不可小觑的向量加减法

一、用已知向量表示其他向量例1如下图,以向量OA=a,OB=b为边作平行四边形OADB,C为对角线的交点,BM=13BC,CN=31CD,试用a,b表示解:∵BA=OA-OB=a-b,BM=61BA=16a-61b,∴OM=OB BM=61a 65b.由OD=a b,得ON=OC 31CD=21OD 61OD=32OD=32a 23b.所以MN=ON-OM=23a 23b-61a-65b=21a-61b.评注:     

填运算符号

请在数字334455中填上适当的运算符号,不使用括号,使每道等式都成立。你能行吗?334455=10334455=20334455=30334455=40334455=50334455=60334455=70334455=80334455=90334455=100.     

一个不等式的应用

定理　设ａｉ,ｂｉ 为正数 (ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,则ｎ ∏ｎｉ =1(ａｉ ｂｉ) ≥ｎ ∏ｎｉ=1ａｉ ｎ ∏ｎｉ=1ｂｉ,( )等号当且仅当ａｉ=λｂｉ (λ为常数 ,ｉ =1,2 ,… ,ｎ)时成立 .证　由算术———几何平均不等式 ,有ｎ ∏ｎｉ =1ａｉａｉ ｂｉ ｎ ∏ｎｉ =1ｂｉａｉ ｂｉ≤ 1ｎ ∑ｎｉ =1ａｉａｉ ｂｉ 1ｎ ∑ｎｉ=1ｂｉａｉ ｂｉ=1ｎ ∑ｎｉ =1ａｉａｉ ｂｉ ｂｉａｉ ｂｉ=1ｎ ·ｎ =1,　　∴　ｎ ∏ｎｉ =1(ａｉ ｂｉ)≥ｎ ∏ｎｉ=1ａｉ ｎ ∏ｎｉ=1ｂｉ,等号当且仅当ａ1 ａ1 ｂ1=ａ2ａ2 ｂ2=… =ａｎａｎ ｂｎ,ｂ1 ａ1 ｂ1=ｂ2…     

一年级下学期期终综合素质测试题

笔试部分一、我会算。14-8=7 10=12-6=9 5=8 19=20-10=13 7=15-8=36 2=45-20=28 30=39-3=5 7=16-9=10 50=3 9=44-9=12 4=62-60=23 20=70 6=53-5=59 2=100-90=30-9=16 20=41-7=70-3=81 6=95-3=59-30=4 72=68 5=26-7=43 8=92 4=70-70=50 42=90-40=6 46=24 3 8=53-8-40=11-6 7=50 48-60=二、我会选。(在□里打“√”)1.比82小得多的数是:32□80□81□2.小林用画“正”字的方法,统计自行车的辆数:正正正正,结果是:20辆□4辆□21辆□3.课本上的页码有“71“”、28“”、36”,排在最前面的是:71□28□36□4.一本书的标价是8.50元,它表示的是:850元…     

一些特殊方程组的解法

<正>一、叠乘法例1解方程组:ab=1,①bc=2,②cd=3,③de=4,④ae=6.⑤解由①×②×③×④×⑤,得a2b2c2d2e2=144.∴abcde=12,⑥abcde=-12.⑦将①、③分别代入⑥、⑦,得e1=4,e2=-4.同理可得a1=32,a2=-32,b1=23,b2=-23,c1=3,c2=-3,d1=1,d2=-1.     

中国人民大学附小2005年毕业考试数学试卷

【基本题】做对10题以上(含10题)达标。一、口算(4∶1)26 18=7.2÷0.9=1-37=37 23=3.7÷0.5=0×78=60-24=4.7 3=89-94=218 105=1.25×8×0.1=415 51=1.4 6=0.2 0.2 0.2=12-52=0.39 0.1=2÷0.25=4÷45=5-0.8=0.24÷12=35×5=6-4.06=205÷5=15 32=1.6×0.5=511-199=56×130=0.55×4=190÷53=53-110=二、填空(3∶1)1.我国目前土地沙化面积达到一百六十八万九千平方千米,写作()平方千米,改写成以“万”作单位的数是()万平方千米,约占国土面积的17.6%。2.0.75吨=()千克;15平方分米=()平方米。3.34∶2化成最简整数比是(),比值是()。4.比a的2倍多3…     

