古人发现√2“无理”令人思考√2“有益”

公元前6世纪．古希腊的毕达哥拉斯学派有一种观点：“万物皆数”，一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示．后来，人们发现边长为1的正方形的对角线的长度、√2不能用整数或整数的比来表示．故称√2可为“无理数”．     

整数的一种表示形式

本文探讨整数的一种表示形式:整数均能表示为两个非负整数的平方差形式吗?(1)任何奇数均能表示为两个非负整数的平方差;(2)形如4n 2(n∈Z)的整数不能表示为两个非负整数的平方差;(3)形如4n(n∈Z)的整数能表示为两个非负整数的平方差。此外,整数的平方差形式是不唯一的。     

用无理数的整数部分、小数部分求值

一个无理数可以表示成整数与小数和的形式,如我们把这个“1”称为无理数的整数部分,“0.4142…”称为的小数部分.一般地,我们先估算出它的整数部分,再求小数部分,用这个无理数减去它的整数部分就得小数部分.这类问题有一定难度,我们看下面几个有关的例子.     

层层速递巧求无理数的整数、小数部分

无理数都可以由整数与纯小数两部分组成．而任何一个无理数都介于连续的两个整数之间．求无理数的整数部分和小数部分是学习中的一个难点，现举例分析其解法．     

无理数表成连分数的又几个公式

本文研究把无理数表成连分数问题,得到无理数表示成连分数的几个新公式。     

无理数与谋杀案

无理数怎么和谋杀案扯到一起去了?这件事还要从公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派说起.毕达哥拉斯学派的创始人是著名数学家毕达哥拉斯.他认为:“任何两条线段之比,都可以用两个整数的比来表示.”两个整数的比实际上包括了整数和分数.因此,毕达哥拉斯认为,世界上只存在整数和分数,除此之外,没有别的什么数了.可是不久出现了一个问题,当一个正方形的边长是1的时候,对角线的长m等于多少?是整数还是分数呢?根据勾股定理(也称毕达哥拉斯定理),m2=2,因为12=1,22=4,所以m比1大又比2小,那么m就一定是分数了,可以毕达哥拉斯和他的门徒费了九牛二虎…     

关于分数化小数中的两个问题

大家知道,整数和分数合称有理数,无限不循环小数叫无理数;一切有理数都可表成分数 p/q(p、q 互质,p∈N,q∈N),无理数不能表示成分数 p/q。那么,将分数 p/q 化为小数,是有限小数,还是无限循环小数呢?小数的位数或循环节内的数字的个数又是多少呢?本文试图对这两个问题作一些一般性的探讨,供小学数学老师教学这个内容时参考。     

无理数的整数部分和小数部分

在根式运算中，有时要考虑正无理数的整数部分和小数部分，即把正无理数表示为a＋b（a为非负整数，b为正纯小数）．下面介绍表示正无理数的整数部分和小数部分的方法及应用，供同学们参考．例1求的整数部分和小数部分．解，故的整数部分为2，小数部分为，即．例2求的整数部分和小数部分．解把分母有理化，得的整数部分是6，小数部分（第六届“希望杯”全国数学邀请赛培训题）故的整数部分a=5，小数部分例4设的整数部分为a，少？（89年吉林省初中数学竞赛试题）一的整数ffg分。＝。，／J。数部分b—2一／了．无理数的整数部分和小数部分@王…     

幂级数在无理数证明中的应用

根据sinx的幂级数展开式和莱布尼茨定理,利用反证法证明了当n为非零整数时,sin(1/n)为无理数。     

尺规与作图

悲剧啊——发现“百牛定理”的毕达哥拉斯认为,世界是由自然数构成的,一切数都可以表示成整数之比。可是,希帕索斯用他的定理证明了压不能表示成两个整数的比。     

数轴上找分数1/n对应点的作图法

学习"实数"的有关知识后,我们知道无理数和有理数一样都可以用数轴上的点来表示,教材介绍了像a这样的无理数,可以通过作图的方法在数轴上找出它们的对应点.那么是不是还有其他的数,也可以通过作图的方法在数轴上找出它们的对应点呢?通过探究发现,对于像分数1n(n为整数)这样的数,同样也可以利用作图的方法在数轴上找出它的对应点.     

