例谈周期数列

若数列an 满足递推方程an L =an(n =1,2 ,3…… )L为某一自然数 ,则称数列an 是以L为周期的周期数列 .下面我们看几个周期数列的例子 .例 1　已知an =sin( n4 π) (n∈N )求a1 a2 … a2 0 0 4的值 .简析　因为sin( n4 π)为周期函数 ,所以an 为周期数列最小正周期为 8,且a1 a2 … a8=0 ,所以a1 a2 … a2 0 0 4=a2 0 0 1 a2 0 0 2 a2 0 0 3 a2 0 0 4=a1 a2 a3 a4=1 2 .例 2　记f(n)为自然数n的个位数字 ,an =f(n2 ) -f(n) .求 :a1 a2 a3 …… a1 997.简析　易知f(n 10 ) =f(n) ,f[(n 10 ) 2 ] =f(n2 ) ,所以an 1 0 =…     

数字和

对于自然数 a,S_a 表示 a 的各位数字之和.求同时满足下列条件的所有自然数:(1)a 为奇数,且不是3的倍数;(2)a/S_a=m<50,m 为自然数.这是第七届华杯赛的试题.如果 a 是一位数,那么(2)显然满     

一道菲律宾赛题的推广

题目:试求两组大于7的三个连续整数,分别被7,8和9整除. 事实土,可将该题推广为: 命题若三个连线自然数:一2,x一」,x分别能被自然数a一2,a一1,a(x>a>2)整除,则x=a ka(a一」)(a一2)(k任N). 证明显然司x, (a一1)lx一1=(a一1)(1 ka(a一2)), (a一2)一x一2.故命题成立. 另外,命题可推     

自然数的互素平方差分拆

1 自然数的平方差分拆 文[1]给出了任意自然数的全部平方差分拆及其组数,即求出了 n=x~2-y~2(n是已知的任意自然数)①的全部自然数解及其组数,但定理结论的叙述有些零乱,可把文[1]的定理1、2及推论3综述为 定理1 (1)当2n且n>1时,①有自然数解,且全部自然数解为x=(1/2)(a b),y=(1/2)(a-b),其中.a,b∈N,ab=n,b相似文献   

素数与合数

若a和b是自然数,且a=bq其中q也是个自然数,则q叫做是由数a除以数b所得到的商,并记作q=a/b.也可以说a能被b整除,或b除a而无余数。能除尽a的任何一个数b都叫做a的因数.数a本身相对于它的因数来说叫做倍数.因此,b的倍数是b,2b,3b,…数2的任何倍数(也就是能被2除尽的数)叫做偶数,不能被2整除的数叫做奇数.每一个自然数或是偶数,或是奇数.若两数a_1,a_2都是b的倍数,则它们的和a_1+a_2也是b的倍数.这显然可从下列得到:     

成果集锦

和为定值的两个自然数之积的性质和为 2 0的两自然数的积可依次写为1 9× 1 ,1 8× 2 ,1 7× 3 ,… ,1 0× 1 0 .一阶差为 1 7,1 5 ,1 3 ,… ,1 ;二阶差为 -2 .可见 ,这些积构成二阶等差数列 .一般地 ,有定理　和为定值的所有两个自然数之不同积 ,当和大于或等于 8时 ,可排成二     

《平方根》测试题

(时间:60分钟;满分:100分)一、选择厄(每小题5分，共35分) 1.V仁乏下的算术平方根是A.2 B.士2 C.士V万D.V厄一2.若V而不万=2，则(。 n)，= A.16 B.8 C.4 D.2，气1若V而不丁有意义，则a能取的最小整数为() A.0 B.1 C.一1 D.~4 4.一个自然数的算术平方根是龙，那么这个自然数的下一个自然数(即相邻且更大的自然数)的算术平方根是() A .x 1 B.二2 1 C.V万 1 D.勺甲不丁5.在表达式二幼不石乏中，若。41，b二40，则a的值为() A.土gB、gC、一9 D.sl‘.能使幼刁有意义的数“有() A.1个B.2个C.无数个D.O个，.若口为正数，则a与V万.的大…     

乘法公式与数学游戏

在一次数学活动课中,郝老师在黑板上写了活动的课题:相邻自然数平方的关系. 小芳心直口快,抢先说:"相邻自然数平方的关系有较小的自然数的平方较小,较大的自然数的平方较大,即若a、b为自然数,且a＜b,则a2＜b2."     

稀少而有趣的完美数

己知自然数a和b,如果b能够整除a,就说b是a的一个因数,也称为约数.显然,任何自然数a,总有因数1和a.我们把小于a的因数叫做a的真因数.     