第二十一届俄罗斯中学生数学奥林匹克试题与解答(续)

十年级 1.求方程组{xy z=94,x yz=95}的整数解.解 x=95,y=0,z=94或x=31,y=2,z=32. 第二个方程减第一方程,得 (x-z)(1-y)=1。依题意,x,y,z应为整数,故仅有两种情形: 1)x-y=1,1-y=1,于是y=0,代入方程组得x=94,x=95。     

一个n重幂指不等式

记A1=ba,A2=aba,A3baba,…, An=aba… bab…a,n=2k, (k=1,2,3…) ,n=2k+1, B1=ab,B2=bab,B3=abab,…,     

算法与程序框图的高考命题走向

例1图1是一个算法的流程图,最后输出的W=——。 解循环框的运算是这样的：S=0,T1,S=1^2-0=1：T=1＋2=3,S=30—1：8;r=3＋2=5,S=52-8=17≥10,于是输出W=S＋T=17＋5=22．故本题的答案是22．     

自然数范围内穷尽勾股数的求法

在初中几何课本中,找勾股数是由下式:a=2n、b=n~2-1、c=n~2 1(n>1)用 n=2、3、4、…代入得出,但是用这种方法并不能得出已知条件下所有的一切勾股数.例如,我们给定a=24,采用这种方法只能得出b=143,c=145.而另外的6组:b=70,c=74;b=32,C=40;b=10,c=26;b=45,C=51;b=18,c=30;b=7,C=25等勾股数却不能直接求出.那么是否有一种方法能将这7组勾股数一并求出呢?下面我们不妨来做一次探讨.     

哥徳巴赫猜想之证明

问题的提出;大于4的偶数,均可等于两个素数之和.哥德巴赫所担心的问题是:当一个偶数充分大时,是否还会不会有充分大的两个素数之和用来等于该偶数.实际上,担心是没有必要的,可以肯定地说,当一个偶数越大时,而与其该偶数相等的素数对就会越多.例:偶数210=199+11=197+13=193+17=191+19=181+29=179+31=173+37=167+43=163+47=157+53=151+59=149+61=139+71=137+73=131+79=127+83=113+97=109+101=107+103.     

浅析初中数学的漏解问题

1 忽视等腰三角形或直角三角形顶点的变换性 例 1 Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,P在直线AC上,△ABP是等腰三角形,求PC. 错解:∴△ABP是等腰三角形, ∴AP=AB=13 ∴PC=PA十AC=18 或PC=PA-AC=8. 评析:本题只考虑A为等腰三角形顶点,忽然了B、P也可以作为顶点.当B为顶点时,BP=BA,∴PC=CA=5;当P为顶点时,设PC=x,则PB=PA=PC CA=5 x, “∵PB2=PC2 CB2 ∴(x 5)2=x2 122     

初一数学单元测试

一、填空题1.已知方程x+(1/2)y=0,用x的代数式表示y,则y=——. 2.当x=——时,方程3x+2y=6中,y=3. 3.在x=1,y=1;x=2,y=-1;x=4,y=-5.中,方程组2x+y=3,3x-4y=0 的解是——.     

“快乐王国”第65期竞猜答案

方向算式T=0;W=1;H=2;A=3;O=4;S=5;N=6;U=7;E=8;R=9。算式为:8350+1850+54702=64902。找规律除了两边上的圆圈内都是1外,其他各圆圈内的数都是由它左上角的数加右上角的数乘以所在斜列的序数得来的。即A=7+63=25,B=1+152=31,C=10+15=15。     

一道数学竞赛题的另解

题目　已知在△ABC中 ,∠ACB =90°,如图 1所示 .当点D在斜边AB上 (不含端点 )时 ,求证 :CD2 -BD2BC2 =AD -BDAB .( 2 0 0 3,全国初中数学联赛 )　　证明 :作CE⊥BA于点E .设BC =a ,AB=c ,CE =h ,BD =m ,AD =n ,CD =t,BE =p ,ED =k .显然 ,p k =m .则CD2 -BD2BC2 =t2 -m2a2=h2 k2 -m2a2 =h2 (k m) (k -m)a2 .将h2 =p(k n) ,k -m =-p ,a2 =pc代入上式 ,得CD2 -BD2BC2 =p(k n) -p(k m)pc=p(n -m)pc =n -mc =AD -BDAB .当D与E重合时 ,h =t,k =0 ,上述证明同样成立 ;当D在E左侧时 ,k <0 ,同理可证结论成立 .…     

