关于代数变换体系f（ra,rb,rc）=f（x,y,z）及三角形不等式链

本文建立三角形各元素关于旁切圆半径ｒａ=ｘ ,ｒｂ=ｙ ,ｒｃ=ｚ的变换体系 ,即 ｆ(ｒａ,ｒｂ,ｒｃ) =ｆ(ｘ ,ｙ ,ｚ) ,将三角形不等式化为只含ｘ ,ｙ ,ｚ的代数不等式 ,利用代数化的证明 ,建立并推证一系列新的三角形不等式链 .1　三角形各元素代数变换体系引理　记△ＡＢＣ各元素 :三边ａ、ｂ、ｃ ,半周长ｓ,面积Ｓ△ ,外接圆半径Ｒ ,内切圆半径ｒ ,旁切圆半径ｒａ、ｒｂ、ｒｃ,高ｈａ、ｈｂ、ｈｃ,中线ｍａ、ｍｂ、ｍｃ,角平分线ｔａ、ｔｂ、ｔｃ.令　ｒａ=ｘ、ｒｂ=ｙ、ｒｃ=ｚ ,则　ａ =ｘ( ｙ ｚ)∑ｙｚ ,ｓ =∑ｙｚ ,Ｓ△ =∏ｘ∑ｙ…     

代数变换体系f(r_a,r_b,r_c)=f(x,y,z)导出sum(bc/h_a~2)≥4的不等式链

文[1] 介绍了涉及三角形高线的不等式 :ｒ(5Ｒ-ｒ)Ｒ2 ≤ ｈ2 ａｂｃ ｈ2 ｂｃａ ｈ2 ｃａｂ ≤ (Ｒ ｒ) 2Ｒ2 ①文[2 ] 在①的基础上 ,建立的如下不等式 :ｂｃｈ2 ａ ｃａｈ2 ｂ ａｂｈ2 ｃ≥ 4②文[3 ] 建立了比②更强的如下不等式 :ｂｃｔ2 ａ ｃａｔ2 ｂ ａｂｔ2 ｃ≥ 4③　　本文提出如下涉及ｈａ,ｈｂ,ｈｃ 的不等式链 :　　 ｂｃｒ2 ａ≥ 2Ｒｒ = ｂｃｈ2 ａ≥ Ｒｒ 2= ｂｃｔ2 ａ≥ ｂｃｒｂｒｃ ≥4, ｂｃｍ2 ａ④而这一不等式④只须巧用三角形中诸元素的代数变换体系ｆ(ｒａ,ｒｂ,ｒｃ) =ｆ(ｘ,ｙ,ｚ)简证之 .1　三角形诸元素…     

三角形三边不等式的代数变换f(a,b,c)=f(y+z,z+x,x+y)

关于△ABC三边a、b、c的不等式证明，文已给出了若干证明方法．其中，文建立了代数变换：f（s-a，s-b，s-c）=f（x，y，z）；文建立了代数变换：f（ra，rb，rc）=f（x，y，z）（其中半周长s=a＋b＋c/2；ra，rb，rc分别为△ABC的旁切圆半径）．但是，对于一类“轮换对称不等式”，以上方法显得力不从心．本文将文的代数变换：f（s-a，s-b，s-c）=f（x，y，z），改造为代数变换：f（a，b，c）=f（y＋z，z＋x，x＋y），导出了两个漂亮的定理，找到了△ABC三边a、b、c的不等式（包括非完全对称的“轮换对称不等式”）的证明妙法．     

利用整体思想解决min{f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z)}及max{f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z)}型函数的最值

函数类型多种多样,函数最值的求法也多种多样,在竞赛中经常遇到这种min{f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z)}、max{f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z)}函数,以后称为镶嵌函数.若是一元镶嵌函数的最值,可以利用数形结合的方法解决(本文略),但二元镶嵌函数、三元镶嵌函数的最值就无法用数形结合的方法解决了.对二元镶嵌函数、三元镶嵌函数的最值,在探索时不能孤立地研究每一个函数,而需要同时整体研究二个或三个函数,因而解决此类问题宜采用整体思想,本文将举例说明之.     

不等式(x y)/2≥xy~(1/2)的推广

命题:a,b,u,v>0,a b=1,s,t是实数,则不等式au~s bv~i≥u~(as)·v~(bt)成立。略证:u~s,v~t>0,由对称性不妨设,x=(?)≥1,在[1,x]上对函数f(x)=x~a应用中值定理得不等式x~a-1≤(x-1)a(当u~s=v~t时取等号),将x=u~s/v~t代入不等式,整理并注意1-a=b即得证。推论:a,b,u,v>0,a b=1,贝au bu≥u~av~b易见不等式(x y)/2≥xy~(1/2)是该推论的特款。     

求函数f(x,y)=x~2 y~2在条件x y=1下最小值的方法及其推广

求函数f(x,y)=x~2 y~2在条件x y=1下的最小值,通常有如下几种解法: 解法一 应用一元函数的配方法 由条件x十y=1,得y=1—x,将其代入f(x,y)=x~2 y~2,得到一元函数 f(x)=x~2 (1—x)~2=2x~2-2x 1=2(x-1/2)~2 1/2(1)因为(x-1/2)~2≥0,故由(1)式知,当x=1/2时,函数f(x)取最小值。将x=1/2代入y-1—x,得y=1/2。因此,当x=1/2,y=1/2时,函数f(x,y)-x~2 y~2在条件x y=1下取最小值(1/2)~2     

∑a/r_a≥2 3~(1/2)的再加强及变换

文[1]建立了如下一个几何不等式: 设△ABC的三边长分别为a、b、c,旁切圆半径分别为r_a、r_b、r_c。则     

函数f(x)=ax+b/x(a,b∈R~+)教学设计

以江苏省丰县中学学生为教学对象,以函数f(x)=ax+b/x(a,b∈R+),为上课内容,进行了一节教学设计.分别从教学目标;教学任务;学习者;教学策略;教学过程;反思评价等六个方面对这节课进行了详细的预设分析解读,期望对课堂教学提供帮助.     

