巧用一道习题的结论求一类无理函数的最值

习题:已知x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>0,b>0,x≥0,y≥0),设P=x+y,求P的最大值和最小值。此题散见于各种数学资料中,由数形结合法不难求得,P_(max)=(a~2+b~2)~(1/2),P_(min)=min(a,b),利用这一结论直接求解形如y=(ax+b)~(1/2)+(cx+d)~(1/2)(a、c<0)的函数最值将非常简捷。例1 求函数y=(5+x)~(1/2)+(4-x)~(1/2)的最大值和最小值。解:设v=(5+x)~(1/2),v=(4-x)~(1/2),则v~2=20+4x。v~2=4-x,消去x得v~2/36+v~2/9=1。∴y_(max)=45~(1/2)=5~(1/3),y_(min)=3。例2 求函数y=(ax-b)~(1/2)+(c-dx)~(1/2)(a>0,d>0,且ac>bd)的最大值和最小值。     

三角解题失误例析

三角函数是中学数学的重要内容之一,除具有一般函数的性质以外,还具有一系列特殊的性质,求解时,稍有不慎就会进入误区且不易觉察.多年来的教学发现,三角解题有以下几类常见失误,本文归纳如下:1 忽视函数定义域例 1 求函数y=4sinxcosx/1+sinx+cosx的值域.误解:令sinx+cosx=2~(1/2)sin(x+π/4)=t,则t∈[-2~(1/2),2~(1/2)]     

圆锥曲线的性质在解一类不等式中的应用

我们知道,椭圆(x-h)~2/a~2+(y-k)~2/b~2=1内部(外部)的点(x_1,y_1)满足不等式(x-k)~2/a~1+(y-k)~2/b~2<1(>1)。利用这一性质,可较为方便地求解一类无理不等式,兹举例说明一般方法如下。例1.解不等式:(x~2+4x+5)~(1/2)+(x~2-4x+5)~(1/2)>5。     

一个不等式的推广及其特殊证法

本文约定字母均表示正数。 (1)如果a+b=1, 则(a+1/a)~2+(b+1/b)~2≥ 25/2 ① (2)如果a+b+c=1, 则(a+1/a)~2+(b+1/b)~2+(c+1/c)~2 ≥100/3 ②一般地,如果sum from i=1 to n a_i=1, 则 sum from i=1 to n(a_i+1/a_i)~2≥(n~2+1)~2/n ③下面只证不等式②、③。引进三元函数 W=(x+1/a)~2+(y+1/b)~2+(z+1/c)~2,那么它的几何意义是动点P(x,y,z)到定点(-1/a,-1/b,-1/c)的距离的平方。     

求函数αf+b(c-f~2)~(1/2)最值的一种简便方法

中学数学教学中常出现求解函数af+b((c-f~2)~(1/2))(c>0的常数)的最值问题.本文将利用Schwarz不等式给出一种形如F=af+b((c-f~2)~(1/2))的最值的简便计算方法.     

一九七九年全国高等学校统一招生考试试题解答 数学（文史类）

1.求函数y=2x~2-2x+1的极小值。 [解]因为 y=2x~2-2x+1=2(x~2-x+1/2)=2[=(x-1/2)~2+1/2-1/4]=2(x-1/2)~2+1/2 当(x-1/2)~2=0,即x=1/2时,上式之值最小,所以,当x=1/2时,y取极小值1/2     

一个不等式的讨论

“已知a>0,b>0,a+b=1,求证(a+1/a)~2+(b+1/b)~2≥25/2”,这是一个常见的习题,值得深入讨论一番。为了便于本文的讨论,先给出如下解法: ∵ a>0,b>0,a+b=1 ∴ 1/a+1/b=(a+b)(1/a+1/b)≥4 ∴ (a+1/a)~2+(b+1/b)~2≥ 2·((a+b+1/a+1/b)/2))~2≥ 2·(1+4/2)~2=25/2 这里,用到了不等式(a_1+a_2)(a_1~(-1)+a_2~(-1)≥2~2和a_1~2+a_2~2≥2((a_1+a_2)/2)~2.实际上,一般地有不等式(sum from k=1 to m ak)(sum from k=1 to m a_k~(-1))≥m~2和     

一式破解五题(高一、高二、高三)

