也谈初中数学竞赛中的换元法

祝朝富老师在本刊92年第11期上,对初中数学竞赛中常用的换元法作了很好归纳,值得我们学习和掌握.但笔者认为其总结尚不完整,还有不少颇有价值的换元法也有它解题的特异功能.下面举例予以补充. 一、自身换无法解数学题常使用“自身换元法”。自身换元就是把题目中的式子整体地设为一个变元,通过这个变元的运算,得出它的具体结果. 例1 计算 1/2+(1/3+2/3)+(14/+2/4+3/4) +(1/5+2/5+3/5+4/5)+… +(1/60+2/60+3/60+…+58/60+59/60). (1989年上海市初一数学竞赛试题) 解:设s=原式.对括号内各项倒序排列后得     

一道数学竞赛题的解法

第六届初中“祖冲之杯”数学邀请赛试题中第二题的第1题是: 计算:1+(1/1+2)+(1/1+2+3)+(1/1+2+3+4)+…+(1/1+2+3+…+100) 这类题直接计算难以奏效,我们借助下面的公式可得简便     

有理数运算的技巧

有理数的运算是学习其它数学知识的基础,除了熟练运用四则运算法则外,还要掌握一定的运算技巧.下面举例介绍常用的有理数运算技巧,供同学们参考. 一、合理分组技巧 例1 计算1+2-3-4+5+6-7-8+…+997+998-999-1000. 分析:注意到任何相邻两奇数项或偶数项之和为2或为-2,故可将第一、第三项,第二、第四项,…,顺次分别编成一组进行计算. 解:原式=(1-3)+(2-4)+(5-7)+…+(997-999)+(998-1000)=(-2)+(-2)+(-2)+…+(-2)+(-2)= 500×(-2)=-1000. 例2 计算1/2-(1/2-1/4)-(1/4-1/8)-…-(1/8192-1/16384)     

巧算

竞赛中的计算问题,往往需要巧算. 例 (2001年“华杯赛”中学组一试第1题)计算1~2/1×3+2~2/3×5+3~2/5×7…+1000~2/1999×2001. 解上式中的一般项是k~2/(2k-1)(2k+1),其中,k是自然数1,2,…,1000中的任一个. 由于(2k-1)(2k+1)=4k~2-1,所以     

怎样解答?

1、计算1/1×2+1/2×3+1/3×4+……+1/60×61+1/61×62+1/62×63 2、计算1/3+1/15+1/35+1/63+1/99+1/143 3、计算1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+……+1/(1+2+3+……+199+200) 4、计算(7×23×29)/(3×5×31)×9664/4669×465/(64×151)=1,试直接写出(7×23×29)/(3×5×31)×465/(64×151)的结果。     

2003年小学数学奥林匹克决赛试题

1.计算:1-1/2×{1-1/3×[1-1/4×(1-1/5)]}=。 2.计算:12345654321+1234543210+123432100+12321000+ 1210000+100000=。 3.某八位数形如2abcdefg,它与3的乘积形如abcdefg4,则七位数abcdefg应是。     

“2002”趣题五则

1.计算1/1×2+1/3×4+…+1/2000×2001+1/2001×2002. 2.若a、b、c为三个连续整数,且a相似文献   

等比性质的灵活应用

等比性质:“若a_1/b_1=a_2/b_2=a_3/b_3=…=a_n/b_n(b_+b_2+b_3+…+_n≠0),则有(a_1+a_2+a_3+…+a_n)/(b_1+b_2+b_3+…+b_n)=a_1/b_1”.它在数学解题中有着广泛的应用,若能灵活运用并注意它的条件:b_1+b_2+b_3+…+b_n≠0,可以避免繁复的计算或复杂的推理.     

有理数加减法的技巧

一、相邻差相等法 例1 计算1-2 +3-4 +5-6 +7-8+…+4999-5000的值. 解:(1-2)+(3-4)+(5-6)+(7-8)+…+(4999-5000) =(-1)+(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1) =-2500 二、分数的性质法 例2 计算1/0.1-1/0.01-1/0.001-1/0.0001 解:1/0.1-1/0.01-1/0.001-1/0.0001 =1 × 10 1 × 100 1 × 1000 1 × 10000 =0.1×10 0.01×100 0.001 ×1000 0.0001 ×10000 =10-100-1000-10000 =-11090     

Er~(3+):YVO_4晶体1550nm荧光特性

测量了Er3+:YVO4晶体的吸收谱,得到Er3+离子在YVO4晶体中的光辐射特性.通过Dexter理论计算得到了4I13/2+4I13/2→4I9/2+4I15/2和4I11/2+4I11/2→4I7/2+4I15/2的交叉弛豫几率分别为P1=6.718×105s-1和P2=1.676×105s-1,同时建立了描述Er3+离子跃迁的动力学模型,利用速率方程讨论了P1、P2对1550nm荧光的影响.     

