一类函数迭代问题的“周期性”及其证明(高一、高二、高三)

近日,笔者在做一些数学奥林匹克赛题时,遇到了这样两道题: 题1 设n∈z,函数f:Z→R满足证明:对任意n≤100,都有f(n)=91. 题2 函数f定义在整数集上,且满足求f(84).对于题1,书中是通过递推的方法,证明了     

求函数解析式的十种思维方法

1待定系数法例1若f(x)=x2-mx+n,f(n)=m,f(1)=2,求f(x).解依题意:2,12,n mn n mm n-----++==解得m=-2,n=-1,∴()f x=x2+2x-1.注如果已知函数式的构造模式,通常根据题设用此法求出函数式的待定系数.2换元法例2已知f(x+1)=x+1,求f(x).解令x+1=t,则x=(t-1)2(t≥1),∵f(t)=(t-1)2+1(t≥1),即f(x)=t2-2t+2(x≥1).注如果已知复合函数f(g(x))的表达式,求f(x)的解析式;先令g(x)=t,得f(x),但值得注意的是在进行变量替换时,应求出新变量的取值范围,否则容易出现错误.3代入法例3设()1f x=1-x,求f(f(f(x)))的解析式.解∵(())11f f x=1-f(x)=1-1/(1-x)1x x…     

一道竞赛题的巧解及推广

题目:设函数f:N→N满足条件f(1)=1,f(2n 1)=f(2n) 1,f(2n)=3f(n).求f的值集. 这是1990年国家集训队测验题,现给出它的一种解答,并作推广。 解:我们把原题略作变化,设函数     

函数解析式求解常用八法

把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫函数的解析式,简称解析式.函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.本文笔者对求解函数解析式常用的八种方法逐一进行介绍.一、配凑法已知f[g(x)]=h(x),求f(x)的解析式,常用配凑法.该方法主要通过观察、配方、凑项等使原函数变形为关于“自变量”的表达式,然后以x代替“自变量”得出所求函数的解析式.例1已知f(1 1x)=x12-1,求f(x)的解析式.解析把解析式按“自变量”1 1x变形得f(1 1x)=(1 1x)2-2(1 1x),在上式中以x代替(1 1x),得f(x)=x2-2x(x≠1).这里需要特别注意的是,不要遗漏解析式的定义域x≠1.二、待定系数法已知函数类型或图像以及相关条件,求函数解析式时,常用待定系数法.此方法适用于所求函数的解析式表达式是多项式的情形,首先确定多项式的次数,写出它的一般表达式,然后由已知条件以及多项式相等的条件确定待定的系数.例2已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1及f(x 1)-f(x)=2x,求f(x).解析设f(x)=ax2 b...     

一道竞赛题的简捷解法

问题:已知f(x,y)=f(x+y),x、y∈R,且f(7)=7,求f(1986)。分析:给出的x、y∈R,从题设和题求看,只需x、y∈N就够了。这是因为f(xy)=f[(xy)·1]=f(xy+1),故有解:设xy=a(a∈N),∵f(xy)=f(x+y),∴f(a)=f(a·1)=f(a+1)。这就是说,对于任意自然数a,相邻两个自然数的函数值相等,亦即所有自然数的函数值相等.∵f(7)=7,∴f(1986)=7。     

求函数解析式的常用方法

函数是高中数学的核心内容,是最重要的概念之一.解析式是表达函数的最常用方法.求函数解析式方法众多,现对一些常用的方法进行总结. 一、待定系数法 已知函数类型(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等)求解析式,首先设出函数解析式,然后根据已知条件通过代入求系数. 例1 已知f(x)=3x-1,f(h(x))=g(x)=2x+3,h(x)为关于x的一次函数,求h(x). 解析:设h(x)=ax+b(a≠0). 由f(x) =3x-1和f(h(x))=g(x)=2x+3,得3h(x)-1=2x+3,即3(ax+b)-1=2x+3(=)3ax+ 3b-1=2x+3,则3a=2且3b-1=3,解得a=2/3且b=4/3,故h(x)=2/3x+4/3(x∈R).     

巧用微分积分法求数列通项

本文介绍一种求数列通项的方法——微分积分法。下面举两个例子。例1 已知f(x)是定义在自然数集上的函数,且f(1)=1,对任意的m,n∈N,有f(m+n)=f(n)+f(m)+mn。求f(n)。解:令m=1,则f(n+1)=f(n)+n+1。两边对(n+1)求导:f’(n+1)-f’(n)=1,故f’(n)是公差为1的等差数列,首项f’(1)。∴f’(n)=f’(1)+(n-1),两边对n积分,有f(n)=nf’(1)+1/2n~2-n+C。由条件f(1)=1得到f(2)=3。     

分段函数问题简述

※求值问题※例1:已知函数f(x)=x2(x>0),1(x=0)0(x<0)".,求f｛f[f(-3)]｝的值.分析:明确自变量在函数的哪一个段上,是解此类题的关键.解:∵-3<0,∴f(-3)=0,∴f[f(-3)]=1,∴f｛f[f(-3)]｝=f(1)=12=1.※求解析式问题※例2:已知f(x)=x,g(x)=-x+1,!(x)=-12x+2.设f(x),g(x),!(x)的最大值为F(x),求F(x)的解析式.分析:本题的关键是画出图象,求出交点,从而正确地分段,再在各段上写出符合要求的解析式,最后写出分段函数的解析式.解:如图,画出f(x),g(x),!(x)的图象,下面再求交点坐标.!由y=-x+1,y=-21x+2".得yx==3-2,".由y=x,y=-12x+2".得y=34%%%%$%%%…     