设A1x1+A2x2+…+Anxn=S(Ai不全为零,i=1,2,…,n),则成立不等式:x_1~2+x_2~2+…+x_n~2≥S2/A_1~2+A_2~2+…+A_n~2当且仅当x1/A1=x2/A2=…=xn/An时等号成立. 证明记A_1~2+A_2~2+…+A_n~2=M,由基本不等式xi~2+(Ai~2)S2/M2≥2|S|/M|Aixi|≥Aixi 2S/M,从而 xi~2≥Aixi 2S/M-A_i~2 S2/M2(i=1,2,…,n),将以上n个同向不等式相加.得     

柯西不等式的应用

已知a_1,a_2,…a_n和b_1,b_2,…b_n是实数,则(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)~2≤(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)(b_1~2+b_2~2+…+b_n~2),并且在a_1/b_1=a_2/b_2=…=a_n/b_n等时取等号。上面的不等式叫做柯西不等式,课本中“求     

利用体积解立体几何题

和面积在平面几何中的地位相当,体积在立体几何中也有一番妙用。举例说明如下。一利用体积求点到平面的距离例1 长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,AB=a,BC=b,BB_1=c,求顶点B_1到截面A_1BC_1的距离。解由题设,长方体AC_1中,AB=a,BC=b,BB_1=c, ∴A_1B=(a~2+c~2)~(1/2),BC_1=(b~2+c~2)~(1/2),A_1C_1=(a~2+b~2)~(1/2) 故cos∠BA_1C_1=((A_1B)~2+(A_1C_1)~2-(BC_1)~2)/(2A_1B·A_1C_1)=(a~2+c~2+a~2+b~2-b~2-c~2)/(2((a~2+c~2)~(1/2))·(a~2+b~2)~(1/2))=(a~2)/((a~2+c~2)~(1/2)·(a~2+b~2)~(1/2))sin∠BA_1C_1=(1-(a~4)/(a~2+c~2)(a~2+b~2))~(1/2)=(a~2b~2+b~2c~2+c~2a~2)~(1/2)/((a~2+c~2)~(1/2)·(a~2+b~2)~(1/2))     

关于代数方程和方程组的解和讨论的题目

1.方程组{ax+y=a~2 x+ay=1 有多少解? 2.方程组{ax+y+z=1 x+ay+z=a x+y+az=a~2 有多少解?3.解方程|x-1|+|x-2|+|x-3|=x。 4.解方程(x+3-4(x-1)~(1/2)~(1/2)+(x+8-6(x-1)~(1/2))~(1/2)=1。5.下列方程是否有实根?     

一个简单不等式的妙用

众所周知(m-n)~2≥0,即m~2+n~2≥2mn.变形得(m+n)~2≥4mn或mn≤1/4(m+n)~2;当且仅当m=n时取等号。上述不等式虽然很简单,但在求解某些物理问题时相当有用。     

求自然数方幂和的递推式的一种方法

现行高中代数(下册)封面上醒目地给出等式1~2+2~2+3~2+…+n~2=1/6n(n+1)(2n+1)。又在第47页练习和第124页习题上相继出现1+2+3+…+n=1/2n(n+1)与1~3+2~3+3~3+…+n~3=1/4n~2(n+1)~2的求证式。这些结论之间是否存在相关性?下面作出了肯定的回答。     

改正一个错误的证明

1981年12期数学通报《几种类型的不等式证明》一文中(二): 已知条件为线性方程形式的不等式证明(即条件x+y+z+…A,A为常数)。 4:若x+y+z=1,试证x~2+y~2+z~2≥1/3证明:令x=1/3-t,y=1/3-2t,z=1/3+3t(t为实数)。 x~2+y~2+z~2=[(1/3)-t]~2+[(1/3)-2t]~2+[(1/3)-3t]~2 =1/9-(2/3)t+t~2+1/9-(4/3)t+4t~2+1/9+2t+9t~2 =1/3+14t~2≥1/3 (∵t为实数)。 当t=0时,即x=y=z=1/3时,上式等号成立。     

关于ρ=±(x~2+y~2)~(1/2)中符号的确定

在曲线的极坐标方程化到曲线的直角坐标方程时,常用到ρ~2=x~2+y~2。故ρ=±(x~2+y~2)~(1/2)。怎样确定“+”、“-”号?现在举例说明如下: 1.用ρ=(x~2+y~2)~(1/2)的情况。例1.化极坐标方程e~ρ=2+cosθ为直角坐标方程。解.因为2+cosθ≥1,所以原方程中ρ≥0,因此ρ=(x~2+y~2)~(1/2)。由e~ρ=2+cosθ得ρe~ρ=2ρ+ρcosθ。从而原方程可化为 (x~2+y~2)~(1/2)e~((x~2+y~2)~(1/2))=2(x~2+y~2)~(1/2)+x。例2.把极坐标方程ρ=1+cosθ化为直角坐标方程。     

