一个不等式推广问题的研讨

文[1]给出了如下: 定理1设a、b、c为正实数,l、m、n是不全为零的非负实数,则有 2aabcabc++l+m+nl+m+n, (1) 其中表示对a 、b、c的循环和,等号当且仅当abc==或0,0lm=n=时成立. 文[2]将定理1推广为: 定理2 设a、b、c为正实数, l、m、n是不全为零的非负实数,2m,则有 213()mmmaabcabc--++l+m+nl+m+n,(2) 其中表示对a、b、c的循环和,当m>2时,等号当且仅当abc==时成立;当m=2时,等号当且仅当abc==或0,l筸=n0=时成立.. 本文从项数方面入手,将定理2推广为: 定理3 设1,2,,nxxxL为正实数,12,,ll ,nlL是不全为零的非负实数,2m,则有 11122mnnxxxx…     

每期一题

皿设a、b为正常数,x、y为正变数,且号+夸一,,求二+,的最”、值·这时y=b+了石石,(x+刃.‘=a+b+22丽. 解法5(利用柯西不等式)首先,由。、。、二、,>。及粤+李一 孟J 、,。.b、,一厅.沮x十y=吸x十y八万十丁J一L了x’心了十.,汤少,满x>a,y>b,下面解题在用到这个条件时,不再另行说明。 解法l(利用真分式代换法)二·褥):一+“+2“·令 a 一二二 X 九从+月(二.,二>0),则x+少= 拼bm+n’丁a(m+n) 脚.b(脚十n)卞一一万-一=a宁。宁,a”.b拼气—十—”扭月)》a+吞+2而石. 当且仅当X/圣一y/今,即二一+荡,夕=石+石石时,(x+少)‘=。+石+2杯丽. 解法6(利…     

一个条件不等式的简捷证明与应用

如果为6,L,,3,…,幻为实数,恤机 .二十二。=艺沁一拼,x, 二: … x;二习、)手故当劣=双=例2,。 1二二一1=,一1=含 l‘冬即如二二二3时,“极小,工2.龙我方程组:_.__.1.浅十,宁百个含一,2那么 亩二l(n~2,3,4,…,),妙十92十当且“当为一价-一、一令时取一”号叻 对(A)有不同的证怯,     

一个不等式推广问题的再研讨

文〔1」将一个不等式推广为:定理1设ai>0(i=1,2,…,n),n弟“,m任N’,且“二谷ai,则有 .一刀名,._.竺,肠亡I,址气_- 、,__~_、’~,,‘一J‘J“‘石一二弓,‘J“i云留l口一“i林一11吕l本文中“〕”的等号成立均当且仅当al二‘”二a。·以下略,(1)=口2 记“‘“二愈a‘:,文〔“〕又给出了不等式(l)的一个指数推广: 定理2设al,aZ,…,a。(n办2),尸皆为正实数,则对任意非负实数q,有S(。)占a产宁q宁q)ZJ二万.下一~-甲罗仑一月一~一万‘=进万‘F,一alJ,一n一l 文〔3〕将不等式(l)推广为: 定理3设ai>o(i=1,2,…2,m、keN书,且m·>k,L ‘54, (2)…     

应用等比定理要注意条件

等比定理“b/a=c/d=…=m/n(?)(a c … m)/(b d … n)=a/b”是平几里成比例的线段一节的定理。其中字母 a、b、c、d、…m、n 都表示线段,属正实数,和式“a c … m”与“b d … n”也表示线段,亦为正实数。如果我们将定理中各元素所属范围加以扩充,不难证明:当 a、b、c、d、…m、n 及 a c … m,b d … n 均为非零实数时,定理依然成立。这样,定理便可广泛应     

91年日本高考数学试题及解答

一、(35分) 1.从如下八一D中选择适当的答案,填在以下各题的()中。 (i)对于实数二、万,由于xs=刀,,故、2=岁,.() (2)对于实数x,由于(x一3)(x一2)(x 2)>0,故2、2一4x 1<0.() (3)因△A刀C是锐角三角形,故eosAeosBeosC)0.() (4)m和n为自然数,因二月一n和二:都是5的倍数,故1il和:都     

构造和积式速解竞赛题

定理若实数x1、x2、m、n满足:x1+x2=m①x1x2=n②则:(I)x1,2=1/2 (I)m2-4n≥0,当且仅当x1=x2时取等号.     

