关于轨迹圆问题的举例探究

轨迹圆问题的题设多样,问题中常以不同形式的几何运动来呈现,如点动、线动、图形运动等,结合条件确定动点的轨迹圆是解题的关键所在.解析时需合理利用瓜豆原理,把握动点间的关联,推导核心点的运动轨迹,生成轨迹圆.本文将结合实例讲解破题过程,总结方法思路.     

以圆为载体的动点问题(初三)

动点问题是初中数学的一个难点,中考经常考察.有一类动点问题,题中未说到圆,却与圆有关,只要巧妙地构造圆,以圆为载体,利用圆的有关性质,问题便会迎刃而解;此类问题方法巧妙,耐人寻味.     

题库(八)

1.已知动圆过定点P(1,0),且与定直线l:x=-1相切,点C在l上,设一条 过点P且斜率为-3~(1/3)的直线与该动圆的圆心的轨迹相交于A,B两点, (1)问:△ABC是否能为正三角形?若能够,求出点C的坐标;若不能;请说 明理由: (2)当△ABC为钝角三角形时,求点C的纵坐标的取值范围, 2.如图1,已知圆A、圆B的方程分别是 ,动圆P 与圆A、圆B均外切,直线l的方程为:x=a(a≤1/2).     

挖掘隐含条件 破解动点问题

<正>本文剖析一类隐含圆的动点问题,供同学们学习参考.一、动点问题中可构建圆的基本结论1."定线定角"隐藏着外接圆如图1,已知线段AB=4,点C是直线AB上方的一个动点,∠ACB=30°,动点C的路径是什么?想一想:在直线AB上方找这样的点C,能找到多少个?把这些点连起来成的图形是怎样的图形?通过思考可知,在直线AB上方可以找到无数个点C,把这些点连结起来是一条圆弧.再想一想:如何画出弧所在的圆?     

构造辅助圆解题的思路与方法

<正>动点最值问题和动点轨迹问题是初中数学中的常见问题,找出题中的隐形圆是解决问题常用的方法.但构造圆的解答过程极具想象力和创造力,对解题者来说有一定难度.现归纳出三种构造辅助圆的方法,供参考.一、共端点的等线段当出现一些点到某一个公共点的距离相     

辅助圆“为何添”“何时添”“如何添”——以一道正方形综合题为例

辅助圆“为何添”“何时添”“如何添”的疑问困扰着不少学生和教师。通过对一道正方形综合题的深入探究,发现添加辅助圆的至简方法是抓住动点,根据动点的运动轨迹或位置,灵活运用圆的定义和圆周角定理及其推论逆向思考。     

过定点的动直线的参数方程及其在焦半径问题中的应用

<正>定义1把射线OA绕端点O沿逆时针方向旋转到射线OB时所成的最小非负角记作∠AOB→(有0≤∠AOB→<2π).如图1,设动直线l过定点M0(x0,y0),点M(x,y)是动直线l上的动点.设r=M0M→.当点M,M0不重合时,点M在以M0为圆心、r为半径的圆C上.设以坐标原点O为圆心、r为半径的圆是C',把圆C'按向量OM0→平移后即得圆C.又设圆C上的点M是圆C'上的点M'按向量OM0→     

一道多动点数量积问题的本源探索

<正>问题已知点A,B是圆O:x²+y²=9上的两个动点,点C满足OC=1,求■的最小值．分析显然,这里的三个点A,B,C皆为动点．为了便于研究,减少动点的干扰,如图1,不妨设C(1,0),利用圆上的点的三角形式来表示对应点A,B的坐标．     

由2005年高考（江苏卷）一道轨迹题引发的思考

考题：如图1，圆O1和圆O2的半径都等于1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM、PN（M、N为切点），使得PM=√2PN，试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．     

探求轨迹方程的常用方法

探求曲线的轨迹方程,即求曲线上动点坐标所满足的代数条件是解析几何的最基本问题,它在历年高考中频繁出现.此类问题一般是通过建立坐标系,设动点坐标,依据题设条件,列出等式,代入化简整理即得曲线的轨迹方程.现结合近年的高考试题,介绍几种常用方法.一、直接法若动点运动过程中量的关系简明,那么直接将此量的关系坐标化,列出等式,化简即得动点的轨迹方程.例1已知直角坐标平面上一点 Q(2,0)和圆 C:x~2 y~2=1,动点 M 到圆 C 的切线长等于圆C 的半径与|MQ|的和,求动点 M的轨迹方程,说明它表示什么曲线,并画出草图(1994年全国高考题).     

