数学教学中反例的构造法

要肯定数学命题的正确性,就必须进行严格的数学证明或正确的数字运算;要说明一个命题是假的,只要举一个例子予以否定即可,这个例子就是所谓的反例.因此,构造反例同证明具有同等的重要地位．那么,构造反例有没有一般方法呢？如果有,它的一般方法又是什么呢？本文试图从几个不同角度予以分析、回答．所谓构造反例,就是要举一个例子说明条件命题“A→B”为假,在这个例子中,要求条件A为真,结论B为假,即由A真不能导致B真．     

关注上海数学高考，重视逆向思维训练

近年来上海高考十分重视数学思维的逆向考查，从中告诉我们研究一个数学问题，除了要从正面来考虑这个命题的正确性之外，还要从逆命题的角度，甚至是“逆向问题”的角度来思考，为高考命题开拓了思路．     

浅议“证伪”思想在高中数学教学中的作用

众所周知,数学离开它的发现过程,最终展示在人们面前的是一个概念和正确命题的逻辑体系．因此,严密论证始终是数学的主要特色和中心问题．但是,如果联系数学的探索过程,就会发现,对于从直觉、归纳、类比、对称等逻辑与非逻辑的手段中获得的猜想性命题,围绕它的数学活动,同时指向两个方向——提出证明与进行“证伪”。对于前一个方向,数理逻辑和数学方法论分别从不同角度进行了大量的研究取得了许多重大成果,     

构造反例速解判断题

如果我们想肯定一个命题的正确性，一般是从问题的正面人手，经过严谨的推理，从理论上判断或证明．但如果要否定命题的正确性，只要能举出一个反例就足够了．因此，能够快速举出反例，对于理解数学基本概念、法则、定理、公式和培养良好的思维品质是十分必要的．尽管设计判断题的方法很多，但好的判断题，总是从人们思维与认识的误区着眼，从反常规人手．我们如果抓住这一关键，就可以构造出漂亮的反例迅速解答判断题．     

数学建模思想融入矩阵教学的实践与思考

针对学生对矩阵乘法难以理解的问题,从实例出发引入矩阵乘法的定义,利用数学软件验证其正确性,用实例展示其应用价值。在矩阵教学中融于数学建模思想,通过实际——理论一实际的过程,帮助学生消除学习中的疑惑,突破难点。     

学习目标导向下的数学命题教学研究——以浙教版数学九年级（上）“圆的轴对称性”为例

命题教学在数学课中常见且重要,数学大厦中的概念、定义等元素正是依赖一个个数学命题相互联系、形成需要证伪或证明的数学事实．数学命题教学是使学生认识命题的条件、结论,掌握数学命题的内容和表达形式,掌握命题的推理过程和证明方法,对命题的呈现形式进行辨析,运用命题进行计算、推理或论证,解决实际问题的过程．特别是通过数学命题教学,学生可以获得基本的数学思想和方法,把学过的知识点系统化,形成结构紧密的知识体系．     

初中几何中常见的假命题及反例

我们知道,数学中的真命题的正确性是由条件通过推理方式来证实的,而假命题的证明只需要举出一个反例就足够．尤其是几何命题,有时举出一个反例图形胜过千言万语．但有些假命题的反例比较难找,还有些命题的真假难以辨别．现将初中几何中几个常见的似是而非的假命题及反例列举如下,供大家参考．     

应用数学归纳法时的常见七大误区

对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性:①当n取第1个值n0时,命题成立;②假设当n=k(k∈N*且k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时,命题也成立,这种证明方法叫做数学归纳法.用数学归纳法证明一个命题的基本结构是"两个步骤,一个结论".由于对以上情况理解不透、把握不准,故学生在应用数学归纳法时常常陷入七大误区.本文对此作了探讨.     

改进数学归纳法教学的探讨

数学归纳法是数学教学中一个传统的重点和难点,是一种常用的不可缺少的推理论证方法,没有它,许多与自然数有关的命题难以求证．同时,其思维方式对于开发学生的智力有着重要价值．但这种方法是利用两个简捷的步骤证明。取任意自然数时无穷多种情况的正确性,十分抽象,因而初学者往往领会不过它的原理,机械套用证明步骤而导致错误．传统的数学归纳法教学是按教材的知识结构,从不完全归纳法引出数学归纳法的概念,然后通过例题学习数学归纳法的应用．教学中学生常常提出这样一些疑问：在第一步证明中,为什么只验证。所取的第一个值,而…     

解读反证法的逻辑基础

我们知道,一个数学命题,可能是正确的,也可能是错误的．因此,要想肯定一个命题的正确与否就需要加以证明,但是有些数学命题给出直接证明是很困难的,而用反证法证明要简捷容易得多．有些命题,至今除了反证法以外还不能给出其他的证明,甚至有这样的命题,它可以用反证法证明,但由于这个命题本身的特点,即使在原则上也不可能给出直接的构造性证明．     