一不等式的推广及其应用一例

我们知道,对于二实数a、b有不等式: ab≤(a+b/2)~2 (1)成立,当且仅当a=b时取“=”。不仅如此,我们还可以把它推广到一类特殊复数的情形。定理:对于形如:Z_1=m+ni, Z_2=-m+ni(m、n为实数)的两个复数(明显     

用柯西不等式证明一类分式不等式

设a、、占、(i=z,2,3,…,n)为任意实数,则(a子十。圣 一 武)(峨 砖一十此))(。1占l aZ占: … an占,)2,式中等号当且仅当 证:拱=罕=…=努时成立,这就是著名的柯西不bl如b,’‘一’一’‘一一‘一一一”‘一·所以例3 二圣1一xl二成立,故原不等式成立.设二1·二2··…二,〔R十,且i哥二、一‘,求 二圣1一xZ 2 J”、1十丁一一一二多,一万 1一工”n一1等式,应用甚广. 文〔1」用等号成立条件法,给出了一类分式不等式的巧妙证明,现就该文中各例,通过添配适当的因式,运用大家熟悉的柯西不等式证之,以资比较. 例1设a,b,。都是正数,证明: (《数学通…     

掌握变形 快速解题

运用一元二次方程根与系数的关系解题时,常用到以下变形:,.二:,二:维.、扩一Zx .xZ;2.(x,一扩乖:+x扩一4x.年里*1_=兰竺2;4.x一xZx一%2(x.+x护一2x,乓 xlxZ掌握这些变形,可以迅速解题.例1如果,】儿是方程2x2一4x十l=0的两个根,那么五+玉的值为(尤2 xlB .3C .4 D.6解·,一2,一二x t xZ一一十一xZ xl卜.+x护一2x丙x rxZ2:一2、--l____里=6.故选几 l 例2已知关于二的方程二’+2(m一2卜十m,+4=0有两个实数根,并且这两个乏的平方和比两个根的积大21,求m的值.解…方程有两个实数根,…△=〔2(m一2)」一礴(m+4)〕0.整理并解得m感住设二二2为方稼…     

巧用换元法 解题建奇功

一、代数增量换元例1 若a>b>c求证:(1/(a-b))+(1/(b-c))≥(4/(a-c)) 分析:若各字母间有明确的大小关系,可设它们的差为一个数,从而把实数问题转化为正实数问题. 证明:设a-b=m,b-c=n(m、n∈R),则a-c=m+n. 问题转化为证明:1/m+1/n≥4/(m+n).     

1997年高中联赛两试题的解法探索

1.1997年联赛二试第二题试问:当且仅当实数X_0,X_1,….x_n(n≥2)满足什么条件时,存在实数y_0,y_1,…,y_n使得Z_0~2=Z_1~2 Z_2~2 … Z_n~2 ①成立,其中z_k=x_k iy_k,i为虚数单位,k=0,1,…,n,证明你的结论.解 当且仅当实数x_0,x_1,…,x_n(n≥2)满足x_0=0条件时,存在实数y_0,y_1,…,y_n使得Z卜Z卜Z打一十ZS O成立.     

1989年上海市高一、高二数学竞赛试题

高 2.分解因式:(x夕 1)(x 1)(刀 i)十x寿毛~——一 2。P是圆O的直径AB的延长线土_一点,PC是圆O的切线.C为切点,若尸B=勺PC二a十西,则tgA二_____________. 3。边长为a的正方形中一点P,若△PBC为正三角形,则△PBD的面积是_. J。。,b为正实数夕方程x“十。x十Zb二O和x“十2乙x十a=0都有实相,则a 否的最小值是__.的木原毕达哥拉斯三角形,因而认为是同一个本原毕达哥拉斯三角形). 以巧为一边的本原毕达哥拉斯三角形有 _个. 11.设:为自然数,若31。(它表示:能被3整除),且i引(n”一,,),则:除以1弓的所有可能的余数:(0〔:<15)是_. 12.甲夕乙…     

