灵活处理竞赛中的新符号问题

在数学竞赛中，我们常常遇到陌生的符号，这些符号不是通常的加、减、乘、除，往往具有特殊的意义．这类题主要考查我们利用原有的数学知识解决新问题的能力．现以竞赛题为例，说明这类题的解法．一、分类讨论．有些新符号对不同范围的数所起的作用不同，这时最好采用分类讨论的方法解题．例１设x表示不大于x的最大整数；x表示不小于x的最大整数；x表示最接近x的整数（x≠n＋０．５，n为整数）．例如３．４＝３，３．４＝４，３．４＝３．则方程３x＋２x＋x＝８的解为（）（A）满足１＜x＜１．５的全部实数．（B）满足１＜x＜２的全部实数…     

阅读 观察 猜想 归纳

近年来，在中考试卷中经常出现一种“阅读理解———猜想归纳”型的试题．这类题目主要考查学生对数学材料的理解、接受及加工处理能力，运用数学知识分析和解决实际问题的能力．本文选取近年来的典型试题加以分析．例1（湖北省黄冈市，２０００年）已知：１＋３＝４＝２２，１＋３＋５＝９＝３２，１＋３＋５＋７＝１６＝４２，１＋３＋５＋７＋９＝２５＝５２，……根据前面各式的规律，可猜测：１＋３＋５＋７＋……＋（２n＋１）＝（其中n为自然数）．解１＋３＋５＋７＋…＋（２n＋１）＝（n＋１）２．例2（山东省济南市，２０００年）…     

条件分式求值八巧

在分式运算习题中，常出现附加某些条件求分式的值（简称条件分式求值）的题目．这类题型变化多，解题技巧性强，往往需根据题目自身特点，灵活运用所学知识，多角度联想，从而使问题得到解决．现举例介绍一些常用的技巧．一、巧用公式例１实数a、b满足１a－１b－１a＋b＝０，则（ba）２＋（ab）２的值为（）．（A）１（B）３（C）５（D）７（１９９７年湖北省荆州市初中数学竞赛试题）解：由已知有：１a－１b＝１a＋b，∴a＋ba－a＋bb＝１，∴ba－ab＝１．∴（ba）２＋（ab）２＝（ba－ab）２＋２＝３．应选B．二、巧取倒数例２已知a、b…     

因式分解的若干技巧

因式分解是数学中的一种重要的恒等变形．它在各省、市的初中数学竞赛中时有出现，本文介绍解这类题目的几种技巧，供参考．一、巧添项例1分解团式：x5＋x＋1．（1986年扬州市初中数学竞赛试题）二、巧拆项例2分解因式：4x3－31x＋15＝解原式（1991年“缙云杯”初中数学邀请赛试题）例3分解因式：a2＋2b2＋3c2＋3ab＋4ac＋5bc．（1991年“希望杯”全国数学邀请赛初二试题）解原式三、巧用双十字相乘法（199年‘“给方杯”初中数学邀请赛试题）四、巧配方例5分解因式：。’－y十几～如上3一．门”2年郑州市初二教学团体赛试题、例6分解国式：…     

小题大做

这里的“小题”是指看起来很简单的数学题目，主要是指填空题、选择题和简答题，这类题目表述形式简单，考查知识点小，分值也小，一当我们挖掘它的内涵就会发现其检测的数学功能却不小，“大做”很有必要．例１（２００２年江西中考题目B卷）解方程：（２x－１）２－２x－１＝０．解（化成一般形式）４x２－４x＋１－２x＋１＝０，２x２－３x＋１＝０．以下可以用因式分解法或求根公式法不难求到：x１＝１２，x２＝１．另解（直接因式分解）（２x－１）２－（２x－１）＝０，（２x－１）［（２x－１）－１］＝０．x１＝１２，x２＝１．解…     

巧妙变形 整体代入

代数式的求值问题是各类竞赛中的常见题型，其基本方法是代入法．灵活、恰当地变形，巧妙地进行整体代入，既是一种重要的解题思想，又是一种化难为易的解题技巧．下面以一些竞赛题为例加以说明．例１已知x２＋xy＝３，xy＋y２＝－２，则２x２－xy－３y２＝（）．（２００１年湖北初中数学竞赛试题）解：∵x２＋xy＝３，xy＋y２＝－２，∴２x２－xy－３y２＝２（x２＋xy）－３（xy＋y２）＝６＋６＝１２．例２已知x２－x－１＝０，则x３－２x＋１的值是（）．（２００１年香港初中数学竞赛试题）解：∵x２－x－１＝０，∴x２＝x＋１，则x３…     