字母代换巧解题

[题目]求(1+1/2+1/3+1/4)×(1/2+1/3+1/4+1/5)-(1+1/2+1/3+1/4+1/5)×(1/2+1/3+1/4)的值。 [一般解法]解此题,一般可先将式中的分数通分,然后再按照分数四则混合运算的运算顺序进行计算。     

1r+2r+3r+…+nr的公式诱导

一、前言 1+2+3+…+n=1/2n(n+1),其公式的来由谁都明白,但对12+22+32+…+n2=1/6n(n+1)(2n+1)和13+23+33+…+n3=1/4n2(n+1)2,其公式的来由,可能就没几个人清楚了.     

一个教学片段的背后

下面是六年级下学期一节复习课的片段: 师:用字母表示出乘法分配律. 生:(a+b)c=ac+bc. 师:计算下面几道题,能简算的要简算. (1)3.52×1.7+1.7×6.48 (2)15.26×7.3-5.26×7.3 (3)89×101-89 (4)18×(1/2+4/9) (5)(48+64)÷16 (6)18÷(1/2+9/10) 第(1)～(4)题学生运用乘法分配律进行计算,正确.第(5)题,全班45人中,有35人计算如下:(48+64)÷16=48÷16+64÷16=3+4=7.第(6)题,有30人是这样计算的:18÷(1/2+9/10)=18÷1/2+18÷9/10=36+20=56.     

小“数迷”学开方

小"数迷"在学习开方时,遇到这样一道习题:计算1/212+22+(-2/3)2.你看他是这样做的:1/212+22+(-2/3)2=1+2+(-2/3)=7/3.小"数迷"的结果确实是正确的,因为1/212+22+(-2/3)2=1/29/9+36/9+4/9=1/249/9=7/3.     

第十五讲 代数式(之4)

（4）两个自然数公式的导出下面我们再介绍与S₁相关的另外两个公式:1²+2²+3²+…+n²=（n（n+1）（2n+1））/6 1³+2³+3³+…+n³=[n（n+1）/2]²这就是从1开始的n个自然数的平方和.从1开始的n个自然数的立方和.将它们依次记作S₂,S₃.     

首届创新杯中小学数学邀请赛初赛

六年级试题一、选择题(每小题4分,共32分。) 1.2003+2002-2001-2000+1999+1998-1997-1996+…+7+6-5-4+3+2-1的计算结果是( )。A.2002 B.2003 C.2004 D.4005 2.有两根钢管,第一根用去3/10米,第二根用去3/10,比较这两根钢管剩下部分的长度,结果是( )。     

因式分解应用举例

因式分解是一种重要的恒等变形,它的应用十分广泛.下面举例说明.例1 化简:(1-(1/2~2))(1-(1/3~2))(1-(1/4~2))…(1-(1/n~2)).解原式=(1-(1/2))(1+(1/2))(1-(1/3))(1+(1/3))(1-(1/4))(1+(1/4))…(1-(1/n))(1+(1/n))=(1/2)×(3/2)×(2/3)×(4/3)×(3/4)×(5/3)×…×((n-1)/n)×((n+1)/n)=(1/2)×((n+1)/n)=((n+1)/(2n)).     

分式运算的几种简捷方法

在进行分式运算时,除了应熟练掌握分式运算的基本方法外,还要善于根据分式的结构特点,采用特殊的方法.现举例说明. 一、分组合并法不要急于将所有分式进行通分,要有选择地先把易通分的分式结合在一起进行计算,然后再将各部分得到的结果进行计算.例1计算1a-b+1a+b-a-ba2+ab+b2-a+ba2-ab+b2.解:原式=1a-b-a-ba2+ab+b2 +1a+b-a+ba2-ab+b2 =3aba3-b3-3aba3+b3=3ab(a3+b3-a3+b3)(a3-b3)(a3+b3)=6ab4a6-b6.练习1:计算1x-2-2x+1-2x-1+1x+2.14x-2x3x4-5x2+4 二、逐步合并法同样不要急于将所有分式进行通分,先将某两个分式结合在一起运算,…     

如何借助数形结合计算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+…

我们知道,有时候图形表征能帮助学生总结算法,理解算理。怎么借助数形结合,帮助学生计算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+…呢?一、"看"与"写",经历算式的形成过程1.孩子们,根据1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64,我们可以写出如下几个类似的算式.     

巧用公式解题数例

巧用公式a~2-b~2=(a+b)(a-b) 例1.计算3·5·17…,…(2~2~(n-1)+1) 解:原式=(2-1)(2+1)(2~2+1)(2~2~2+1)…,…(2~2~(n-1)+1) =(2~2-1)(2~2+1)(2~2~2+1)…,…(2~2~(n-1)+1) …… =(2~2~(n-1)-1)(2~2~(n-1)+1)=2~2~n-1。巧用a~2+b~2+c~2+2ab+2bc+2ac =(a+b+c)~2 例2.计算5+6~(1/2)+10~(1/2)+15~(1/2)/2~(1/2)+3~(1/2)+5~(1/2) 解:由(2~(1/2)+3~(1/2)+5~(1/2))~2 =2+3+5+26~(1/2)+210~(1/2)+215~(1/15) =2(5+6~(1/2)+10~(1/2)+15~(1/2)) 得5+6~(1/2)+10~(1/2)+15~(1/15)=1/2(2~(1/2+3~(1/2)+5~(1/2))~2