错在哪里

题:已知两条直线l_1:x+(1+m)y=2-m,l_2:2mx+4y=-16。(1)当m为何值时,l_1与l_2相交;(2)求直线l_1和l_2交点的轨迹。解 (1)将两直线的方程组成方程组 x+(1+m)y=2-m 2mx+4y=-16 这时 A_1/A_2=1/2m,B_1/B_2=1+m/4。当A_1/A_2≠B_1/B_2 解得m≠1或m≠-2 (2)将两直线的方程组成方程组,消去参数m,得:x~2+xy-2y~2-2x-10y-8=0 即(x-y-4)(x+2y+2)=0     

对一道例题解法的商榷——兼谈平面上两条直线位置关系的判定

我们认为,高级中学《解析几何》课本(甲)第47页例2的解法有不妥之处,为了便于说明问题,现将题目及解法抄录如下。例2 已知两条直线: l_1:x+my+6=0 l_2:(m-2)x+3y+2m=0当m为何值时,l_1与l_2(i)相交;(ii)平行;(iii)重合。解:将两直线的方程组成方程组 x+my+6=0 (m-2)x+3g+3m=0这时,A_1/A~2=1/(m-2),B_1/B_2=m/3,C_1/C_2=6/2m.当     

错在哪里

1.浙江临海市杜桥中学叶明淮来稿(邮编:317016)题:已知x~2+y~2≤1,x、y ∈R。求证:3≤|x+y|+|y+1|+|2y-x-4|≤7。证明:如图, 设l_1:x+y=0,l_2:y+1=0,l_3:2y-x-4=0,而点(x,y)满足x~2+y~2≤1,可知l_2≥0,l_3〈0。当x+y≥0时,u=x+y+y+1-     

求与两条平行直线平行的直线方程的简便方法

我们知道,若两条平行直线的方程为,l_1:ax+by+c_1=0,l_2:ax+by+c_2=0(c_1≠c_2)则ax+by+c_1+λ(ax+by+c_2)=0(λ≠0,λ≠-1)是与l_1、l_2都平行的直线l_3的方程。设M(x_0,y_0)是l_3上任一点,那么ax_0+by_0+c_1+λ(ax_0+by_0+c_2)=0(?)λ=-((ax_0+by_0+c_1)/(ax_0+by_0+c_2)) (1)因此|λ|表示l_3到l_1的距离与l_3到l_2的距离之比。当λ>0时,从(1)知(ax_0+by_0+c_1)/(ax_0+by_0+c_2)<0,这时,l_3介于l_2、l_3之间;当λ<0时,由(1)知,(ax_0+by_0+c_1)/(ax_0+by_0+c_2)>0,这时,l_3位于l_1、l_2之外。这样,我们推出下列有用的结论。定理:若两条平行直线l_1:ax+by+c_1=0,l_2:ax+by+c_2=0(c_1≠c_2),则到l_1的距离与到l_2的距离之比为|λ|的直线l_3的方程为ax+by+c_1+λ(ax+     

提高教学有效性的若干思考

<正>提高数学教学的有效性,涉及的方面很多.笔者就以下几点谈一些自己的思考.一、教师个人良好的素质是实施有效教学的根本和源头例1(苏教版必修2第84页思考题)已知直线l_1:x+y+1=0,l_2:x-2y+4=0,那么方程x+y+1+λ(x-2y+4)=0(λ为任意实数)表示的直线有什么特点?过去遇到这个问题,一般都是直接给出答案:该方程表示经过l_1与l_2交点(-2,1)的     

一个坐标平移公式及其应用

设l_1:Ax+By+c=0,l_2:Bx-Ay+d=0,则以l_1为x″轴,l_2为y″轴的坐标变换公式是: x″=Bx-Ay+d/A~2+B~2,或y″=Ax+By+c/(A~2+B~2)~(1/2)x=Ay″+Bx″+c/(A~2+B~2)-(A c/(A~2+B~2)+B d/(A~2+B~2)+c)/(A~2+B~2)~(1/2),y=By″-Ax″+d/(A~2+B~2)~(1/2)-(B c/(A~2+B~2)-A d/(A~2+B~2)+d)/(A~2+B~2)~(1/2)便于记忆,设f(x,y)=Ax+By+c/(A~2+B~2)~(1/2),g(x,y)=Bx+Ay+d/(A~2+B~2)~(1/2),则坐标变换公式是:x″=y(x,y),或y″=f(x,y)     

