依托基本图形 演绎精彩探究

<正>一、基本图形如图1,正方形ABCD的对角线相交于点O,正方形A’B’C’O与正方形ABCD的边长相等,在正方形A’B’C’O绕点O旋转的过程中,两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系?请证明你的结论．     

所有的轮子都是圆的吗?

裁缝用的划粉其形状是令人着迷的.要作成划粉形,可以从等边三角形开始.以每一顶点为圆心,以三角形边长为半径,作弧经过另外两顶点即可.划粉形可以内接于一个正方形,当它被放在外接正方形中时,它能紧贴着正方形旋转(想一想,为什么?).作为这     

旋转的考点透视

旋转与日常生活联系密切.在中考中,与旋转有关的常考知识点主要有: 考点1 旋转的概念 [考点解读]图形旋转有三个要素:(1)旋转的中心(点);(2)旋转的方向;(3)旋转的角度.三者中有一个不确定,旋转的结果都可能不一样. 例1 (2012年南京卷)如图1,E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,BE=CF,连接AE、BF.将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF,旋转角为α(0°＜α＜180°),则α=____.     

变一变 精彩现

<正>真题呈现引例（2022·江西）某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P=90°,∠F=60°）的一个顶点放在正方形中心O处,并绕点O逆时针旋转,探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况.（已知正方形边长为2.）如图1,若将三角板的顶点P放在点O处,在旋转过程中,     

点击中考中的图形旋转问题

图形的旋转问题是新课标中新增加的学习内容,已经成为目前中考的新题型.本文以近年中考试题为例,说明这类问题的解法.一、旋转90°例1(河南省)如图1,正方形网格中的小正方形边长为1,若将ABC绕点C顺时针旋转90°后得到A′B′C′,则A点的对应点A′的坐标是.(A)(-3,-2)(B)(2,2)(C)     

巧旋转，妙解题（二）

六、证线段的等量关系例6如图6,点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,且∠EAF=45°,求证:EF=BE DF.分析:由正方形考虑将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG的位置,从而把BE、DF拼接在△AFG中,只要证EF=GF即可.证明:将△ABE绕点A逆时针旋转90°至则GD=BE,GA=AE,∠GAE=90°,∠G     

两则几何极值问题

题1 如图1,四边形 AEFG与ABCD都是正方形, 它们的边长分别为a,b(b≥ 2a),且点F在AD上(以下问题的结果用a,b的代数式表示)． (1)求S△DBF; (2)把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°     

一转解千愁——数学中的旋转方法例谈

把一个图形绕着某一个点O转动一个角度后得另一图形的变换叫做旋转,点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。解题中会常用到旋转的一重要性质:旋转前后的图形全等。这样,许多不易推证全等的两个图形,只要通过旋转就会简化过程。特别是有关正三角形、等腰三角形、正方形一类的问题的求解、证明尤其是这样,现举例如下:     

探寻辅助线的生成轨迹

<正>许多几何问题,都需要借助辅助线来解决.但是,如何添加辅助线困扰着许多学生.那么,在几何证明中,辅助线的添加是否有迹可循,这值得我们研究与探寻.本文以2015年沈阳市中考第16题为例,谈谈笔者的一点探索与思考.一、试题呈现如图1,正方形ABCD绕点B逆时计旋转30°后,得到正方形BEFG,EF与AD相交于点H,延长DA交GF于点K,若正方形ABCD的边     

由浅及深显关怀 思维灵活富内涵

<正>1试题呈现(江西中考第23题)问题提出:某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出将足够大的直角三角板PEF(∠P=90°,∠F=60°)的一个顶点放在正方形中心O处,并绕点O逆时针旋转,探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况(已知正方形边长为2)。(1)操作发现:如图1,若将三角板的顶点P放在点O处,在旋转过程中,当OF与OB重合时,重叠部分的面积为______;当OF与BC垂直时,     

旋转给力解题更奇妙

[引例](《九年义务教育课程标准实验教科书》人教版九年级数学上册第23章《旋转》第60页例题 如图甲,E是正方形ABCD中CD边上的任意一点,以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°,画出旋转后的图形.     

