“恒成立”的否定是什么?——对一道征解题解法的再认识

笔者曾写了文[4],巧合的是,随后不久,又看到了文[3].文[3]与文[4]思考的是同一个话题,但结果迥异,孰是孰非,引起笔者的思索.通过研究,笔者对文[3]存在几点不同的认识,现撰写成文,供大家讨论.首先要说明的是,文[1]中的问题是一个“恒成立”问题,这在文[4]中有详细阐述,这里不再赘述.1“恒成立”问题与反例文[3]为了说明文[2]的结果是错误的,在条件中,举了一个当b=0时的例子,然后发现由具体例子计算出的结果与文[2]结果不一致,由此就断言文[2]的结果是错误的.在此,笔者想说明的是,对于“恒成立”问题,这种反驳方法在逻辑上是错误的!因为从理论…     

“以错纠错”的案例分析

在文 [1 ]中 ,笔者认为 :“学生在解题中出错是学习活动的必然现象 ,教师对错例的处理是解题教学的正常业务 ,并且 ,错例剖析具有正例示范所不可替代的作用 ,两者相辅相成构成完整的解题教学” .下面发生在特级教师身上的“以错纠错”现象 ,竟能在多家刊物延续十年之久 ,则促使笔者进一步思考 :错例分析可能对教师的教学观念和业务素质都提出了更高的要求 .一、出示案例我们先引述 3处典型做法 .1 早在 1 990年 ,文 [2 ]曾对一道数列极限题指出“思维定势在解题中的消极影响” ;然后在文 [3]、[4 ]中表达了同样的看法 .最近 ( 2 0 0 1年 5…     

用行等和矩阵构造全对角线幻方

文[1]利用Kronecker乘积技巧,构造出阶数为n（n≠4t 2,9t 3,9t 6）的全对角线幻方,本文利用等和矩阵的概念,构造阶数为n（n≠4t 2,n≠12t）的全对角线幻方,与文[1]相比,解决了文[1]中部分未能解决的全对角线幻方的构造问题。     

应站在“统一”的高度来认识余弦定理

当笔者拜读了文 [1 ]后 ,认为文 [1 ]中余弦定理的发现过程“ａ2 =ｃ2 -ｂ2 构造平方和 ａ2 =ｃ2 ｂ2 -2ｂ2引入角Ａ ａ2 =ｃ2 ｂ2 -2ｂｃｃｏｓＡ”有本末倒置之嫌 .从历史上看 ,余弦定理是数学命题 (勾股定理 )推广的产物 .我们在推广勾股定理的过程中 ,没有理由将一个和谐     

机械能守恒有相对性吗?

本刊2005年第8期刊登了《不能忽视的惯性力做功》一文(以下简称文[1]),对2004年第2期刊登的《对高中物理教材“机械能守恒定律”一节的思考》一文(以下简称文[2])提出了质疑,并提出了新的观点和解释.文[2]认为:机械能守恒是具有相对性的,即在一个惯性系中机械能守恒而在另一个惯性系中机械能不一定守恒.文[1]认为:重力势能不具有相对性.即无论从哪个惯性系来看重力势能都是mgh,另外还对文[2]中提出的问题进行了解释.笔者却不同意他们的看法.下面请听笔者细说端详.1重力势能是相对的,但重力势能的变化是绝对的众所周知,重力势能是相对于某一…     

另类“恒成立”与“有解”问题——对《新高考试卷中的全称量词和存在量词》的补充

文[1]中,作者就新高考中与全称量词“”、特称量词“■”有关的不等式及方程问题作了系统的整理与区分.因为此类问题经常涉及到诸如“已知不等式恒成立,或不等式、方程有解,求参数的取值范围”等问题,我们不妨将其称之为“恒成立”问题与“有解”问题.受文[1]的启发,结合自己的思考,笔者对文[1]作一点补充,以更全面地认识此类问题.“恒成立”问题与“有解”问题的处理思路是将其等价转化为与函数最值或值域有关的问题.当函数的最大或最小值不存在时,该如何思考例1(文[1]中例1改编题1)x∈(1,2),12x2-lnx-a>0,则实数a的取值范围是.分析x∈(1,2),12x2-lnx-a>0x∈(1,2),a<21x2-lnx.当x∈(1,2)时,f(x)=21x2-lnx递增,其值域为12,2-ln2,故a≤21.注文[1]中例1“x∈[1,2],12x2-lnx-a>0”,此时函数f(x)=21x2-lnx值域为12,2-ln2,从而a<12.(文[1]中答案有误)例2(文[1]中例1改编题2)x∈(1,+∞),21x2-lnx-a<0,则实数a的取值范围是.分析x∈(1,+∞),21x2-lnx-a<0x∈(1,+...     