三角函数常见易错题解析

一、没有注意角的范围而导致错误二、忽略三角函数值的范围而导致错误例1在△ABC中,已知sinA=53,cosB=153,求cosC.错解由sinA=35,cosB=153得,cosA=±54,sinB=1213.故cosC=-cos(A B)=-cosAcosB sinAsinB=(-45)×513 35×1132=6156或cosC=-cos(A B)=-cosAcosB sinAsinB=45×153 53×1132=6565.分析由于A、B、C都是三角形的内角,而且sinA=35<1132=sinB,根据AA.又cosB=513>0,可知B为锐角,则A也为锐角,所以cosA=54.正解由cosB=153得,sinB=1132.而sinB=1123>35=sinA,于是有B>A.又cosB=153>0,可知B为锐角,则…     

十种求三角函数值的方法

三角函数的求值问题 ,是近年中考和数学竞赛中常见的题型 ,其求法灵活多变 ,现归纳出十种 ,供同学们参考 .图 11　根据定义求例 1　如图 1,在△ ABC中 ,∠ C=90°点 D在 BC上 ,BD =4 ,AD =BC,cos∠ ADC =35 ,求sin B.分析　∠ B是 Rt△ ABC中的一个锐角 ,欲求 sin B,根据定义 ,只需求出∠ B的对边 AC和斜边 AB即可 .解　因为在 Rt△ ACD中 ,cos∠ ADC=CDAD=35 ,设 CD =3k,所以 AD =5 k,又因为 BC =AD,所以 3k +4=5 k,所以 k= 2 ,所以 CD =3k =6 ,因为 BC =3k +4= 6 +4=10 ,AC=AD2 - CD2 =4 k= 8,所以 AB =AC2 +BC…     

研究高或垂心，别漏钝角三角形

平几第二册第65页第2题: 已知:△ABC中,AB=15,AC=20,高AD=12,求角平分线AE的长。人民教育出版社出版的《教学参考书》是这样解答的:如图1,∵AD是高,AB=15,AD=12,∴BD=9,同理求得CD=16,∴BC=25。又AE平分∠BAC,∴AB:AC=BE:EC,解得 BE=75/7,∴DE=BE-BD=12/7,     

三个不等式猜想的反例构造

猜想 1　设 ma,mb,mc,wa,wb,wc,ha,hb,hc,ra,rb,rc表示△ ABC的中线、内角平分线、高线及旁切圆的半径之长 ,则有 4R2 4Rr 3r2 ≥ ∑mawahara .这是文 [1]中提出的猜想 .构造 Rt△ ABC,a =BC=1,b=CA =1,c=AB=2 ,通过计算得 ma =mb=52 ,mc=22 ,wa=wb=4- 2 2 ,wc=22 ,ha=hb =1,hc=22 ,ra =rb =12 ,rc=12 - 2 ,R=22 ,r=2 - 22 ,则∑ mawahara =2 10 - 5 2 2 - 12 ,4R2 4Rr 3r2 =9- 2 22 ,不难验证2 10 - 5 2 2 - 12 >9- 2 22 ,即此时有∑ mawahara>4R2 4Rr 3r2 ,故猜想1不成立 .猜想 2　设 ha,hb,hc,ra,rb,rc 表示△ ABC…     

一个连等式结论的妙用

利用性质“若实数x=y=z,且xyz=1,则x=y=z=1”,可妙解下列两例:例1在△ABC中,设命题p:sina B=bsin C=sinc A,命题q:△ABC是等边三角形,那么命题p是命题q的().(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分又不必要条件(2005年高考江西卷(文史)试题)解必要性显然,下面看充分性.对命题p三边分母同乘以2R,得ba=bc=ac.由于ab·cb·ac=1,所以ab=cb=ac=1.即a=b=c,故充分性成立.选C.注本题用等比性质解也很简单:ab=cb=ac=ba cb ac=1,所以a=b=c.例2△ABC中,ab2cos A=bc2cos B=ca2cos C,判断此三角形的形状.解原式三边除…