一道课本习题的应用及其拓展研究

北师大版高中数学必修5(2007年5月第3版,2009年7月第3次印刷)第2章“解三角形”,其中的第2节“三角形中的几何计算”的习题2-2B组题第1题,题目如下: 如图1,有3点A,B,C,点C在点A与点B之间,点P是此直线外一点,设∠APC=α,∠BPC=β,求证 sin(α+β)/PC=siα/PB+sinβ/PA.     

学习三角形的行列式面积公式的体会

现行高中代数课本第二册行列式一章中有一道习题如下: 已知三角形三个顶点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)。C(x_3,y_3),则三角形的面积 S=1/2(?)的绝对值。(P186第14题) 从该题的证明过程(这里从略)中可知:当A、B、C按逆时针方向排列时,取正号;当A、B、C按顺针方向排列时;取负号。由此题可立即推出;平面上三点(x_1,y_1),(x_2,y_2)(x_3,y_3)共线的充要条件是(?)=0。(P189第27题) 应用这两个公式来解有关三角形面积与三点共线的平面几何问题,可以使解题思路清晰,解答过程简捷。现举例说明如下: 例1 在四边形ABCD内,三角形ABD、BCD。ABC的面积之比是3:4:1,M、N分别在AC、CD上,满足AM:AC=CN:CD,且B、M、N三点共线,试证M、N分别为AC、CD之中点。(83年全国数学竞赛试题二,第三题)。     

一道课本习题的有趣变形

现行九年义务教育三年制初级中学《几何》第二册第 1 1 2页复习题三A组有这样一道习题 :题　已知　△ABC的∠B和∠C的平分线BD、CE相交于点I。求证　∠BIC =π2 +12 ∠A。本文先给出该习题的解答 ,然后再在该习题的基础上做一些有趣的变形。分析　本道题中∠BIC为三角形两条内角平分线相交而成的角 ,求证的是∠BIC与∠A的关系式 ,题目涉及的知识点 :①三角形内角和定理 ,②角平分线定义 ,③由方程或方程组求解。图 1证　如图 1所示 :∵BD平分∠ABC ,∴可设∠ABD =∠DBC =x ,同理设∠BCE =∠ACE =y ,则有x +y +∠BIC =π ①…     

一道课本习题引发的讨论

人教版数学必修④第二章复习参考题B组第5题:已知向量→OP1、→OP2、→OP3满足条件→OP1 →OP2 OP3=→0,|→OP1|=|→OP2|=|→OP3|=1.求证:△P1P2P3是等边三角形.     

从课本的一道习题谈起

几何第三册P133第12题:如图1,⊙O_1、⊙O_2、⊙O_3…都经过点A和B,点P是线段AB延长线上任一点,且PC、PD、PE…分别与⊙O_1、⊙O_2、⊙O_3…相切于点C、D、E…,求证:C、D、E     

一道课本习题的变式教学

<正>人教版教材《数学必修2》第三章习题3.3B组第4题:已知A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,求a的值.这是一道很具有典型性和代表性的题目,是我们学习直线的一个很好的素材.笔者发现,这正是以下试题的原型2004年全国卷2理科第8题:在坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有()(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条于是,在课堂教学中作了如下的变式教     

对一道高考填空题的探究

2006年高考福建卷第16题为： 如图1，连结△A0B0C0的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连结△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△A0B0C0，△A1B1C1，△A1B2C2，…．这一系列三角形趋向于一个点M．已知A0（0，0），B0（3，0），C0（2，2），则点M的坐标是．[第一段]     

一道课本习题的引申和证明

[题目 ]如图 (1),⊙ O1和⊙ O2外切于点 A, BO是⊙ O1和⊙ O2的公切线, B, C为切点,求证 AB⊥ AC.(初中《几何》第三册 144页例 4) 适当改变题目的条件、结论,通过猜想、归纳,引申为以下几题 . 1改变两圆的位置关系,由外切变为相交 . [题 1]如图 (2),⊙ O1和 O2相交于 A1, A2两点, BC是⊙ O1和⊙ 2的公切线, B, C为切点 .求证∠ BA1C＋∠ BA2C=180° . 证明：连结 A1A2, ∵ BC与⊙ O1相切于点 B, ∴∠ A2BC=∠ BA1A2. 同理,∠ A2CB=∠ CA1A2. ∴∠ A2BC＋∠ A2CB=∠ BA1A2＋∠ CA1A2=∠ BA1C. …     

值得研究的一道习题

2004年人教版《普通高中课程标准实验教科书》数学必修第5册习题3.4B 组第113页第2题:树顶 A 离地面 am,树上另有一点 B 离地面bm,在地面的 C 处看此树上的 A,B 两点,离此树多远时视角最大(图形略,以下简称问题).     

垂足三角形的相似比

<正>概念设P是△ABC内的任意一点,从该点向BC、CA、AB分别引垂线PA1、PB1、PC1(如图1),以它们的垂足A1、B1、C1为顶点的三角形A1B1C1称为△ABC关于"垂心"P的垂足三角形.问题对任一给定的△ABC与△ABC中给定的一个内点,第三个垂足三角形A3B3C3与△ABC相似吗?若相似,相似比能恰当地表示吗?纽伯格(J.Neuberg)已证明了第三个垂足三角形与原三角形是相似的.     

