB⊥AC;(2)若R、r分别为⊙O_1、⊙O_2的半径,且R=2r,求AB/AC的值.     

关于二次曲线的切点弦

从点P作二次曲线C的两条切线,切点分别是A、B,称线段AB为点P对C的切点弦。本文在建立切点弦(所在直线)方程的基础上,研究有关切点弦的一些性质。一、切点弦方程例1.求椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1外一点P(x_0,y_0)对椭圆的切点弦AB的方程。     

浅谈“切点三角形”的性质及应用

两圆外切时,该切点和一条外公切线与两圆的两个切点构成的三角形称为“切点三角形”.如图1,⊙O1与⊙O2外切于点P,AB为⊙O1和⊙O2的外公切线,A、B为切点.则△APB为切点三角形,它有一个重要的性质,即∠APB=90°.为了证明这一性质,不妨过点P作⊙O1和⊙O2的内公切线PC,交AB于点C.因     

一道月考题引出的圆锥曲线的统一结论

<正>一、试题与解答最近,云南师大附中高三年级月考出现了这样一个试题:题目过抛物线外一点M作抛物线的两条切线,两切点的连线段为点M对应的切点弦.已知抛物线为x²=4y,点P、Q在直线l:y=-1上,过P、Q两点对应的切点弦分别为AB、CD.(1) 当点P的横坐标等于2时,求切点弦AB所在的直线方程;(2) 当点P在直线l上移动时,直线AB是否经过一定点?若有,请求出该定点的坐标,如果没有,请说明理由.解 (1)略.(     

关于一道例题的变形

课本例题具有示范性和辐射性,因此对课本例题进行变形研究有助于培养学生思维的灵活性、深刻性和创造性,有利于帮助学生形成合理的思维模式。初中几何第三册P114例4就是一个很好的例子。 题目:如图1,已知⊙O_1和⊙O_2外切于点A,BC是⊙O_1和⊙O_2的外公切线,B、C为切点。求证:AB⊥AC。     

两圆相切的一个重要性质

本文介绍两个半径不相等的圆当它们内切或外切时的一个重要性质及其应用 .命题 1　设半径分别为 R,r(R>r)的两个圆内切于 T点 ,自大圆上任意一点 P向小圆作切线 (P与 T不重合 ) ,切点为 Q.那么PT=PQ RR- r.命题 2　设半径分别为 R,r(R>r)的两圆外切于点 T,自大圆上任意一点 P向小圆作切线 (P与 T不重合 ) ,切点为 Q.那么PT=PQ RR+r.1　命题 1的证明设半径分别为 R,r的两圆⊙O,⊙O1 内切于点 T,过大圆⊙O上任意一点 P作小圆⊙ O1 的切线 ,其切点为 Q(P≠ T) .连结 PT交⊙ O1 于 A点 ,再连结 O1 A和 OP.在△ O1 AT与△ OP…     

三角形的半周长结论及应用初探

众所周知 ,三角形的中线将三角形面积二等分 ,而哪一点是三角形周长的等分点呢 ?由义务教育初中《几何》第三册 P133～P134习题 2 ,不难得出 :结论 1.三角形的旁切圆 (即与三角形一边相切并和另两边的延长线也相切的圆。一个三角形有三个旁切圆 )在三角形边上的切点是三角形周长的等分点。现证明如下 :如图 1,设⊙O为△ ABC的一旁切圆 ,且在 BC上的切点为 P,在 AB、AC延长线上的切点为 Q、R,∵ BP=BQ,CP=CR∴ AB BP=AB BQ=AQAC CP=AC CR=AR,而 AQ=AR∴ AB BP =AC CP,即 P是三角形周长的等分点。此结论也可叙述为 :…     

例题与联想

初中《几何》第三册第144页例题,给我们展示了一个广阔的联想空间。学会联想,善于联想,对于数学的学习无疑能起到举一反三、触类旁通的作用。例题如图,⊙O_1、和⊙O_2外切于点A,BC是⊙O_1和⊙O_2的公切线,B、C为切点。求证:AB⊥AC。简证过点A作两圆的内公切线交BC于D。易证: BD=AD=DC ∴∠BAC=90°,即AB⊥AC。     

一个结论的推广(高二)

结论 从圆O外一点P引圆的两条切线 PA、PB,切点分别为A、B,则切点弦AB被直线 OP垂直平分. 此结论可推广到椭圆、双曲线和抛物线. 1.从不在椭圆(x2)/(a2) (y2)/(b2)=1(a>b>0)对称轴 上的任意一点P引椭圆的两条切线PA、PB,切 点分别为A、B,则切点弦AB被直线OP平分,且 直线AB和OP的斜率之积为定值-(b2)/(a2).     