一道竞赛题的推广及简证

文 [1]用函数性质证明了第 31届西班牙数学奥林匹克第 31题 :如果 (x+x2 +1) (y+y2 +1) =1,那么 x+y=0 .该题可作如下的推广 :如果 (x+x2 +m) (y+y2 +m) =m,其中 m∈ (0 ,+∞ ) ,那么 x+y=0 .下面用构造法给出简证 .思路 1——构造对偶式证明 1　由已知 ,m>0 ,(x+x2 +m ) (y+y2 +m) =m,1令 (x- x2 +m) (y- y2 +m) =n,21× 2得 (- m) (- m) =mn,∴ n=m,即有 (x- x2 +m) (y- y2 +m) =m.3由 1得 x+x2 +m=my+y2 +m=- (y- y2 +m) . 4由 3得 x - x2 +m =my- y2 +m=- (y+y2 +m) . 54 +5得 2 x=- 2 y,∴x+y=0 .思路 2——构造等比数列证明 2　 m >0 …     

对解析几何中一道例题的一点意见

六年制重点中学高中数学课本解析几何(平面)P.47例2原题如下: 已知两条直线; l_1:x my 6=0, l_2:(m-z)x 3y-2m=0。当m为何值时,l_1与l_2(ⅰ)相交;(ⅱ)平行;(ⅲ)重合。解:将两直线的方程组成方程组这时,A1/A2=1/m-2,B_1/B_2=m/3,C_1/C_2=6/2m。当A_1/A_2=B_1/B_2时,1/m-2=m/3。(1)     

30分钟“智力自测”

1.已知:关于x的方程3二一1~o的解与sx+2一O相同,则a则(2,若x一2 5的相反数的倒数是一3,则x一3.若关于x的方程m(x一m)+n(x+动~o有无穷多个解,(A)m一n一O,(B,m+n一。‘C,臀=0(D)”扮理一0方程}鲁阵1的解是 fQ}.若粤。2‘二‘。5与一4a“。3犷 [是同类项,则2 001十丫一 6.若m是负整数且Zx一1活O,则关于x的方程!Zx一1}一m一2一O的解是x- 7.若二(5x+1)一b(3尹十1)一。是关于x的一元一次方程,且x有惟一解,则x~ 8.已知(l kl一1)扩一(k+l)x+6一0是关于x的一元一次方程,求代数式200(Zk十工)(x一k)十2j走!的值. ,.关于x的方程(2一b)(二一1)一O的…     

浅谈学生问题意识的培养

<正>一、问题的提出学习了高中数学选修4-4"极坐标与参数方程"之后,年级进行了一次周考,其中的一道填空题如下:过点P(4,3)的直线l_1的参数方程为x=4+6/13^(1/2)t,y=3+4/13(1/2)t,y=3+4/13^(1/2)t(t为参数),l_1与直线l_2:x+y-2=0的交点为Q,求|PQ|.测试结果是全年级96.8%的答案是13(1/2)t(t为参数),l_1与直线l_2:x+y-2=0的交点为Q,求|PQ|.测试结果是全年级96.8%的答案是13^(1/2)2,正确作答的不到4%.调查走访学生,回     

一元二次方程题型全貌

一◆一、概念题1.一元二次方程(m-1)x2-3x-2=0 ,其中二次项为,二次项系数为,一次项为_______,一次项系数为,常数项为.(我们首先要做的事情是确定m-1≠0,即m≠1)2.关于x的方程mx2 - nx - mx + nx2 = p,(m+n≠0)可整理为,则二次项为,一次项为,常数项为.而二次项系数为,一次项系数为.3.AB=0圳A = 0或B = 0.请用语言表达其含义:.4.不解方程,判断下列方程实根的个数①x(x-1)+3=0,②x2 - 22姨x+2=0,③23x2- 6=2x.5.一元二次方程2x2 - 3x + 4 = 0,两个根分x1x2 = .◆二、基础题6.用4种不同的方法解方程(x - 2)2 - 4(x +7.…     

直线和圆的方程典例解析

例1已知三条直线l_1:2x-y a=0(a>0),l_2:4x-2y-1=0和l_3:x y-1=0,且l_1与l_2的距离是7/(10)5~(1/2) (1)求a的值;     

用判别式解题不可忽视隐含条件

[题目]若关于x的方程2x+1√=x+m有两个不同的实数根,求实数m的取值范围.错解一:将方程两边同时平方,得x2+(2m-2)x+m2-1=0.∵方程有两个不同的实数根,∴△=(2m-2)2-4(m2-1)>0,即m<1.分析:此解法出错的原因是,思路停留在套用公式上,而完全忽视了题目给出的隐含条件.错解二:将方程两边同时平方,得x2+(2m-2)x+m2-1=0.∵2x+1≥0,即x≥-12,设f(x)=x2+(2m-2)x+m2-1,则△>0,f(-12≥0 解得m<1.分析:错解二的思路是正确的,但却忽视了题目给出的另一个隐含条件x+m≥0.所以,本题的正确答案应是:12≤m<1.一般地,在判断形如ax2+bx+c=0,x∈(t1,t2)的二次…     

