1985年第4期问题

76.求证:如果凸四边形一组对边的中点和两条对角线的交点共线,那么这个四边形是平行四边形或梯形. (安徽黄全福供题) 77.试求出顶点在原点,其它两个顶点在,,二,.犷_,L二一‘、‘且小二。、椭圆奋十素=‘上的三角形的最大面积,并指出这时三角形的特征. (上海杨卫生、陈士明供题)78.设数列{a。}:1,9,8,5,…,是a。+a‘十。的个位数字(落=a全.5。+a翌.5。+…+a羞。。。是4其中a‘,‘),试证: (湖南70.求搜「息(击)‘的倍数. 沈文选供题),其中K>1 (湖南草红云供题) 80.把1985。(e为自然对数的底数)分成若干个正数的和,其积最大为多少? (湖北叶年…     

1984年第四期数学问题

1.已知正项等比数列的第k、m、叮lJi分别是a、、a”,、a。,求证:四边形月BCD面积的含。 (江苏响水县向日:‘{,学吕忠诚提) 3.设a布左:,(、一大:+玉双k〔/)b》。,求证:(51,,￡+se。““a))(尤+(S〔‘2乙+l、2‘’r’以)(cosZ乙a…‘ga*’ga·‘“a·}(河南鹤壁师范丁志兴提) 2.如图,乙、厂、‘、H分别是圆内接四边形Jl召CD件;一业月召、刀C、CD、DA上的点 (这些点不与顶点重合),连接石厂、F‘、Gl了、月主,求证:在△咬Elz、△B子产E、△CGF、△DHG中必有一个其面积不大 (四川江油件,学牟之森提) 4.已知内切于:·t么刁召C的椭圆的…     

10月份《俄罗斯萨温竞赛题选(五)》参考答案

1.显然△AA1 D与△CC1 B的面积和是四边形ABCD面积的一半 ,类似地还有△BB1 A与△DD1 C的面积和也等于ABCD面积的一半 .这就说明了以上这四个三角形的面积和等于整个ABCD的面积 .你可以注意到这时周围那四个小三角形被重复计算了两次 ,而中央的四边形面积则没有被计算进去 ,说明这四个小三角形的面积总和与中央四边形的面积是相等的 .2 .不难看出 :图 1中六个直角三角形有一个公共顶点 .从该点作三条线平行于原三角形的三条边 ,就将原三角形剖分成 1 2个更小的三角形 .容易看出有阴影的和没有阴影的正好成双成对 ,而且容易证明出…     

每期一题

粗在△ABC中,AB>AC,匕A的一个外角的平分线交△ABC的外接圆于点尸,过尸作尸Q土AB,垂足为O。求证:2刁O=AB一AC。 (1989年全国高中数学联合竞赛试题第二试第一题) 证明一如图,作尸R土CA的延长线于R,连结尸B、尸C。‘:乙1=乙2,尸A公共,.’. Rt△尸O月丝Rt△PRA,.’. AO二AR,尸O二尸R。又乙3=匕4,:.Rt△尸QB丝Rt△尸RC,:’ BQ=CR,.’. AB~AF== AC十A刀,.’.刁B一AC=AO+_了月二竺J Q.、 证明二.如图,在QB上取QR=Q月,连结PR、PB和PC。 易知Rt△尸OR 丝Rt△尸OA,.’.尸R==尸只,艺3=乙1。在△尸AC和△Pl\)厅,朴,,…     

等分线段的图形中的有趣性质——从2000年征解问题5.1中得到的启示

问题1如图1,凸四边形ABCD的两双对边的中点连线EF、GH相交于O,那么,图中阴影部分的两个四边形面积的和是四边形ABCI〕的面积的几分之几?请证明你的结论. (江苏省第十五届初二(一试)赛题改编) 猜想利用特例猜想.如果四边形ABCD是一个正方形,那么图1中,四个四边形全等,这时,‘。,一合“四边形A贺二 证连结OA、OB、OC、OD,这样将四边形分成八个小三角形,分别标上数字①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧(见图2),由于等底同高的三角形面积相等,所以S①一S忿,S③~S④,S⑤一S⑥,S⑦一S⑧,于是S麟一S。:+S⑧十。.01,。.0.,。.。S。+S,…     

关于一个几何不等式的探索

问题 :“若 P、Q是△ ABC内的两点 ,则 AB+AC >BP +PQ +QC.”(《数学教学通讯》中学生版 ,初二卷 ,2 0 0 1年 3 ,4合刊 :“谈三角形中边角不等关系的应用”)这个几何不等式不能成立 .本文将对该不等式成立的条件作一些探索 .在其他资料上我们见到的该题是 :如图 1,已知 P、Q是△ ABC内的两点 ,则 AB +AC >BP +PQ +QC.显然从图中我们可以看到 ,该不等式成立的一个重要条件是 :四边形 BPQC为凸四边形 .那么 ,当四边形 BPQC为凹四边形时 ,该不等式是否成立呢 ?图 1图 2如图 2 ,已知 P、Q是△ ABC内的两点 ,且四边形 BPQC为…     