趣谈“幻方”与“数阵”

“幻方”与“数阵”是中华古文化的象征.相传在我国原始社会氏族部落领袖伏羲时代有龙马出自黄河,背负“河图”;神龟出自济水,背负“洛书”的神话.这是我国最早的“幻方”(如图1、2)。     

符号“≤”和“〈”的用法之我见

本文从分析符号“≤”和“ <”的用法中存在的问题提出解决的办法 .长期以来 ,人们对于符号“≤”和“ <”的用法就存在着争议 .不论是在教学实践中还是报刊上 ,对这个问题的争论至今还在继续 ,矛盾还没有解决 .例如文 [1 ]和文 [2 ],仍在对这个问题进行辩论 .它们争论的焦点是对文 [3 ]一道数学题的证明 .这道题是 :设 f(x) =ax2 +bx +c对于任意x∈ [-1 ,1 ]都有 | f(x) |≤ 1 ,求证 :| f( 2 ) |≤ 8.实际上 ,能够证得 |f( 2 ) |≤ 7,| f( 2 ) |的最大值等于 7.证明过程省略 .文 [1 ]和文 [2 ]矛盾的实质是对“ <”和“≤”两个符号的含义…     

一道中考应用题的真假辨析

罗增儒教授在文 [1 ]中对一个最佳投资问题作过深的剖析 .文中对某商品利润 ｇ(万元 )与投入资金ｘ(万元 )之间关系的经验公式 ｇ =35 ｘ进行分析后 ,会得出投入 1万元可获利 60万元这样严重脱离生活真实的笑话 ,从而指出“我们不仅要对解题方法作出评价 ,而且要对数学命题重新认识 ,对于应用题更要多长一个心眼 ,看是真应用还是假应用 .”2 0 0 1年绍兴市中考数学试卷中也出现了一个与文 [1 ]中的问题相同的情况 .题目 :某种产品的年产量不超过 1 0 0 0吨 ,该产品的年产量 (单位 :吨 )与费用 (单位 :万元 )之间的函数的图象是顶点在原点…     

精彩来自不断的争鸣与探索——在实验几何中培养学生探究能力的一次教学尝试

《中学数学杂志》(初中)2006年第5期、2007年第6期和《中学数学教学参考》(下半月·初中)2007年第6期、第9期分别刊文对一个面积问题做了探讨,笔者拜读后受益匪浅.文[1]、文[3]注重一题多解及精彩的课堂表现,文[2]、文[4]、文[5]为了对文[1]、文[3]的内容进行进一步完善,分别提出了自己的看法,使文[1]、文[3]在不断的争鸣与探索中得以不断升华.遗憾的是文[1]、文[3]只是解法的探究,文[2]、文[4]、文[5]只有     

“特征信息”的捕捉与解题的最优化

丁保荣在文 [1 ]中 ,提出了一个十分重要的问题 :通过捕捉题设 (或结论 )中的“特征信息” ,优化解题思路 .罗增儒教授在他的许多文章中也有精辟的论述 ,尤其是在解题分析中 ,非常重视解题速度、解题的最优化问题 .[2 ] [3]文 [1 ]的例 1、例 2的“特征信息” ,其实都可以联系到一个重要不等式 :定理　若ａ ,ｂ∈Ｒ ,则 (ａ ｂ) 2 ≥ 4ａｂ .文[1 ]的例 1尽管给出了三种解题思路 ,但是却有美中不足 :尚未揭示出其最优解题思路 ;例 2虽巧妙地构造出二次方程 ,但仍然缺乏最优化思考 .本文旨在展示平凡的定理 (ａ ｂ) 2 ≥ 4ａｂ在“特征信息…     

一个延续多年且广为流传的错误

罗增儒先生曾撰写过一篇文章“‘以错纠错’的案例分析”（见文[1]）．分析的是一个用“错误方式”纠正了一个“错误”的案例．偶翻前几年的杂志,笔者却发现了一个“以错纠对”的案例．即岳建良老师的文章“由一个新发现的错误谈起”（见文[2]）．文[2]指出文[3]中例1所求证的结论有误．     

三角形周长面积平分弦最值探讨

笔者曾在文[1]上对“三角形面积平分弦的性质”进行了探索,并在文后提出了问题“平分三角形的周长的线段中最大(小)者有怎样的性质?”文[2]对此进行了研究,并在文后也提出了一个问题“既平分三角形周     

