构造一元二次方程解题例举

构造一元二次方程是一种重要的解题技巧,它可以使一些看似与方程无关的问题,用方程的知识得以简捷地解决.那么,应根据什么来构造一元二次方程呢? 一、利用一元二次方程根的意义我们知道,若x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,则有ax12+bx1+c=0、ax22+bx2+c=     

一元二次方程根的判别式应用四注意

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2-4ac是初中数学的一个重要知识点,本文结合例题,说说应用一元二次方程根的判别式(以下简称判别式)解题时需注意的几点.一、使用判别式的条件方程ax2+bx+c=0(a≠0)的a≠0是使用判别式的前提条件.例1 关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个实数根,求k的取值范围.分析:根据题设条件,可知Δ=[-(2k+1)]2-4k2≥0且k2≠0,解得k≥-14且k≠0. 二、方程有两个实数根与方程有实数根区别方程ax2+bx+c=0有两个实数根,则必有≠0;但方程ax2+bx+c=0有实数根,则它可有两个实数根,也可能有一个实数根,…     

试论一元二次方程和二次函数的关系

正一元二次方程以及二次函数是九年级的重要内容,它们之间联系紧密。我现对它们的关系加以总结、归纳,来帮助学生学习和复习。二次函数通用解析式为:y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0),一元二次方程一般形式为ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0),单从形成上看就很像。当二次函数的值为零时,也就是说求解二次函数与x轴交点问题时,可转化为一元二次方程来解决。一、一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c图像与x轴的交点1.△0时,方程有两个不相等的实数根x1、x2,二次函数与x轴有两个不同的交点,其     

二次函数与一元二次方程联袂解题

二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)和一元二次方程ax2+bx+c=0有着密切的联系.对于二次函数或一元二次方程问题,我们依据题目的特征,灵活处理,则能使某些问题得到简捷、巧妙的解决. 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的根、判别式△=b2-4ac的符号关系如下表: 一、求方程的根 例1(2014年柳州卷)小兰画了y=x2+ax+b的图像如图1所示,则关于x的方程x2+ax+b =0的解是().     

根与系数关系作用大

在一元二次方程ax2 +bx +c =0(a≠0)中,若两根为x1、x2,则x1+x2=-b/4,x1·x2=c/a,根与系数的这种关系又称为韦达定理.它的逆定理同样成立,即当x1+x2=b/a,x1·x2=c/a时,那么x1、x2是ax2 +bx +c=0(a≠0)的两根. 一元二次方程的根与系数的关系,综合性强,应用极为广泛. 一、确定符合条件的方程 例1 (2012年烟台卷)下列一元二次方程两实数根的和为-4的是().     

根与系数关系的应用

如果一元二次方程ax2 +bx +c =0有两个实数根x1、x2,那么x1+x2=-b/a,x1x2=c/a,这就是一元二次方程根与系数的关系.这两个关系式的应用十分广泛.     

一元二次方程根的判别式的应用

对于实数系一元二次方程 ax2 +bx+c=0 (a≠ 0 ) ,如果 b2 - 4ac>0 ,那么方程有两个不相等的实数根 ;b2 - 4ac<0 ,那么方程没有实数根 .这就是一元二次方程根的判别式定理 ,我们把△ =b2 - 4ac叫做方程 ax2+bx+c=0 (a≠ 0 )的判别式 .这个定理的逆命题也是成立的 .判别式定理揭示了一元二次方程的系数与它的根之间的内在联系 ,它的应用主要有以下几个方面 .1 .判断方程根的性质 .在初中阶段我们研究的是实数系数的一元二次方程 ,有下列命题 :(1 )一元二次方程 ax2 +bx+c=0 (a≠ 0 )中 ,如果 a、 b、 c是有理数且△ =b2 - 4ac是一个完全平方数…     

巧用特殊根“1”解题

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当有一个根是“1”时,根据方程根的定义得a+b+c=0,反之,如果a+b+c=0时,方程的根又分别是什么呢?证明:∵a+b+c=0∴b=-a-c则ax2+bx+c=0变为ax2+(-a-c)x+c=0可分解为(ax-c)(x-1)=0解得:x1=1x2=ac也就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,当a+b+c=0时,有一个根是1,另一个根是c/a,借这个特殊性质来巧解题。1、巧求一元二次方程的两个根例1解关于x的方程:mx2-(m-n)x-n=0(m≠0)解:∵m-(m-n)-n=0∴x1=1x2=-(mn).2、巧求代数式的值已知:一元二次方程(ab-2b)x2+2(b-a)x+2a-ab=0有两个相等的实数根,求1a+1b的值。解:方程(ab-2b)x2+2…     

关于二次函数性质的几点拓展

二次函数与一元二次方程之间有着密切的联系. 在二次函数y=ax2 bx c(a≠0)中,令y=0,即得一元二次方程ax2 bx c=0.若此时方程有实数根,则此实数根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标.从这个基本事实出发,即可得到如下一些基本关系: 1.判别二次函数图象与x轴有无交点,可运用相应的一元二次方程根的     

韦达定理新证

如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1和x2,那么x1+x2=-a/b,x1x2=c/a,这就是著名的韦达定理.韦达定理的常规证法是利用一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式先求出它的两个根,然后分别计算这两根之和与两根之积.本文不借助于一元二次方程的求根公式给出韦达定理的几个新颖别致的证法,供大家参考.     