第四届数学奥林匹克国家集训队选拔试题

第(4月21日7:30一12:00)边长为辱, 乙训了 2侧丁的三角形纸片1,I Jl重沿垂直于长度为普的边的方向折,.部分面积的最大值是多少? 厂、已知vo=0,尹,=1,u:十:‘8刀1一口。干,n二1,石·… 求证:在数列咬v。}中没有形如3“·53 (a,夕为正整数)的项. 三、求最大整数n,使方程 (z 1)”=之n 1的所有非零解都在单位圆上。 四、已知△ABc,在边AB、BC和cA上分别向三角形外作正方形ABEF,Bc‘H不llCA 11. 设AH自Bl二p:,Bl门CF=口、, CF口AH=R:,AG!一}C五=尸2. 召1门AG=Q:,CE{一{Bl二R 2. 求证:△p,口,R:竺△pZQ:R2. 第二天 六、已知AD是…     

梯形的又一性质及拓展应用

性质:如图1,在梯形ABcD中,AD∥Bc,则s△』(Ⅻ=s￡coD且S幺jo月=S幺∞D=S△加D·Js△f。B 略证:。。‘S△ABc一5△DBc又。.‘S△^0B一5△^Bf～S△矗。c,.s△∞D=.‘.5△帅B:5,1foD.A D 图1S＆nBc—S＆奴,·.‘意一甏①,淫一器②'自①×②得,S己∞,,·5△(瑚一5△∞D·5△彻骨,.’.5幺_∞一5盖∞D一5△。。·5△一,在有关的解题中运用上述结论常可达到事半功倍的效果. 例1 如图2,梯形ABCD中,AD∥Bc,Ac与_BD相交于A D图2蠛黧霎以鏖B逡ABcD变为凸四边形 /\升 /1丌时,若0为凸四边形 //u\\ /森 \ABcD的对角线Ac上.∥ \。.∥…     

数学问题与解答

221.以锐角△ABa的召O边为直径作圆,交AB、AO于刀、D,若刀刀=刀刀+OD,试证:在00上任取一点A,作00,的两条证:ED将△通刀口的面积和周长分成的上、下两部电之比都等于ctg’A. 证:如图1,设2夕刀将△ABO的面积分成上、下两部分之比为希,即S‘,D,’殊边形即。,’=希.切线AB、通口,切④O,于E、尸,交00于B、O,连AO,交00于刀,再作00的直径刀夕,如图2所示.则△AO,E。△D, DB,AO,:犷=ZR:刀刀,而AO,.0,D=(R+d)鲁粤二月合左刀O·(R一d),.’.刀刀:O‘D=于是,ZR护AO,:O尸D=ZR六(R+易证△连刀E。△ABG,乙刀刀通=Rt艺,因此, cosA=器…     

三角形面积公式的应用

初中教材中,讲述的三角形面积公式有 ①S。二专ah。, ②S。=告a右sinC=专ae sinB =专乙c sinA; ③s。=侧双:一a)(:一b)(s几), ④S△=a石c/4R; ⑥S△二:·:.其中“二于(a+乙+。),R为外接圆半径,犷为内切圆半径。 这五个公式在平面几何中有广泛的应用,下面举数例加以说明: 例1三角形ABC中,BC于H;过D作DE土AB于E,F.由公式①有 S△A刀D于BD·月万 S△AD。一专DC·AH一DF一AC于 、、.了 一.土 J‘、 .D工CB一DS△刁刀nS△月nc告AB·DE专AC·DF AB=丽刃,.DEDF(2)由(1)、 ‘,_B刀(2)有刀亡DEDF’已知ABACBDDC:.DE=D…     

渗透思想方法 凸显核心素养

<正>1试题呈现(宁波中考第10题)将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图1方式不重叠地放置在矩形ABCD内,其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等。若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出()。A.正方形纸片的面积B.四边形EFGH的面积C.△BEF的面积D.△AEH的面积     

浅析一道竞赛题的错解

贵刊于l”2年第一期登载的‘.构造等边三角形解咬价竞赛题”一文中.例5的解法有误. 例5设。、6、。分别是△月彤的只个角乙月、/、、匕:所对边的长,而段乙月一60。,那么一沃+二…二一,‘、‘~日J‘、”.U‘儿~‘’一’“尸~。十b’:矢一—·(!蛇7年全国初中数学联赛题) 错解:取特殊的△月汀下为正只角形,则有。一b-,,.此时有 硬.a斗b一~‘竺一+-二 口月~门任州卜故所填之值为1. 分析:在给定条件的一类无穷多个三角形,l‘,错解只一考察J户其‘},的一个特例一一等边三角形,发现它的丁边满足等式一共十:牛一,.除此之外,没有~‘“2“‘’r,“…     

2006年第8期问题

43.设△ABC的边BC、CA、AB上分别有点K、L、M,求证:在△LAM、△MBK和△KCL中,至少有一个面积不大于△ABC面积的四分之一.(安徽岳西县城关中学246600李庆社提供)44.在n边形内部给出m个点,现在用M来表示该n边形的n个顶点和上述m个点构成的点集,并按下述规则把上述n边形纸片剪成一些三角形:每个三角形的三个顶点都是M中的元素;除顶点之外,每个三角形不再含M中的元素.试问:共可剪出多少个三角形?(浙江省慈溪教师进修学校315300王立军提供)45.已知存在互不相等的自然数a1,a2,…,a6,且0相似文献   