巧用平均数 分拆自然数

拜读了《小学教学设计》2005年第3期的《数字与数位》一文,受益匪浅。但其中的例3,笔者认为因其解法本身的缺陷,导致其结果有所遗漏。现从连续自然数的平均数有关知识入手,对此类问题的解题规律略作分析。1.n个连续自然数a1、a2、a3、a4、…an的和等于a1 an2×n,a12 an为数列的     

顺思逆想1,2,3,6

我们知道,1,2,3,6这四个数中,任意三个数的和是第4个数的倍数,不信,可以一一验算:1+2+3=6,1+2+6=9,1+3+6=10,2+3+6=11,分别是6,3,2,1的倍数.推而广之,四个不同的自然数a,2a,3a,6a(a是任一非零自然数)中,任意三个数的和是第4个数的倍数.现在我们逆过来思考:     

代数初步知识试题精选

一、填空题。1.学校买来a个足球,每个b元;又买来9个篮球,每个45元。ab表示();ab 9×45表示()。2.一本故事书有a页,小华每天看8页,看了b天,还剩()页未看。3.如果a=3b(a、b都是不为0的自然数),那么a和b的最大公约数是(),最小公倍数是()。4.摆1个正方形需要4根小棒,摆2个需要7根小     

纯循环小数循环节的规律

纯循环小数循环节的规律是a/b(a,b是自然数,a＜b,(a,b)=1)能表示成纯循环小数的充要条件是(b,10)=1,且对满足上述条件的任意小于b的自然数a,a/b化成小数时循环节节长都是相同的.进一步得到了对任意自然数b((b,10)=1),a/b化成小数时节长的长度规律.     

代数式(之四)

(3)(a+b)2是宝库从上一节已经知道:八个乘法公式中有6个是可以从(a十b)2直接或间接地导出的,由此可见公式(a+b)2=a2+2ab+b2的不平凡.这一节你将看到由这个公式可生长出很多有趣又有用的东西,它们让你惊奇,…在公式(a+b)2=a2+2ab+b2中,让a表示自然数n,让b表示1,它就变成 (n+1)2=n2+2n+1. 这是一个恒等式.当n取某一个具体的自然数时,它就变成一个具体的数字等式.例如当n取99时,就得到     

代数式(之六)

前面,我们由(a+b)2=a2+2ab+b2这个很简单的公式出发,居然推导出从1开始的前n个自然数的和,平方的和.立方的和,即     

非负数的应用

<正>零和正数统称为非负数.初中数学中常见的非负数有:(1)实数的绝对值:若a为任意实数,则|a|≥0.(2)算术平方根:a^(1/2)≥0(a≥0).(3)实数的偶次幂:若a为自然数,则a(1/2)≥0(a≥0).(3)实数的偶次幂:若a为自然数,则a⁽²ⁿ⁾≥0.(4)任何数的平方s(2n)≥0.(4)任何数的平方s²≥0.非负数的重要性质有:(1)若干个非负数的和为0,则其中的每一个数都为0.即:若a_1≥0,a_2≥…,a_n≥0,     

另一种求勾股数的方法

对于a~2 b~2=c~2(a、b、c为自然数),若已知a可求出b和c,见[文1].本文讨论在已知c值的情况下如何求a与b的值.显然a≠b,我们约定当a与b互换时所得为同一解答.     

非负数及其应用

在中学数学中,非负数是一个很重要的概念,它在中学数学的各部分中都有所涉及,占有一定的地位,在各类考试和竞赛中也经常遇到它。一非负数的意义和性质 1~0.任意实数a的绝对值,恒有|a|≥0,即 2~0.实数a的偶次幂,即a~(2n)≥0,(n为自然数) 3~0.非负数a的偶次算术根。即a~(1/2n)≥0,(a≥0,n为自然数)。 4~0.在数轴上,位于原点和原点右边的点所表示的数都是非负数。非负数有以下的重要性质和运算:     

一个定理的证明及其应用

定理若n个大于1的自然数a1,a2,a3…an相互之间两两互质,且a1〈a2〈a3…〈an,m为a1,a2,a3…an的最小公倍数,m个连续的自然数,每a1个去掉t1个（即把上述m个数从最小的一个起按从小到大的顺序每a1个分成一组,每组去掉t1个,各组去掉的t1个数在每组的a1个数中的位置相同,以下去掉的方式相同）,     

一个定理的证明及其应用

定理若n个大于1的自然数a1,a2,a3…an相互之间两两互质,且a1〈a2〈a3…〈an,m为a1,a2,a3…an的最小公倍数,m个连续的自然数,每a1个去掉t1个（即把上述m个数从最小的一个起按从小到大的顺序每a1个分成一组,每组去掉t1个,各组去掉的t1个数在每组的a1个数中的位置相同,以下去掉的方式相同）,