解决二次根式问题中的数学思想

数学思想是解决数学问题的金钥匙,在解决二次根式的有关问题时,常用到如下几种数学思想: 一、方程思想 例1已知实数x、y、m满足√x+2+|3x+y+m|=0,且y为负数,则m的取值范围是(). (A)m＞6 (B)m＜6(C)m＞-6 (D) m＜-6 解析:由二次根式、绝对值的非负性,结合非负数的性质可知,√x+2=0,|3x+y+m|=0. 即｛x+2=0,3x+y+m=0. 解得｛x=-2,y=6-m. 因为y为负数,则有6-m＜0,解得m＞6. 故答案选A. 二、类比思想 例2(1)计算√8-3√1/2+√2=——; (2)计算4√1/2+3√1/3-√8的结果是().     

一个对数不等式的新证法

对于不等式109:(x+1))109二十,(x+2)(x>1)笔者考虑了一种较别致的证法,现介绍如下: 证明:设p=109二(x+l)(x>l) q=109二,:(x+2)(x>1)由对数性质知P>lq>1且 x,=x+1(x+1).=x+2两式相减得(x十l)叮一护=1① 假设P(口,则(x+1)一x户)(x+1),一x,二二,「(;+生丫一门 L\X/J>x,(;十立一1、 、X/=x,一’。P>1(贝努里不等式)(因x>l,P>1)和式①矛盾,故P>q。即109二(x+l)>109二干:(x+2)。证毕 我们指出,此证法尚具有一般性。 (下转37页)(上接43页)对于上述不等式的推广形式类似地可证.试证109,(y+a)夕109,(x+占) 由于a)石)0,故(乡+e)一夕,簇c, 假设P成q…     

数学练习题选(一)

一、设x>o,少>0,z>0,解方程(x+i)(,+2)(z+s)= 解:i)由于(、/万一、/万~)“)0,(a>0,b》0) :.a子b)2了丽.(当且仅当a=b时取等号) 2)利用上之公式,有x+1》2了下,(1) ,+2》2、/丽,(2) ‘+8>2了筋.‘3)(1),戈2),(3)中分别当且仅当x=1,,=2,名二8时取等号甲由(i),(2),(s)相乘得(x+i)(,+2)(:+8)》32了百万.故方程的解为:x二1,,=2,:=8.32了x,之。拜二、在x轴上任取三点X,(xl,o).XZ(xZ,o),X3(x3,o),在,轴上也任取三点YI(o,,一),YZ(0,,:),Y3(。,,s).设XIYZ,XZYz交于A3比5.刀3),XZY3,于AZ(七2,,2),求证Al,AZ,A3三点共线。X3YZ交于人曲l,”l)…     

平面内的点到直线距离公式的应用例析

<正>在平面内,已知点P(x_0,y_0),直线l:Ax+By+C=0,则点P到直线l的距离公式d=|Ax-By+C|/(A²+B2+B²)2)^(1/2)。解析几何中的轨迹问题、最值问题、曲线与直线的位置关系等都与点到直线的距离有关。因此,应用点到直线的距离公式能够解决许多重要问题。一、求轨迹方程例1求两条直线l_1:3x+4y+1=0,l_2:5x+12y-1=0的交角平分线方程。     

对中点坐标公式的等价性思考

<正>解析几何中经常出现与中点坐标公式有关的问题.奇怪的是,在三点共线的前提下运用中点横坐标公式,与运用中点纵坐标公式有时得出的结果不一样,这是为什么呢?一、案例呈现例1 过点P(0,1)作直线l与直线l_1:2x+y-8=0和l_2:x-3y+10=0分别交于A、B两点,线段AB的中点为P,求直线l的方程.解法1 (1)若直线l的斜率不存在,则l的方程为x=0,与l_1\,l_2的方程联立方程组,可     

关于倾斜角为α=kπ/4的直线对称的曲线方程

倾斜角为a=(kπ)/4的直线有四条l_1:x=a,l_2:y=b,l_3:x y-b=0,l_4:x-y b=0. 设(x_0,y_0)关于直线Ax By C=0的对称点为(x′,y′).应用对称点坐标公式可分别求得关于l_1-l_4的对称点坐标:     

一道作业题引发的思考

<正>一、解析一道作业题不久前笔者在教学"直线与方程"一章时布置了一道作业题:已知直线l_1:ax-by+4=0与直线l_2:(a-1)x+y+b=0平行,且原点到两直线的距离相等,求实数a,b的值.批改时发现有十多位学生不会做,第二天课堂上笔者及时作了评讲,主要过程如下:因为l_1∥l_2,所以