一个四边形的面积引发的思考

<正>原题如图1,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,△ABD,△ACE,△BFC都是等边三角形,求四边形ADFE的面积.分析由已知得△ABC为直角三角形,由等边三角形的性质易得△DBF≌△ABC≌△EFC.解法1最外沿大五边形等于一个正三角形+两个直角三角形,故可求其面积;用大五边形面积减去三个三角形面积即可求得结果(△ABD、△ACE、△ABC);     

1986年全国高中联赛第二试第二题必要性的几种证法

题:己知锐角三角形姓方口的外接圆半径是R,点D,E,F分别在边刀C,C月,AB上. 求证:AD,刀皿,口尸是△了飞刀c的三条高的充要条件是乙尸AB,乙A召刀.又B,c,刀,F四点共圆:.艺ACB,匕通F刀.乙尸AB,艺AF刃.:.p口//F刀,OA土FE.s二旦一(刃F、FD一{一。: 匕:.名四边形。E人r 1。二二:.~;犷嘴、声 匕生·刃F式中刀是△」BC的而积 证明:设刀四边形。创m_鱼一艺O刀。FDS四边形。DcE 1二~百()子少. 心D刃//"△AB口的外接圆的圆心为。,三个内角为J‘1、B、C,B口““,口_1二b,_注刀“c. 丫沙、一1刀C是锐角三角形, .’.点O在△」B口内.从…     

利用向量来研究三角形的另一性质

题目:△八工3C的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,且OH=m(OA OB OC),则实数m=(2005年河南高考OB)二O, :.(m一1)〔〕A·(OCOBZ)=0, :.(m一1)〔〕A·(OC-OB) m(OCZ数学试卷巧题) 思路一:所给问题是一个填空题特例法来解决. 解法一:令△ABC为等腰直角三角形,则O为BC中点,A与H重合,故O月二m·乙一 B(〔无A OB OC)可变为aA=m OA,.‘.m=1. 思路二:考虑利用三角形故考虑用OB)二O冷A(H)(m一1)〔无A·BC=0 同理(m一1)OB·(执一1)(扒.CA=O (m一1)OC·(〔从(m一1)OC任3A=0①(口八一OC)=0净②OC一OB)二0冷③若三角形…     

9月份《数学竞赛训练题》参考答案

1。16.6.提示质数中只有2是偶数.2.共有8种不同的展开图.出卫田山〔任口翰与蓉廿电 图9 3 .77.1. 提示连结DF,则△ACD的面积是甲三角形面积的3倍;连结刀‘,则△ABC的面积是乙三角形面积的3倍. 4.不能,从左上角的四个数看,无论怎样变化,图A中左上方四个数中十1与一1均为奇数个,而图B中左上方四个数中+1与一1均为偶数个. 5.(1)使号码牌倒看仍保持不变的数码排列有两种情况: ①三位数的中间一个数码是。,1,8中的一个,而左、右两边的数码相同(也是取0 .1,8中的一个)的情况的号码牌共有3火3一1一8(个). ②中间一个数码是O,1,8中的一个,左右…     

数学奥林匹克问题

本期问题 初5.若n位自然数a。a一,…a:a:~a.+a三一:+…+暇一’+武,则称该自然数为“升幕数”.135就是一个“升幕数”(135一1+32+5,).试求出1000以内的所有“升幂数” (刘金义河北永清师范学校,302650) 初6.已知正△DEF的边长为d,顶点D,E,F分别在锐角△ABC的三边AB,BC,月C上.记△ABC的三边长依次为a,b,c,面积为5.求证: .、25 己妻丽蒸蔽燕瓜万或‘ (张善立浙江岱山中学,316200) 高5.0口过△月BC的顶点月,且分别与AB,月C和BC上的中线AD交于月:.C:,D;.则月B:·月B,AD,·八D.AC:·月C成等差数列. (洪风翔湖北武穴师范学校,436400…     

四边形面积的一个性质及其推论的应用

定理凸四边形的两条对角线把四边形划分成的四个小三角形中,两组对顶的两个三角形面积之积相等。证明如图1,记∠AOB=a,△AOB、△COD、△AOD和△BOC的面积分别为S_1、S_2、S_3和S_4,则由三角形面积公式,有     

还有不同的分法吗

一天的晚饭后,小红的妈妈想考考小红的思考能力和动手操作能力。她准备了一些三角形纸片,然后拿出其中的一张对小红说:"你能用剪刀剪三刀,把这张三角形的纸片分成面积相等的四部分吗?"小红看了看三角形纸片,说:"让我试试吧。"她想了片刻后,在三角形纸片的一边上画出了三个点,把这条边平均分成了四份,然后她分别把这三个点和三角形的一个顶点用虚线连接起来(如图1),再沿着这三条虚线剪三刀,把三角形纸片平均分成了四份。