抛物线中一类最值问题的探究与反思

一、题目呈现已知A(0,1/2),P为抛物线x~2=2y上任意一点,则PA最小值为____.本题是笔者在讲解苏教版选修2-1第二章圆锥曲线与方程复习题第15题时,为了让学生更容易接受该题的解题思路作的一个铺垫,在备课中具体分析及解题过程如下.求最值问题,常建立目标函数,利用消元法转化为二次函数求解.具体解题流程:配方,作图,截图.注意点:目标函数中自变量y的取值范围.解:设抛物线z~2=2y上任一点P(z,y),所以PA~2=(x-0)~2+(y-1/2)~2=2y+y~2-y+1/4=y~2+y+1/4=(y+1/2)~2(y≥0).所以当y=0时,PA~2有最小值1/4,即PA有     

一题多得

题目:已知方程x~2+px+q=0 有二实数根α和β,且α~2+β~2=1,求p和q的范围。一、应用韦达定理这是典型的代数题,自然从数的等与不等方面去着手。首先,由有实根条件得△=p~2-4q≥0 ①其次,α~2+β~2=1,即(α+β)~2-2αβ=1,由韦达定理得 p~2-2q=1 ②由①和②可求p和q的最值:p~2=2q+1,由p~2≥0得2q+1≥0.∴q≥-1/2 ③把p~2=2q+1代入①得q≤1/2 ④所以-1/2≤q≤1/2,-1≤2q≤1,0≤2q+1≤2,即 0≤p~2≤2,∴ -2~(1/2)≤p 2~(1/2)。     

两个题的简捷解法

在中学数学中,有相当一部分题目,若按一般方法和规律解答,繁琐冗长,若能根据题目的全部特征,灵活地运用某些特殊方法解答,则较简捷,现举二例如下。例1.已知a>0,b>0,a+b=1求证: (a+1/a)~2+(b+1/b)~2≥25/2。证明:∵a>0,b>0,a+b=1, 设a=1/2+δ,b=1/2-δ,-1/2≤δ≤1/2, 则(a+1/a)~2+(b+1/b)~2=(1/2+δ+1/(1/2+δ))~2     

一类不等式的巧证

利用“等号成立条件”证明一类具有轮换对称式的不等式,会给人带来一种“出奇制胜”的美的感受. 例1 若a、b>0,且a+b=1,求证: (2a+1)~(1/2)+(2b+1)~(1/2)≤2 2~(1/2). 分析;显然,当a=b=1/2时,上述不等式等号成立,而此时有2a+1=2b+1=2. 证明:∵ a、b>0, ∴ (2a+1)2~(1/2)≤(2a+1)+2/2=2a+3/2,①     

“增设”中的错误简析

众所皆知,增设性构作给某些数学问题的求解带来化繁为简的生机,但不恰当的增设性构作给某些数学问题的解答蒙上消极被动的阴影,未必被众人所晓,下面对此进行剖析。一只图形式忽视本质增设性构作常诞生于审析问题的形式结构之中,初步产生后将继续结合问题解答的需要逐步修正完善,千万可可忽视,修正完善过程。例1 求函数f(x)=x+(1-x~2)~(1/2)的值域。错解:设x=sinθ,则y=sinθ+cosθ=(2sin(θ+σ/4))~(1/2) 函数f(x)的值域是[-2~(1/2),2~(1/2)]。剖析:这里仅注意f(x)的定义域与三角函数值域之关系,选用三角代换,而忽视了x=sinθ时,(1-x~2)~(1/2)=cosθ≥0并非对任意实数θ恒成立。应将增设修正为x=sinθ,θ∈[-1/2π,1/2π],得出正确结果[-1,2~(1/2)]。例2 求函数y=(x~2-8x+17)~(1/2)+(x~2+4)~(1/2)的最小值。错解:∵ y=((x-4)~2+1)~(1/2)+((x~2+2~2)~(1/2) ∴设z_1=(x-4)+i,z_2=-x-2i, 则y=|z_1|+|z_2|≥|z_1+z_2|=(17)~(1/2),y的最小值是(17)~(1/2)。