非负数及其应用

非负数是指不小于零的数，包括正数和零．这是个非常重要的数学概念．纵观这几年的各种初中数学竞赛试题，各个地区的中考试题，乃至和课本配套使用的练习册、试题集中，都常常有非负数性质的运用．如：１·已知｜３ｙ－１８｜＋｜ａｘ－ｙ｜＝０，如果Ｘ是正偶数，求ａ．（１９８９年“五羊”杯初中数学竞赛试题）２，若（Ｘ－１）２＋（２ｙ＋１）２＝０，求ｘ＋ｙ的值．（１９８５年北京市中考试题）３．方程ｘ２＋｜ｘ｜＋１＝０有（）个实数根．（Ａ）４；（Ｂ）２；（Ｃ）１；（Ｄ）０．（１９９１年“希望杯”全国教学邀请赛试题Ｊ４…     

初中数学竞赛中的应用问题

数学应用题已成为全国各类数学竞赛的热点问题,那么如何解答数学竞赛中的应用问题呢？现介绍几种常用的求解方法．一、列代数式解应用问题列代数式表示简单的数量关系,实际上是用数学符号语言表达文字语言,从而达到解答实际应用问题．例１　夏季Ｔ恤衫的售价比春季的售价上浮ａ％,年终又比夏季下调ａ％,若年终售价是春季售价的ｘ倍,则ｘ等于（　　）．Ａ．１　　　　　Ｂ．１－ａ１００００Ｃ．１＋ａ２１００００　　Ｄ．１－ａ２１００００（１９９８年山东省初中数学竞赛题）解：设春季售价为Ａ,则年终售价为Ａ（１＋ａ％）×（１…     

竞赛中的有理数计算

近年来的各类初中数学竞赛，经常遇到有理数计算的问题．这类问题，项数多、数字大，解答它们，难度虽然不太大，但结果易出错．因此，我们必须掌握和运用一些技巧．一、分组结合（A）5．5；（B）5．655（C）6．05；（D）5．85；（1994年“希望杯”初一数学邀请赛试题）例2计算（12＋32＋52＋…＋992）－（22＋42＋62＋…＋1002）．（1991年天津市初二数学竞赛试题）解原式＝（12－22）＋（32－42）＋（52－62）＋…＋（992－1002）＝（1＋2）（1－2）＋（3＋4）（3－4）＋（5＋6）（5－6）＋…＋（99＋100）（99－100）＝－（1＋2＋3＋4…     

证明一类整除性问题的基本方法

例对于同样的整数x和y，在表达式２x＋３y和９x＋５y中，如果有一个能被１７整除那么，另一个也能被１７整除．（１９８４年匈牙利奥林匹克数学竞赛试题解法１：利用二元一次不定方程的“通解”可使得这类整除性问题获解．方法如下：依题意，可设２x＋３y＝１７k（k为整数）．易求得此二元一次不定方程的“特解”是x０＝４k，y０＝３k 所以，上述二元一次不定方程的“通解”是x＝４k＋３t，y＝３k－２t （t为整数）于是９x＋５y＝９（４k＋３t）＋５（３k－２t）＝５１k＋１７t＝１７（３k＋t）．即９x＋５y能被１７整除．同理，也可设…     

用代换法解求值竞赛题

纵观近几年各省、市初中数学竞赛试题，代数式求值问题是一类热门题型，解这类题目若能根据其结构特征，灵活运用各种代换法，则能使问题化难为易，迅速获解，下面举例说明常用的几种代换法．一、思位代换故应选（B）．＝、整体代换（993年北京市初二数学竞赛复赛试题）把a－b，b－c，a—c各当作一个“整体”进行代换，得三、常值代换（1991年天津市初中数学竞赛试题）四、倒数代换（990年“五羊杯”初中数学竞赛试题）五、降次代换．（1990年“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题）两边平方，得02＋x－1=0六、自身代换例6V6－／35＋V6＋／35的…     

平方差公式的逆向运用

平方差公式的代数式表示为（a＋b）（a－b）＝a２＋b２．在解题中，在熟练地掌握了它的正向应用后，还需注意它的逆向应用．例１计算x２＋ ２－x２－ ２．（２００１年广西区初中数学竞赛试题）解：原式＝x２＋ ＋x２－ x２＋ －x２－ ＝６x．例２乘积１－１２２ １－１３２ …１－１１９９９２ １－１２０００２ 等于（）．A．１９９９２０００B．２００１２０００C．１９９９４０００D．２００１４０００（２０００年重庆市初中数学竞赛试题）解：原式＝１＋１２ １－１２ １＋１３ １－１３ …１＋１１…     