一元二次方程及其根的判别式

一元二次方程是初中代数的重要内容,它是一种只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程.其一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0).学习了一元二次方程根的意义、解法及其根的判别式后,灵活利用它们,可迅速地解答一些竞赛试题.一、灵活利用根的意义若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,那么ax_0~2+bx0+c=0,反之,若ax_0~2+bx0+c=0(a≠0),那么x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.例1 已知a是方程x2-3x+1=0的根,则2a2-5a-2+3/a2+1的值是__.(1996年昆明市初中     

根与系数关系的应用

如果一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1、x2,那么x1+x2=-ba,x1x2=ac,这就是一元二次方程根与系数的关系.这两个关系式的应用十分广泛.     

用一元二次方程巧解竞赛题

有许多竞赛题,如果用一元二次方程来解,往往会收到奇妙的效果.现举例说明. 例l 已知x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,且S1=x1 +x2,S2 =x12+x22,S3=x13 +x23,求aS3+bS2+cS1的值,(广东奥林匹克寒假集训试题) 解;因为x1,x2是方程ax2 +bx +c =0(a≠0)的两个根 所以:ax12+bx1+c=0 ax22+bx2+c=0 则:ax13 +bx12 +cx1 =0 ax23+bx22 +cx2 =0 所以:两式相加得:a(x13 +x23)+b(x12 +x22)+c(x1+x2)=0 即:aS3 +bS2 +cS1 =0.     

一元二次方程的一个重要性质及其应用

<正> 性质若a+b+c=0,则x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根;若a-b+c=0,则x=-1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 运用一元二次方程的根的定义不难证明这一性质.而灵活运用     

根与系数的关系的应用

如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,则有x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a.现以2012年各地中考试题为例,说明根与系数的关系的应用. 一、已知一元二次方程,求两根关系式的值 例1 (2012年日照卷)已知x1、x2是方程2x2+14x-16=0的两实数根,那么x2/x1+x1/x2的值为____.     

系数和为0的一元二次方程

一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠θ)的系数和a+b+c=0,则x=1满足方程x2+bx+c=0,即x=1是该方程的一个根.反过来,x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,则ab+c=0. 运用这个结论可解决不少的问题.请看: 例1 解方程:4x2-5x+ 1=0. 分析与解:因为4+(-5)+1=0,所以x1=1是方程的一个根.设另一根为x2,由根与系数的关系,得1×x2=1/4,即x2=1/4,所以方程的解是x1=1,xx=1/4. 温馨小提示:已知一元二次方程的一个根,运用根与系数的关系可简捷地求出另一个根.     

系数和为0的方程

如果一元二次方程ax2＋bx＋c（a≠0）的系数和a＋b＋c=0,则不难发现：x=1满足方程ax2＋bx＋c=0,即x=1是该方程的一个根．反之,如果x=1是一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的一个根,     

韦达定理的两个推论

如果一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1 x2=-ba;x1x2=ca.这就是著名的韦达定理.根据韦达定理,可得出以下两个推论.推论1设x1,x2是一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的两根,则x1-x2=Δ姨a,其中Δ=b2-4ac.利用韦达定理很容易证明推论1.推论2如果一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的两根之比为k,则kb2=(1 k)2ac.证明:设x1,x2是方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个实数根,则x1x2=k,x1 x2=-ba,x1x2=ca .消去方程组中的x1和x2,得kb2=(1 k)2ac. 下面谈谈以上两个推论的应用.例1已知开口向下的抛物线y=ax2 bx c与x轴交于M、N两点(…     

根与系数关系的应用

如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1,x2,那么x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a,这就是一元二次方程根与系数的关系,又称韦达定理.根与系数的关系在解题中有着广泛的应用.     

利用数形结合的方法求方程中参数的取值范围

<正>已知一元二次方程解的情况,我们可以利用根的判别式求方程中参数的取值范围.而在学习了二次函数的图象和性质后,我们更习惯采用数形结合的方法来解决问题.下面通过一例说明和比较这两种方法的运用.例题二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),(a,b,c为常数)的图象如图1所示.(1)若方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围;(2)若方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个相等的实数根,求k的值;(3)若方程ax2+bx+c=k(a≠0)没有实数根,求k的取值范围.