四类平均数的又一解析几何解释

近期文 [1]、[2 ]、[3]分别利用四边形和圆给出高二新教材中所述的四类平均数关系问题以 6种之多的平几解释 .但用解几解释的甚少 ,仅见文 [3]提供了西方学者给出的一个方案 [4 ] ,“但上述模型需涉及四条二次曲线的作图 ,这对于中学生而言并不简单明了 ,因而不适合于实际课堂教学”[3 ].我们自然会想 ,能否给出一种“简单明了”的“适合于实际课堂教学”的解几解释呢 ?回答是肯定的 .已知a、b都是正数 ,求证 :21a + 1b≤ab≤a +b2 ≤ a2 +b22 ,当且仅当a =b时等号成立 .笔者现借助抛物线模型给出它的一个解几解释 ,供参考 :如图 ,过抛物线y…     

下降链条的能量损失

1　问题的引出部分下垂、部分在桌面上均匀柔软细链条的滑落问题是动力学中常见的问题之一 .文 [1 ]、文 [2 ]认为在下滑过程中链条的机械能守恒 ,笔者认为下落过程存在能量损失 .文 [1 ]在阐述用机械能守恒定律解决问题时举了下一例子 .图 1例 .如图 1所示 ,一长为l的链条平放     

幻方与等幂和问题

一、引子首先 ,介绍一下幻方与等幂和问题 .幻方对于我们并不陌生 ,它源于古老而神奇的“洛书” .相传在大禹治水的时候 ,洛水里出现一只大龟 ,背负一幅图 ,上有黑白圈 45个 ,用直线连接成九数 (如图 1 ) ,后人称之为“洛书” .4 9235 7816图 2　　　　洛书实质就是我们现在所说的三阶幻方(如图 2 ) ,它一个明显的特征是每一行每一列以及对角线上的三数之和都是 1 5.由于它具有这种奇妙的性质 ,所以至今仍吸引着人们去探寻它的奥秘 .人们已经找到了构造奇数阶幻方的一般方法 (限于篇幅所限 ,本文略去构造步骤 .)等幂和问题是数论中的著名问…     

案例创作:“(-3)×(-4)=?”数轴表示的挑战

(人们都说 :“负负得正”的教学是个难点 ,可我的课一直都还上得挺顺利 (见文 [1 ]) ,谁知…… )“有理数的乘法”属于法则教学 ,它是规定的 (乘法的定义 )、不是逻辑推导出来的 .我在文 [1 ]中的教学设计 ,其数学依据是数系扩充的基本要求 (文 [2 ]中提到的三点 ) ,其心理学基础是“概念的形成” ,其具体实施在于提供一个说明“规定合理性”并包含法则“必要因素与必要形式”的二维现实情景 (文 [1 ]中气温的上升、下降 ,时间的今天之前、今天之后 ) ,其重点是突破“负负得正”、提炼出法则 .法则要从绝对值与符号两个要素上去把握 ,难点…     

巧破三阶幻方

-14-3-2023-41510346892781843101416212上期问题答案:我们所熟知的这个三阶幻方叫做“洛书”,它是最基本的三阶幻方。以“洛书”为基础,我们可以构造出很多很多“广义”三阶幻方,其中的数字不再是1到9九个自然数,但仍然可以做到每行、每列、以及两条对角线上每三个数的和都相等。例如,把基本三阶幻方的每个数都加上1就得一个新的三阶幻方(当然是广义的),把基本三阶幻方的每个数都减去5、或者都乘上2,也可以得新的三阶幻方,如下图所示,请同学们验证:现在看看我们所要填的三组数:(1)6,7,8,9,10,11,12,13,14;(2)3,6,9,12,15,18,21,24,27;(3)1,…     

也谈小数的分类

本刊1995年第一期发表了《用9单独做循环节带来的田惑》(文[1])以及《如何看待循环节为9的循环小数》(文[2])两篇文章。文[1]中指出:“用9单独做循环节,将破坏比较两个小数大小的法则”,也会导致“小数的分类出现的错误”,从而建议“不用9单独做循环节”。文[2]是针对文[1]中提出的问题的解答,笔者     

高中数学新教材一道习题解答的评析——兼与文[3]、文[4]、文[5]作者商榷

苏教版必修4(文[1])中习题:如图1所示,一根绳穿过两个定滑轮,且两端分别有3N、2N的重物.现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为m(N)的重物,恰好使得系统处于平衡状态,求正数m的取值范围.这是一道内涵丰富的数理结合题.文[2]、文[3]、文[4]给出了答案不同的两种解法,文[5]对学生的一个错解作了辨析,但其基本观点值得商榷.我的学生在作业中出现了如下6种解法,值得品味,