数学单元测试题（一）——正多边形和圆

几理夕山四门匆叮堆,乙一、填空题1.正n边形的中心角-,外角-内角 2.已知正n边形边长为a,则边心距一_,半径一_.(用三角函数表示) 3.正n边形的每个中心角为a,每个外角为月,则a,刀的关系是_. 4一种圆管的横截面是同心圆的圆环面,用刻度尺测量小圆的切线AB一20cm,则截面的面积是二’ 5.正六边形的半径为2,它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积是_.,一 6.半径为R的正十边形的中心角一_,它的边长一_R. 7.半径为4m的圆内接正八边形的面积一_.(用三角函数表示) 8一条弧所对的弦长是24,这条弧的半径也是24,则弧长一_. 9.已知扇形圆心角为90“,半径为…     

圆内接(外切)多边形面积的极值性质

关于定圆的内接n边形,本文用两种方法证明了,圆的内接正n边形面积最大．关于圆的外切多边形,本文引入了对偶多边形这一新的概念,从而得到了如下结果,在定圆的所有外切n边形中,以外切正n边形面积最小．     

运用琴生不等式求椭圆内接n边形最大面积

数学通报1990年第8期刊登刘佛明同志的《椭圆一些问题的另一种解法》,刘文虽巧妙地求出椭圆内接n边形的最大面积为nab/2 sin 2π/n.但必须用椭圆与圆之间的变换关系与半径为r的圆内接n边形的最大面积为nr~2/2 sin 2π/n等较多的预备知识.这里简要地给出了求椭圆内接n边形最大面积的新方法. 椭圆     

一个新的割圆术不等式

一、引言大家都知道,我国古代数学家对于圆周率π的研究有过杰出的贡献。早在东汉初年,古算书中就有“周三径一”的记载,三国时(公元三世纪)刘徽创立了割圆术,其基本思想,是用正多边形的面积来近似地代替圆面积。如以S_n表示单位圆的内接正n边形的面积,T_n表示单位圆的外切正n边形的面积。与单位圆面积π比较,从直观上可知     

也谈椭圆内接n边形面积的最大值问题

文[1]提出如下问题：“圆x^2＋y^2=r^2”的内接n边形中,具最大面积的是正n边形,     

在复平面上讨论正多边形的一个性质

在初中现行数学教材中(见九年义务教育教科书几何第三册第155页),有如下定理,把圆分成n(n≥3)等分:(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形;(2)经过各点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.书中仅给出n=5的证明.本文在该定理的启示下,利用线性代数与复平面知识,给出定理(1)的一般证明,并应用它来简化一些命题的解法.如果我们把圆心设在原点,正n边形的一个顶点设在(r,0)上(r表示圆半径),于是正n边形的训顶点所对应的复数依次是r,re(2π/n)i,re(4π/n)i,…re(2(n-1)π/n)i,在此可以用一个n维列.     

椭圆最大面积内接n边形的性质

正众所周知,圆的内接n边形当且仅当其为正n边形时具有最大面积.以此为基础,运用面积投影的方法[1],可以得到定理1.定理1椭圆x2/a2+y2/b2=1(a0,b0)的内接n边形具有最大面积的充要条件是其各顶点的离心角(取[0,2π)内的值)从小到大成公差为2πn的等差数列,其最大面积为n2absin2πn.     

用数学归纳法推广余弦定理

余弦定理的推广命题如下: 设a_i(i=1,2,…,n)足凸n边形A_1A_2…A_n的n条边,按逆时针方向(或顺时针方向)定向(见图1),而θ_(ij)为边a_i正方向与边a_j的正方向之间的交角。     

圆内接正多边形一个性质的简证

本刊文[1]证明了关于圆内接正多边形的下述性质:正 n(n≥3)边形外接圆上任一点到该正 n 边形各顶点距离的平方和为2nR~2(其中 R 是外接圆半径).文[1]的证明比较繁复,今简证如下:在平面直角坐标系中,设任意给定的一个正 n 边形A_0A_1A_2…A_(n-1)各顶点的坐标是 A_k(Rcos(2kπ/n),Rsin(2kπ/n))(k=0,1,2,…,n-1)其外接圆上任意取定的一点 P的坐标是 P(Rcosθ,Rsinθ).显然点 P 到正 n 边形各顶点距离的平方和 S 是     

一道数学竞赛题的推广

1987年上海市中学生数学竞赛中有这样一道试题:[1] 正七边形A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7,内接于单位圆⊙O中,P在OA_1的延长线上,且|OP|=2,则|PA_1|·|PA_2|…|PA_7|等于多少? 下面我们把这道富于思考性的试题推广成: 定理设正n边形A_1A_2A_3…A_n内接于圆x~2+y~2=R~2,P(rcosθ,rsinθ)为平面上任意一点,则|PA_2|·|PA_2|·…·|PA_n|=(r~(2n)-2r~nR~ncosnθ+R~(2n))~(1/2)。     