应用不等式n∑i=1x2i≥1/n(n∑i=1xi)2解竞赛题

定理设n≥2,xi∈R(i=1,2,…,n),则有n∑i=1x2i≥1/n(n∑i=1xi)2,且在诸xin全相等时才取等号.     

函数f(x)=ax+b/x(a,b∈R)的性质及应用

一、函数f(x)=ax b/x(a,b∈R)的性质 1.当a=b=0时,f(x)=0(x≠0)是常数函数,既是奇函数又是偶函数,其图象是x轴(不包括原点). 2.当b=0,a≠0时,f(x)=ax(x≠0)是一次函数且是奇函数,其图象是一条直线(不包括原点).     

函数f(x)=ax (b/x)(a,b∈R)的性质及应用

一、函数f(x) =ax bx(a ,b∈R)的性质1.当a =b =0时 ,f(x) =0 (x≠ 0 )是常数函数 ,既是奇函数又是偶函数 ,其图象是x轴 (不包括原点 ) .2 .当b =0 ,a≠ 0时 ,f(x) =ax(x≠ 0 )是一次函数且是奇函数 ,其图象是一条直线 (不包括原点 ) .3.当a =0 ,b≠ 0时 ,f(x) =bx(x≠ 0 )是反比例函数且是奇函数 ,其图象是双曲线 .4 .当a≠ 0 ,b≠ 0时 :(1)当a >0 ,b <0时 ,f(x) =ax bx(x≠ 0 )是奇函数且在区间 (-∞ ,0 )和 (0 , ∞ )上是增函数 .(2 )当a <0 ,b >0时 ,f(x) =ax bx(x≠ 0 )是奇函数且在区间 (-∞ ,0 )和 (0 , ∞ )上是减函数 .(3)当a …     

方程(x/a)~(1/2)+(y/b)~(1/2)=1的讨论

众所测方程周知,方程二告+y告子于+了十一,,二。于(。>。)表示的曲线,是抛物线的一段.据此,可推a>O,b>0)(1)也表示抛物线的一段.好共+存十1>。,故方程川黝于(摇+了哥一1卜(再+了哥,)一”,又形变为2了翼一卜普一誉.两端平方(由于2丫器+(卜含一誉,-卜(了含一了韵’>。,它又等价于/~20~‘J1兰了一一黑芝{了二罗戈U畏尧;x乓之a.夕2_Zx_2夕山,一n节广.一;,万-—一—-一万-吕1—U D“aD(2)利用二元二次方程的不变量,0(封《b 可判断出(2)表示一条抛物线的一段.事实上,二联、。,由此可见(2)表示抛 a~V一1一ar一bl 一一1一abl一护1一b 一一1了1一…     

函数f(x)=ax~2 b/x(a>0,b>0)单调性的应用

本文以定理形式给出函数f(x)=ax~2 b/x(a>0,b>0)的单调性。     

函数f(x)=ax b/x(a,b为常数且ab≠0)的图象和性质

在高中函数教学中 ,笔者常遇到如下的命题 :函数 ｆ(ｘ) =ｘ 3ｘ(ｘ >0 )的单调增区间为 [3 , ∞ ) ,单调减区间为 (0 ,3 ) .(注 :它是一个真命题 ,证明过程略 )这个结论告诉了我们 ,函数 ｆ(ｘ) =ｘ 3ｘ(ｘ≠0 )在第一象限的图象为图 1 .显然 ,ｆ(ｘ) =ｘ 3ｘ(ｘ≠ 0 )在其定义域 (-∞ ,0 )∪ (0 , ∞ )内为奇函数 ,所以 ｆ(ｘ) =ｘ 3ｘ(ｘ≠ 0 )的图象位于第一、三象限内 ,且这两支关于原点成中心对称 (图 2 ) ,右上支很像教师阅卷时画的“对勾” ,所以 ,为便于称呼 ,我们不妨俗称形如图 2的为“对勾与反对勾”图象 .从图 2我们知道 ,…     

方程a(y)x~2 b(y)x c(3f)=0有非负实根的条件及其在求函数值域中的应用

一引言 判别式法求函数的值域时,可以归结为方程 a勿)妙 b(。)二 c(,)二0(l)有实数根的讨论.其中a(g),b(,).e印)均为口的实值函数。显然有 定理一:方程(1)在R上有实根的充要条件是 ,rra(刃斗O了 g以梦:之,二’、‘一_,、;、、_卜 ’、走”脚(梦)一4a(夕)c(的>OJ.,f扣(价二0 1.;     

微分方程(dy/dx)=f(x,y)解的基本定理中体现的数学精神、思想和方法

通过对微分方程(dy/dx)=f(x,y)解的存在唯一定理的证明过程的分析,探求其中的数学精神、思想和方法。对于数学的教学和学习具有很好的借鉴意义。     

巧用判别式求三元函数 f(x,y,z)=(axy bxz cyz)/(k_1x~2 k_2y~2 k_yz~2)的值域

利用判别式研究函数的值域是一种常用的数学方法,若恰当地利用它.可以使得一些问题得到较为方便的解决.本文通过一例介绍如何利用判别式求三元函数