用数学归纳法证明数列问题

数学归纳法可证明与自然数有关的命题,而证明的核心在于证明n=k＋1时命题的正确性．证明的过程中必须运用n=k时的归纳假设,故寻找n=k＋1时,f（k＋1）与n=k时f（k）间的递推关系式是证明数列问题的关键．常见的有以下几类：     

关于一个几何命题证明的思考

数学学习的重要目的在于培养学生的数学思维能力,养成良好的数学思维品质。从不同的角度分析问题、解决问题是培养数学思维品质的一个好方法,对培养思维的灵活性、广阔性有重要意义。从3个角度出发,给出一个几何命题的证明方法。     

“加强命题” 数学归纳法的好帮手

在用数学归纳法证明问题的过程中,有时会遇到这种问题：关于正整数n的命题P（n）,直接用数学归纳法时难以实现从n到n＋1的过渡,然而对比P（n）更强的命题Q（n）,在使用数学归纳法时更简单．因此,在处理此类问题时,我们需要主动加强命题．加强命题通常有两种方法：一是将命题一般化：二是加强结论．本文将对加强命题在证题过程中的应用进行探讨．     

正确理解数学生活化命题

顾雪莲在《初中数学生活化学习方式探讨》一文中提出,应正确理解数学生活化命题．确立数学生活化命题,有一个重要的原因就是初中数学通常以问题的形式存在．数学问题不但包含了大量的猜测与设想成分,而且存在直观认识与经验积累的元素．从知识与经验的角度把握数学问题,     

根与系数关系证明图式的研究

证明图式是个体对命题正确性产生疑惑和消除疑惑的心理对应物.学完一元二次方程根与系数关系证明之后的大多数学生同时具有一般式证明和举例证明图式;面对不同的问题情境时,他们会使用不同的图式.在进行一元二次方程根与系数关系的证明教学时,应引导学生观察、归纳得出猜想,然后进行证明,把证明作为探索活动的自然的延续和必要的发展.     

形形色色的数学猜想

一道数学命题，没有人能够证明它，也没有人能够推翻它，这样的命题就是一个猜想．我们学习的那些精辟的结论、深刻的道理、巧妙的证法，不是从天而降，而是数学先驱们通过各种各样的猜想而得到的．美国数学家波利亚说：“数学的创造过程和任何其他知识的创造过程一样的，在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容；在你完全做出详细证明之前，你先得推测证明的思路，把观察到的结果加以综合、类比和不断的加以尝试．”下面介绍一些世界上曾产生过的几个著名的数学猜想．     

适当运用反例提高数学课堂教学效率

所谓数学中的反例,是指符合某个命题的条件而又不符合该命题结论的例子。简单地说,反例是一种指出某命题不成立的例子。在数学的发展历史中,反例和证明同样重要。一个数学真命题往往需要严密的证明,而假命题则靠反例加以鉴别。数学家B·R·盖尔鲍姆和J·M·H·奥姆斯特得曾指出,数学有两大类———证明和反例组成,而数学发现也是朝着两个主要的目标———提出证明和构造反例。一个数学问题,用一个反例予以解决,给人的刺激犹如一出好的戏剧,所以在数学教学中有意识地构造反例来解决实际问题,让学生从中领会神奇功效,从而使学生切实有效地掌…     

论数学命题学习

结合数学命题特征,从心理学角度对数学命题学习进行了探讨,指出：个体形成命题域和命题系是数学命题学习的本质特征．     

数学问题解决的程序化初探

在特定意义上讲，数学就是关于整个现实世界的数量关系、映射关系、空间关系而构建的不断向外拓展的命题体系及其研究方法体系的总和．其中命题体系，是数学大厦的硬件设施，是数学的骨骼；其研究方法体系，是数学大厦的软件设施，是数学的灵魂．数学命题就形式而言，往往是条件假设及其结论的连接；就其本质而言，是一个数学问题的提出和答案的寻求过程．数学研究方法，既属于数学研究的工具范畴，也属于数学研究的思想范畴；不仅是推动数学发展的思     

浅析中学数学命题教学中应注意的问题

数学命题是高中数学课程中的重要内容之一,是数学逻辑与证明的基础,与数学概念、数学推理证明之间有着重要的联系。对数学命题知识的学习有利于数学问题的解决和数学知识的学习。本文主要从教师角度出发,通过对数学命题教学中常常出现的问题以及各种数学资料、论文中出现的问题等的研究,提出如何在教学时有效地进行命题知识的引入,数学命题的整体学习,以及对简易逻辑知识的学习提出了一些建议。