一道奥林匹克竞赛题的推广

第16届加拿大数学奥林匹克竞赛试题第4题:一个锐角三角形的面积为1,证明在三角形内有一点到每个顶点的距离至少为(16/27)~4。 本文将作如下推广: 命题1 一个圆内接n边形的面积为1,若,此n边形的几个顶点不是同时分布在该外接圆的半个圆周上,则在该n边形内存在一点,它到每个顶点的距离至少为[2/nsin(2π/n)]~(1/2)     

刘徽与“割圆术”

本文详细介绍了刘徽计算圆周率的方法--用单位圆的内接正n边形的面积逼近圆周率π,以及奇妙的加速计算技术,突出了该方法在思想上的创新性与启发性,并由此对中国古代数学的特点作了简要叙述.     

刘徽与“割圆术”

本文详细介绍了刘徽计算圆周率的方法——用单位圆的内接正n边形的面积逼近圆周率π,以及奇妙的加速计算技术,突出了该方法在思想上的创新性与启发性,并由此对中国古代数学的特点作了简要叙述。     

论椭圆及其内接、外切n边形的仿射等价问题

讨论了椭圆及其内接、外切n边形的仿射等价问题,给出了椭圆及其内接、外切n边形与圆及其内接、外切正n边形仿射等价的必要条件和充分条件．     

用直线极坐标两点式证明竞赛题

本文应用极坐标系中过P_1(ρ_1,θ_1),P_2(ρ_2,θ_2)两点的直线方程:sin(θ_2-θ_1)/ρ=sin(θ_2-θ)/ρ_1 sin(θ-θ_1)/ρ_2(ρ_1≠0,ρ_2≠0)来证明几何中关于线段相等的竞赛题。这一直线极坐标两点式可应用坐标互化公式:x=ρcosθ,y=ρsinθ代人直角坐标系两点方程:(x-x_1)/(y-y_1)=(x_2-x_1)/(y_2-y_1)中,通过三角恒等变形得到。例 1 以等边△ABC的边BC作直径向形外作半圆。在这半圆上取点K和L分半圆     

文中的两种情形是正多边形吗

我们知道各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形. 关于正多边形的判定有如下的定理: 把圆分成,n(n≥3)等份: (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形; (2)经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.     

Whc64的一点突破

希布隆(Heilbron)型问题的研究成果屡见报道,杨之老师在文中列为WhC64: 平面上给定n个点,其中任三点可构成一个三角形,有一个最大面积与最小面积的比为μ_n,求μ_n的最小值。 (本文将面积最大三角形记为△ABC,面积为单位面积,面积最小三角形记为△XYZ,面积为S,μn的下确界记为infμn。李文志得到infμ_4=1,infμ_5=5~(1/2)+1/2,infμ_8=3。本文将进一步证明: 命题1:infμ_6=3 命题2:infμ_7=3 命题1证明: Ⅰ当不共线六点的凸包是t边形,3≤t≤5,由凸t边形内至少有一点P,又过凸t边形一顶点有(t-2)个三角形覆盖凸t边形,所以点P在其中一个△DEF内(△DEF可     

直觉启发 转换视角 立足制高点——一道高者题的典型失误分析

一、题目再现(2009年高考数学江西卷理科第16题)设直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),对于下列四个命题:A.M中所有直线均经过一个定点B.存在定点P不在M中的任一条直线上C.对于任意整数n(n≥3),存在正n边形,其所     

正多边形和圆的关系教学探讨

正多边形和圆密切相关的两个重要定理是:n等分圆周可以得到正n边形; 正n边形一定有一个外接圆和一个内切圆,且两圆同心.它们是正多边形有关计算的理论根据.课本(初中几何第二册)上是以n=5的憎况为例来证明两个定理.这样处理便于学生接受,但为避免学生容易产生以特殊代替一般的感觉与印象,我认为教学时,视实际条件也可在具体形象的基础上进一步演示在一般情况下的证明.定理1 把圆分成.等分(n≥3),(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形;     

正多边形和圆

本单元研究了圆和正多边形的关系,并根据“正n边形的半径和边心距,能把正n边形分成2n个全等的直角三角形”,这个结论,解决了正多边形边长、半径、边心距的计算问题;利用等分圆的方法解决了一些常见多边形的作图或近似画图的问题;在小学学过的圆的周长和面积公式的基础上,推导出弧长、扇形及弓形面积的计算方法,并通过例、习题说明怎样利用它们解决一些实际问题;最后,直观地介绍了圆柱、圆锥的侧面展开图和表面积的计算。