一道2005年高考题（江苏卷）的几何本质

2005年江苏省高考第19题:如图1,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1与圆O2的切线PM、PN(M、N分别是切点),使得PM=2~(1/2)PN,试建立适当的坐标系,求动点P的轨迹方程．     

圆的第二定义

圆锥曲线不仅有第一定义,还有第二定义,可以统一写成:平面内动点到定点和定直线距离之比为定值点的集合.圆的定义:平面内动点到定点     

探求相离双圆的切线长存在定值关系的点的轨迹

先来看2005年高考江苏卷第19题： 如图1，圆O2和圆O2的半径都等于1，O2O2=4，过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN（M，N为切点），使得PM=√2PN．试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．     

动点对定线段所张角为定值的问题求解

<正>动点运动型问题主要以几何图形为载体,运动变化为主线,我们分析时需要用运动和变化的眼光去探索运动、变化过程中的不变量、不变关系或特殊关系.有一类动点对定线段所张角为定值的运动型问题,常常需要先构造出圆,再利用圆的有关性质来解决问题.以下举例说明.一、动点对定线段所张的角为直角时     

如何求曲线的方程

求曲线方程是解析几何中的一个重要课题。如何求曲线的方程,方法较多,因题而异,有必要归纳一下在什么情况时用哪种方法。下面试举例说明之。一.如果动点运动的条件受已知的定点或定曲线限制,这时可考虑直接用动点坐标去表出限制动点运动的条件等式,即得动点的轨迹方程。例1.动圆M与定圆x~2+y~2-4x=0外切,又与y轴相切,求圆心M的轨迹方程。分析:如图1,动圆M(x,y)与定圆     

借助“隐圆”巧解一类中考最值问题

最值问题是数学中比较常见的问题,是在变化中寻求不变,是数与形之间的完美结合.对于一类求一定点和一动点这两点间距离的最小值,可以先找到动点的运动轨迹,再利用一些最值模型解决问题.如当动点在定直线上时,可以利用垂线段最短解决问题;当动点在定圆上运动时,可以利用圆外一点与圆上一点距离的最值模型解决,（如图1,P为⊙O外一点,...     

巧作辅助圆 妙解综合题

圆有许多性质,与圆有关的问题在综合题中比较常见;而有些综合题,看似与圆无关,若作辅助圆,则可使思路变得清晰,问题变得简单明了。例1子已知Rt△ABC中,AC=5,BC=12,∠ACB=90°,P是AB边上的动点(与点A、B不重合)。Q是CB边上的动点(与点B、C不重合)。(1)如图,当PQ∥AC,且Q为BC的中点时,求线段CP的长.     

涉圆最值问题归类解析

<正>前几年中考中常考的几何最值是"将军饮马"模型及其变式,动点轨迹是直线型,近几年中考中常考的几何最值常常与圆有关,动点轨迹是圆.基本模型如图1,P是⊙O外的一点,直线PO分别交⊙O于点A、B,则PA是点P到⊙O上的点的最短距离,PB是点P到⊙O上的点的最长距离.     

特殊四边形中与运动轨迹有关的线段最值问题

<正>初中数学常遇到在四边形中求线段的最值问题,其中有一类问题与运动轨迹有关,下面举例介绍.模型分析：特殊四边形中某一动点到定点的距离为定长类型,即在平面内,点A为定点,点B为动点,且AB的长度为定值,则动点B的运动轨迹是以点A为圆心,AB长为半径的圆或圆弧的一部分.破题方法：在特殊的四边形中,找到定点、定长作圆,确定动点的运动轨迹,进而确定线段的最小值.     

易错辨析

例1 已知圆的方程x2+y2=1, A(1, 0), B, C是圆上的动点,且∠BAC=60°, 求BC中点P的轨迹方程.