旋转中的不变关系

<正>平面图形经过旋转,产生了相等的线段、相等的角和全等三角形,这是旋转的不变性.其中,对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角;旋转前后两个图形全等.可见,在旋转中无论旋转角度如何,一定存在已有的或隐蔽的全等三角形,从而可发现和证明某些线段和角始终不变的关系(数量和位置关系).因此,添加必要的辅助线是解题的关键.本文就如何添加辅助线,找到并利用题中的不变关系解题,谈谈几点认识.例1 已知正方形ABCD与正方形CE     

共顶点四边形旋转之不变量

<正>纵观各地中考试题,四边形旋转是几何压轴题的热点.下面向同学们介绍其中一个热点类型——共顶点四边形旋转模型.一、真题再现,感悟旋转例（2021·湖南·湘潭）在数学活动课中,小辉将两个正方形放置在直线l上.如图1,他连接AD,CF,经测量发现AD=CF.如图2,若将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度,试判断AD与CF还相等吗,请说明你的理由.     

一类求(证)定值问题的解法探讨

求 (证 )定值一类问题 ,由于所求 (证 )的结论不明确 ,不具体 ,不少同学往往无所适从 ,不知从何入手 ,下面略举数例 ,谈谈这一类问题的解法 .例 1　如图 1 ,正方形ABCD的对角线相交于点O ,O是正方形A′B′C′O的一个顶点 ,如果两个正方形的边长为a ,那么正方形A′B′C′O绕点O无论怎样转动 ,两个正方形重叠部分的面积总是一个定值 ,(人教版几何第二册 ) .图 1　　　　图 2　　　　图 3分析　两个正方形重叠部分的形状是千变万化的、不规则的 ,要证明它的面积是一个定值 ,关键在探明这个定值等于多少 .现在把正方形A′B′C′O旋转到…     

坚守基本性质 促进自然联想

<正>1试题呈现(广东中考第23题)如图1,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上;如图2,将正方形OABC绕点O逆时针旋转,旋转角为α(0°<α<45°),AB交直线y=x于点E,BC交y轴于点F。(1)当旋转角∠COF为多少度时,OE=OF(直接写出结果,不要求写解答过程);(2)若点A(4,3),求FC的长;     

巧用模型好解题

问题:如图1,点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点,PE⊥BC,PF⊥CD,垂足分别是E,F.求证:AP上EF.解决:简证:如图2,延长FP交AB于点H,延长EP交AD于点G,易得四边形BEPH和PFDG均为正方形,∴PE=PH,PF=PG,∴矩形AHPG≌矩形FCEP,∴绕点P把矩形AHPG顺时针旋转90°,再向下平移     

研究基本图形 挖掘数学本质——“两个正方形的探究”课堂实录

<正>苏州工业园区初中数学优质课评比活动中,笔者执教 "两个正方形的探究"一课,通过引导学生从特殊到一般研究这一基本图形,从变化中寻找不变,帮助学生积累基本活动经验,从而理解现象背后的本质.本文介绍这一课的课堂教学实录,供大家参考.一、观察思考,从特殊图形建构现象师: 今天我们一起来研究这样的问题:两个正方形的探究.探究活动1 将正方形ABCD绕点A逆时针旋转后得到正方形AEFG,边EF与CG相交于点O.师:我们把这个正方     

距离最短问题专题探究

2010宁德第25题：如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD（不含B点）上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM。     

一道课本题的拓展与衍变

题目如图1,在正方形ABC D中,E为BC上的一点,△ABE经过旋转后到达△ADF的位置.(1)旋转中心是哪一点?(2)旋转了多少度?(3)如果点G是AB上的一点,那么经过上述旋转后,点G应旋转到了什么位置?请在图中将点G的对应点G′表示出来.分析找旋转中心应根据对应点到旋转中心的距离相等得出,旋转中心在对应点连线的垂直平分线上.而对应点则可由相等的角、相等的线段进行比较判断;旋转角是旋转时两图形的对应线段所夹的角,只要确定旋转前与旋转后的对应线段,就很容易确定旋转角的度数.解(1)旋转中心是A点.(2)∵B与D是对应点,∴∠BAD是旋转角,∴…     

运用化归思想求图形面积

化归思想是极其重要的数学思想方法,在与图形面积有关的计算问题中,灵活运用化归思想可以有效解决许多问题,现举例分析如下:一、运用旋转变换化归例1如图1是一块直角三角形的土地,现在要在这块地上挖一个正方形的鱼塘AEDF,若已知剩余的两直角三角形两条斜边长分别为20cm和30cm,问剩余的两直角三角形土地面积和是多少?解因为四边形AEDF为正方形,所以点E可以看成是点F绕点D旋转90°后的对应点,若C点也绕着点D旋转90°得对应点C′(如图2),则有Rt EDC′≌Rt FDC,故所求两三角形的土地面积即为Rt BDC′的面积.∴S=21BD·DC′=21BD…