含数轴条件的数学题的解法

解答含数轴条件的数学题，关键在于仔细观察数轴，确定相关字母的取值范围，并能比较数的大小关系．比较大小关系时要注意两点：一是原点左边的点表示的数都小于零，原点右边的点表示的数都大于零；二是数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大．现举几例说明这类问题的解法．例１有理数a、b在数轴上的对应位置如图１所示，则在a＋b、a－b、ab、ab中负数的个数是（）．（A）４（B）３（C）２（D）１（１９９９年“聪明杯”初一数学竞赛题）解：观察数轴可知：a＜０，b＞０，｜a｜＜｜b｜，∴a＋b＞０，a－b＜０，ab＜０，ab＜０，∴选B.…     

巧用求和式中的“0”

<正> 数学竞赛中,常有带省略号“……”的求和问题.这类问题项数多,数据大,计算时需要一定的技巧.本文介绍如何巧用题中的“0”来解答这类试题. 一、活用已知条件中“0”例1 已知x3+x2+x+1=0,那么1+x+x2+x3+…+x1995= .(第八届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)     

实验二 用电流表测电流

·实验预习·１．电流表是测量电路中＿的仪表，其符号是＿． ２．图２－１是电流表的表盘，其量程有＿与＿．当选用“＋”和“３”两接线柱时，每一大格表示＿，每一小格表示＿，表盘指针指示的读数是＿．当选用“＋”和“０．６”两接线柱时，每一大格表示＿，每一小格表示＿，表盘指针指示的读数是＿． ３．正确使用电流表的规则是：（亚）电流表要＿在电路中；（２）“＋”、“－”接线柱的＿．必须使电流从“＋”接线柱＿，从“－”接线柱＿；（３）被测电流＿电流表的＿；（４）绝对不允许＿而把电流表＿电源的两极上． ４．使用电流…     

例说规律探究中的“n”

用字母表示数或式时，常用到“n”，但往往对“n”有特殊的规定，如：①当n为自然数时，２n、２n－１分别表示正偶数和正奇数；②观察１＋２＝２（２＋１）２，１＋２＋３＝３（３＋１）２，…，则有１＋２＋３＋…＋n＝n（n＋１）２例１（２００１年南昌市）由火柴棒拼出的下列图形中，第n个图形由n个正方形组成．通过观察可以发现：第４个图形中，火柴棒有根，第n个图形中，火柴棒有根．解析：同学们首先观察前３个图形：当n＝１时，火柴棒有３×１＋１＝４（根）；当n＝２时，火柴棒有３×２＋１＝７（根）；当n＝３时，火柴棒有３×３＋…     

比较两卷,搞好高三数学复习

研究、比较１９９９年全国“３＋２”高考数学试卷（含文、理）（以下简称“全国卷”）与广东“３＋ｘ”高考数学试卷（以下简称“广东卷”）的特点,对于指导当前的高三数学复习教学有十分重要的意义．本文将通过对全国卷与广东卷的分析、比较,展望２０００年数学高考,进而谈谈如何搞好２０００年的高考数学复习教学,供大家参考．１．’９９全国卷与广东卷的比较１．１　题型、题量、分值的比较．’９９全国卷与广东卷的题型、题量、分值的比较结果如表１．表１　两卷题型、题量、分值对照表题型选择题填空题解答题数量分值题量分值题量…     

如何解答“溶液中离子能否共存”类题目

如何解答“溶液中离子能否共存”类题目靖远县二中张汇中一、要准确把握题干所给条件题目中有以下条件时，离子存在情况的判断：１。“溶液无色”。该条件下必不存在有色离子：如（紫色）、Ｆｅ（３＋）（棕黄色）、Ｆｅ（２＋）（浅绿）、Ｃｕ（２＋）（蓝色）等离子。２...     

新运算 新视野

为了加强对同学们接受新事物、适应新情况能力的考查，“新定义运算”问题成为近年数学竞赛及中考的“热点”命题．而部分同学因乍遇这类题目而不知所措．其实．解答这类问题并不难，关键是要求同学们打破思维定式，准确理解新定义运算的规定，按照法则转化为常规的加、减、乘、除、乘方运算．为了增长知识、拓宽视野，举数学竞赛题四例，供同学们参考．     

怎样比较有理数的大小

在数学竞赛中,常常出现比较有理数大小的问题．本文介绍解这类题目常用的几种方法,供同学们参考．一、取倒数法比较大小（北京市第二届“迎春杯”初一数学竞赛试题）二、化成同分子比较大小分数从小到大排列．（第九届“缙云杯”初中数学邀请赛试题）（1997年“希望林”全国数学邀请赛初一试题）故选A．三、巧用赋值法比较大小例4已知a、b、c都是有理数,且a＞b＞C,则下列式子中正确的是（）（1998年全国初中数学联赛试题）可取a＝1,b＝0,c＝－1代入各选择支,只有a＋b＝1＞b＋c＝－1成立,故选B例5如果a、b均为有理数,且b＜0,则a…