一道课本习题的另问

人教版初中《代数》第三册第77页第20题：如图1,在△ABC中,∠B=90&;#176;,点P从A开始沿AB边向点B以1厘米／秒的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米／秒的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,几秒后△PBQ面积为8平方厘米?     

一道习题浅探

习题如图1,求证:月一乙A+匕B十匕C. 证延长AD交BC于E,根据三角形内角和定理的推论,有口一匕AEC+乙C,艺AEC一乙A十艺B,…月一艺A+艺B十艺C. 这个结论能拓宽我们的解题思路,增强解题的灵活性.下面举几例说明.CE即B 例乙C一1如图2,匕B=450,乙A一300,25“,则乙AL兀〕的大小是 (第九届“希望杯”全国数学邀请赛培训试题) 艺ADC一艺A+ZB+/C~1 000.反上乏、图2图3 例2一个零件的形状如图3,按规定/A应等于900,乙B、乙C应分别是21。和320.检验工人量得匕BDC一1480,就断定这个零件不合格,这是为什么呢? (人教版初中《几何》第二册复…     

对一个算法问题的思考

1 问题提出 在北师大版<数学·必修3>第二章"算法"第113页习题2-3的A组题中,第6题: 使用基本语句写一个算法,要求输入三角形的三条边长,输出三角形面积.     

一道课本习题的研究性学习

原题:已知,如图1,点C在线段AB上,△ACM和△CBN是等边三角形,求证:AN=BM.(人教版初中《几何》第二册第113页13题) 分析:证明△ACN≌△MCB即可.     

由一道习题演变出的中考题

人教版初中《代数》第三册P77第20题：如图1，在△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米／秒的速度移动，点Q从点B开始沿Bc边向点C以2厘米／秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8厘米^2。     

一道解斜三角形习题的多种解法

我们在第五章平面向量里解斜三角形应用举例一节学习中，曾经做过这样一道题，题目：在三角形△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c．且角A=80&;#176;，a2=b（b＋c），求角C的度数。此类型题解题方法灵活，技巧性强，现介绍此题的几种解法，仅供参考。     

一道课本习题的探究

在平时处理课本习题时往往满足于会做,而不去深入思考该题的内涵、外延,挖掘课本习题的内在功能.对于一道习题不能就题论题,而应对这道题作进一步的探究,下面仅就一道课本习题的探究与大家共读.《数学(第二册)》(下A)习题9.6第6题:二面角α-l-β内一点P分别向这个二面角的两个半平面引垂线PA、PB,求证:它们所成的角与这个二面角的平面角互补.图1证明:如图1,过P、A、B作l的垂面交l于点C,连AC、BC.则AC⊥l,BC⊥l.∴∠BCA为二面角α-l-β的平面角又∠A=∠B=90°∴A、B、C、P四点共圆从而∠P ∠BCA=180°即结论成立.变题1(1)若点P…     

一道富有启发性习题的探究

对于一道习题不能就题论题,而应引导学生对这道题作进一步的探索和研究,这样不仅可以使学生学会处理一道题就能解决一串问题的本领,而且有助于激发学生的学习兴趣,培养学生的创新意识和创新能力.题目　已知:如图1,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形.求证:AN=BM.(初中《几何》第二册第113页第13题)提示:运用边角公理证明△ACN≌△MCB.本文就以此题为例,进行以下几个方面的变化和探讨.图1图21　结论不变,变换图形变换1把△ACM沿AC翻折180°,如图2.变换2　把图2中的△ACM绕点C顺时针旋转180°,如图3.图3图4变换3　把图3…     

直线系方程的应用——从一道课本习题说起

人教A必修2第三章直线与方程习题3、3A组第4题：已知直线l1：A1x＋B1y＋C1=0与l2：A2x＋B2y＋C2=0相交,证明方程A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）=0（λ∈R）表示过l1与l2交点的直线方程.这是一个有用的结论,表示过2条已知直线l1和l2的交点的直线系方程,其中λ是参数,当λ=0时,     

一道课本习题引发的讨论

人教版数学必修④第二章复习参考题B组第5题:已知向量OP1、OP2、OP3满足条件OP1 OP2 OP3=0,｜OP1｜=｜OP2｜=｜OP3｜=1.求证:△P1P2P3是等边三角形.(证明略)当我讲完此题正想继续下一题时,发现学生1举起手,站起来问:“老师,点O在什么地方?与△P1P2P3的形状有关吗?”学生1的疑问引起了我和其他学生的兴趣,借着学生们的热情劲,我让他们分组讨论,探究结果.5分钟后,陆续有学生举手示意.学生2:老师,点O位于△P1P2P3内部且是△P1P2P3的重心.(到黑板上板书如下:)以OP1、OP2为邻边作平行四边形OP1PP2,连接OP交P1P2于点M,则OP1 O…