二次曲线的切点弦的性质

<正>从点P作二次曲线C的两条切线,切点分别是A,B,称线段AB为点P对曲线C的切点弦.本节在建立切点弦所在直线方程的基础上,研究有关切点弦的性质.一、切点弦方程     

简证一道联赛题

题如图1,已知等腰三角形△ABC中,AB=AC,∠C的平分线与AB边交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I工与BC边的切点,作MD／／AC,交⊙I于点D．证明：PD是⊙I的切线．     

可用勾股定理证明的几个平几定理

勾股定理是一个古老而又重要的几何定理 ,它在几何计算及证明中有着广泛的应用。本文将用勾股定理证明平面几何中的几个重要定理、公式 ,供参考。一、证明切割线定理已知 :点 P是⊙ O外一点 ,PT是切线 ,T是切点 ,PB是割线 ,点 A、B是它与⊙O的交点 (如图 1)。图 1求证 :PT2 =PA· PB。证明 :连结 OT、OP、OA,过点 O作 OC⊥ AB于 C。因 PT是⊙ O的切线 ,故OT⊥ PT。由勾股定理可得 :PT2 =PO2 - OT 2=PC2 OC2 - OA2 (因 OA=OT )=PC2 - AC2=( PC- AC) ( PC AC)=PA( PC CB)=PA· PB。图 2二、证明帕普斯 ( Pappu…     

一道平几例题在解题教学中的作用

九年义务教育新教材《几何》第三册第44页有这样一道例题:已知,⊙O_1和⊙O_2外切于点A,BC是⊙O_1和⊙O_2的公切线,B,C为切点。求证:AB⊥AC。这是一道直线与圆及圆与圆的位置关系的综合题,目的是复习与巩固上述位置关系的知识点。近年来,许多中考题就是由此题演变而成的。笔者认为,教师在课堂教学中抓住这种典型问     

抛物线的切点弦方程及其应用

从抛物线y~2=2px外一点p(x_0,y_0)、向抛物线引两条切线,切点为A,B,则线段AB称为p点的切点弦、切点弦AB的方程是yy_0=p(x+x_0),证明如下: 设切点A、B坐标分别为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则PA、PB方程分别为:     

一道初中数学联赛平几题证法的探究

2010年全国初中数学联赛平面几何题为： 如图1,已知等腰三角形△ABC中,AB=AC,∠C的平分线与AB边交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD／／AC,交⊙I于点D,证明：PD是⊙I的切线．     

一道中考试题的解法探究

<正>题目(2013南京)如图1,AD是⊙O的切线,切点为A,AB是⊙O的弦,过点B作BC∥AD,交⊙O于点C,连结AC,过点C作CD∥AB,交AD于点D.连结AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且∠BCP=∠ACD.(1)判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AB=9,BC=6,求PC的长.     

一道几何题的若干变化

题目:如图1,已知在☉O中延长两弦AB、CD相交于圆外一点P,过P作PE∥AD与CB的延长线交于E点,过E点作☉O的切线ET,切点为T,求证:PE=ET.     

一个图形中的三个类似结论

圆外切四边形ABCD中,AB、BC、CD、DA边上的切点分别为P、Q、R、S。AB与DC延长线相交于点E,AD与BC延长线相交于点F。     

数学问题与解答

1985年第5期问题解答 81.在圆内接凸四边形ABCD中,⊙O_1、⊙O_2、⊙O_8、⊙O_4分别是△ABD、△BCA、△CDB、△DAC的内切圆.设AB、BC、CD、DA上的切点依次是E、F,M、N,G、H,P、Q.求证: (1)EF=GH,MN=PQ; (2)EF·MN=R_1R_3+R_2R_4(R_1是⊙O_i的半径).     

数学奥林匹克问题

初23.已知CD为Rt△ABC斜边AB上的高,⊙O_1和⊙O_2分别为△ADC,△BDC内切圆,AC切⊙O_1于点P,BC切⊙O_2于点Q,AO_1,B0_2交于点O,OM⊥O_1O_2于点M。求证:∠O_1PM ∠O_2QN=45°。