自然数集上的初等函数方程

本文讨论自然数集上若干初等函数方程的求解问题。由于函数的自变量限取自然数,实数集上的初等函数方程的求解方法就未必都能套用。有些方程在自然数集的求解比在实数集上要简单。事实上,有些仅用递推关系推出所求方程的解的解析表达式,再用数学归纳法证之即可,有些只须通过适当的转化就可获得解答。但也有方程通过转化手段则行不通。下面我们就对几个具体的方程进行论述。方程之一:(线性函数方程)f在自然数集上定义,对于任何自然数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)。当且仅当对于任何自然数     

函数解析式和函数性质的运用

<正>函数解析式求解问题是考试中的重点问题,我们在练习过程中要有意识地进行反思和归纳总结。1.已知函数类型,求函数解析式时,可用待定系数法,比如,函数是二次函数,可设为f(x)=ax²+bx+c(a≠0),其中a,b,c为待定系数,根据条件列出方程组,解出a,b,c即可。例1已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x-1,求f(x)的解析式。解:设f(x)=kx+b(k≠0)。又因为f[f(x)]=4x-1=f(kx+b)=k(kx+b)     

从一道美国竞赛题谈起

美国普特南数学竞赛(1963年)中有这样一道题:设f(x)是定义在自然数集上且取自然数的严格递增函数,如果f(2)=2,且当m,n互素时,有f(mn)=f(m)f(n).(1)证明对一切正整数x,有     

一类数列求和问题的一种解法

由于数列{g(n)}与{g(n))}的前n项的和函数f(n)有关系:f(n)-f(n-1)=g(n)．已知g(n),求f(n)的数列求和问题可看作函数方程f(n)-f(n-1)=g(n)来求解．本文提出关于f(n)的函数方程f(n)-f(n-1)=g(n)的一种导数解法,并运用此方法简捷地解决了自然数方幂和等一类数列的求和问题．     

浅谈函数求值题目

<正>2012年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛里有两道有关函数求值的题目如下:(1)已知二次函数f(x)满足f(-10)=9,f(-6)=7,f(2)=-9,求f(100)的值;(2)已知f(x)是四次多项式,且满足f(i)=1i.i=1,2,3,4,5,求f(6)的值.我的方法:设出函数解析式,结合题目条件分别列出三元一次方程和五元一次方程,解出方程,再将自变量代入所求得     

1998年上海市高中数学竞赛

一、填空题(每小题7分,共70分) 1.设f(n)是定义在自然数集N上的函数,且满足f(1)=2,f(n 1)=[2f(n) 1]/2.则f(1998)的值是___.     

怎样求函数的解析式

在函数满足若干条件下,求函数的解析式,是一类基本而重要的题型.本文就这类问题的若干求解方法,分类阐述如下.一、换元对于已知形如f[g(x)]的表达式,求f(x)解析式的问题,可以设出g(x)=t,从中     

1×4格牌覆盖棋盘的计数

设 f(m,n)为 1× 4格牌覆盖 m× n棋盘的方法数 ,用递推的方法给出 f(m,n)(m=4,5,6,7)的递推式及生成函数     

数列极限综合应用探索

<正>一、数列极限与函数的综合例1已知函数y=f(x)为一次函数,f(1)是f(3)和f(7)的等比中项,且f(5)=5,求lim(n→∞)(f(1)+f(2)+…+f(n))/(n²)。解析:设f(x)=kx+b(k≠0),由题意得f2(1)=f(3)f(7)且f(5)=5,即(k+b)2)。解析:设f(x)=kx+b(k≠0),由题意得f2(1)=f(3)f(7)且f(5)=5,即(k+b)²=(3k+b)(7k+b)且5k+b=5,联立得k=2,b=-5,所以f(n)=2n-5,所以{f(n)}是以     

运用函数性质求函数的解析式

函数的解析式也叫表达式,是函数的三要素之一.在代数中求函数的解析式,尤其是运用函数的奇偶性、对称性、周期性求函数解析式是一类重要问题,仅举几例,供大家参考.一、利用函数性质求分段函数解析式例1已知的f(x)定义域为R,且对一切x∈R满足f(2 x)=f(2-x),f(7 x)=f(7-x)(1)若f(     

数列向递推寻根

1 数列与递推 问:数列是函数吗? 答:定义在自然数集上的函数,函数式为an＝f(n). 问:有何实际意义?     

a_(n+1)=pa_n+f(n)型递推数列通项的求法

<正>变式训练,一解多题,能以一挡十,有效提高学习效率.现以an+1=pan+f(n)型递推数列为例,通过变换题目条件,以掌握一类递推数列通项的求法.一、an+1=an+f(n)型(1)当f(n)=常数,则数列{an}为等差数列,得an=a1+(n-1)d.(2)当f(n)≠常数,若f(n)可求和,则可