正多边形的又一性质

定理设P为正n边形A沐:…且n外接圆 尹户、、的圆弧A;A。上任一点.则PA,十PAI十,,_一一一二二二气二一一一一一一二2 C05 厂月1+J].180’ n(:,]-=1,2,…,i+Zj镇n) 证明如圈,延长pA,+ZJ至K,使月,十2 JK=PA,.连接A;A,、j,A、、j\ 一 ︸ 一 一测︵以A,、Zj,Al十:K洲口.、A iA**J=jX二A,+JA、十2 J.故A,Ai+j=A,+zA、+ZJ.又匕A‘+JA;十:,K=/A,十JA,P(圆内接四边形的一个外角等于内对角), △A飞十jA、十2 jK丝△A,十JA、p, A、十。K“A、+,P. 作A卜、jH土pK于H,贝”“H一H‘=告尸‘,PA、十PAi十Zj PA,*j _PK_ZPH P…     

有奖解题擂台(117)

<正>题设:x_i为正实数(i=1,2,…,n),且x_1x_2…x_n=1,n∈N,n>3,m是实数,则当m≥n-2或m≤-n+1时,有sum from i=1 to n x_i^m/((1+x_1)…(1+x_(i-1)(1+x_(i+1)…(1+x_n))≥n/2m/((1+x_1)…(1+x_(i-1)(1+x_(i+1)…(1+x_n))≥n/2^(n-1).第一位正确解答者将获得奖金100元.     

分解因式一法

当m-十x十l。n不是3的倍数的正整数,m>n,且m与n之和是3的倍数时,则代数式xm+x”十]必有因式x“.二这是一个分解因式的方法,现证明如下。设f(劝二xm+xn+1,要证xZ十x+1是f(x)的一个因式,只需证明x,,2=一1土亿 2多1是方程f(劣)的根。由于卫主了互左一cos夸物l7n粤·“了“!,2,=(co,夸“sin争)+(co,兰二:i:in卫卫一、n+i 、33,cos竺性干1 sin 3旦塑些 3十COS4拄派3干isin些丝丝 3=2‘l,S鲤望竺卫王.cos~些竺二竺二』王 66油in生些竺竺生cos土业生少王+1令m+n二3k(左=1,2,3,…),由于m>n,m和n均不是3的倍数,所以m一n=3艇1,_~,,、~__‘~‘___/。…     

一个不等式猜想的证明

文[1]给出了如下不等式: 设,,abc为正实数,l、m、g是不全为零的非负实数,则 2aabcabclmglmg++宄++++, 其中表示,,abc的循环和,当且仅当abc==或0l,0mg==时成立. 文[2]将其推广为: 设12,,,nxxxL为正实数,12,,,nlllL是不全为零的非负实数,2m,则 11122mnnxxxxlll+++L 211212()mmnnnxxxlll--++++++LL. 其中表示对12,,,nxxxL的循环和. 文[2]还指出:当2m>时,上述不等式中等号成立当且仅当12nxxx===L,并猜想:当2m=时,当且仅当12nxxx===L或10,l 230nlll====L等号成立. 本文将给出文[2]中不等式的均值证法,并由此证明该文所提出的猜想. 1 当2m=时,…     

判别式巧解一类最值问题例析

引例若正实数m,n满足m+2n=3mn,求m+n的最小值解析:(法一)从数的角度思考,多以不等式相关知识求解,由题易得1/n+2/m=3,∴ m+n=1/3(1/n+2/m)(m+n)=1/3(m/n+1+2+2n/m),由基本不等式得m+n≥1/3(3+2√m/n·2n/m)=1+2√2/3(当且仅当m/n=2n/m时取等号).     

数学奥林匹克初中训练题(45)

一、(共20分)m、n都是实数,且m~3 n~3 3mn=1,求m n的值。 二、(共25分)如图4,P是线段AB的中点,∠BPC=∠BPD且PB是PC、PD的比     

巧求取值范围一例另解赏析

正在《中学生数学》杂志上《巧求取值范围一例》一文研究了"已知实数x、y满足x2-xy+y2=1,求x2-y2的取值范围"的解法,其解法如下:设x=m+n,y=m-n,则m2+3n2=1,∵m2+3n2≥23~(1/2)|mn|(当且仅当m2=3n2时取等号),