妙谈小数化学分数

我们把形如"ba"的式子叫做分数(其中a≠0,a与b是互质的整数)。小数只有三类:有限小数、无限循环小数、无限不循环小数。无限不循环小数是无理数,不能化成分数(因为无理数x=ab,则b=ax,b是整数,而ax是无理数,矛盾)。所以能化成分数的小数只有有限小数和无限循环小数。     

5~(1/2)、13~(1/2)、21~(1/2)、29~(1/2)等都是无理数的统一证明

<正>本文仅从整数的奇偶性上引出矛盾,利用反证法给出5^(1/2)、13(1/2)、13^(1/2)、21(1/2)、21^(1/2)、29(1/2)、29^(1/2)等数均为无理数的统一证明,供同学们参考.定理若p是自然数,则(8p+5)(1/2)等数均为无理数的统一证明,供同学们参考.定理若p是自然数,则(8p+5)^(1/2)是无理数.证明假设(8p+5)(1/2)是无理数.证明假设(8p+5)^(1/2)是有理数,即有(8p+5)(1/2)是有理数,即有(8p+5)^(1/2)=m/n(m/n是既约分数),则有(8p+5)n(1/2)=m/n(m/n是既约分数),则有(8p+5)n²=m2=m²……(1)[1]假设m与n均为偶数,则恰与m/n为既约分数矛盾!故假设[1]不真!     

整数整除整数的特征

<正> 一个整数A整除另一个整数B,就是用A去除以B所得的余数为零,即:B=K·A(其中K为整数)。而当B=K·A时(A、B、K均为整数),对于不同的A,B中的各位数字及其它性质与A又有着特殊的关系;反过来,可以从这种特殊的关系中,较容易地判断出B是否能被A整除,从而避免冗繁的除法运算。这里给出整数整除整数的判别方法。 任何一个整数,要么可以表示为2n+1,即为奇数,要么可以表示为2~n,要么可以表示为2~K(2m+1),(其中n、K、m均为整数),后两者即为偶数。而研究整数,只须从这三方面入手即可。 定理1 能被奇数2n+1整除的整数10a+b(其中n、a为整数,b为一位整数)的特征是:这个数10a+b的末位数b以前的数字所表示的数a的5倍与b的n倍之差能被2n+1整除。反之亦然。即:若10a+b能被2n+1整除,则有5a-nb能被2n+1整除;若5a-nb能被2n+1整除,则有10a+b能被2n+1整除。     

也谈抽屉原则的“抽屉”设计

常用的抽屉原则有下面两条: 抽屉原则Ⅰ:若多于n个元素按任一确定的方式分成n个集合,则必定有一个集合中含有两个或两个以上的元素。抽屉原则Ⅱ:把m个元素分成n个集合(m>n),①当n|m时,至少有一集合中有m/n个元素;②当n(?)m时,至少有一集合中有[m/n]+1个元素,其中[m/n]表示不超过m/n的最大整数。它的正确性不难用反证法得到证明。下面举例说明解题中构造抽屉的常用方法: (一) 划分图形设计抽屉一般来说,对于平几、立几等几何图形,采     

数轴上找分数1/n对应点的作图法

<正>学习"实数"的有关知识后,我们知道无理数和有理数一样都可以用数轴上的点来表示,教材介绍了像a^(1/2)这样的无理数,可以通过作图的方法在数轴上找出它们的对应点.那么是不是还有其他的数,也可以通过作图的方法在数轴上找出它们的对应点呢?通过探究发现,对于像分数1/n(n为整数)这样的数,同样也可以利用作图的方法在     

无理数的整数与小数部分

在数学竞赛中,经常会遇到这样一类问题:已知一个无理数P,求它的整数部分a与小数部分b,或进一步确定了a和b后再求其他有关代数式的值. 任何一个无理数P一定夹在某两个相邻整数n和n+1之间,即n相似文献   

第45届IMO预选题(下)

数论部分1.设τ(n)表示正整数n的正因数的个数.证明:存在无穷多个正整数a,使得方程τ(an)=n没有正整数解n.2.已知从正整数集N 到其自身的函数ψ定义为ψ(n)=∑nk=1(k,n),n∈N ,其中(k,n)表示k和n的最大公因数.(1)证明:对于任意两个互质的正整数m、n,有ψ(mn)=ψ(m)ψ(n);(2)证明:对于每一个a∈N ,方程ψ(x)=ax有一个整数解;(3)求所有的a∈N ,使得方程ψ(x)=ax有唯一的整数解.3.一个从正整数集N 到其自身的函数f满足:对于任意的m、n∈N ,(m2 n)2可以被f2(m) f(n)整除.证明:对于每个n∈N ,有f(n)=n.4.设k是一个大于1的固定的整数,m=4k2-5.…     

~(1/2)的故事

我们知道，如果一个正数a，它的平方等于２，则称a为２的算术平方根，记作２√．一个正方形的对角线长等于２，那么它的面积也等于２，其边长就该是２√（图１）．２√是人类最早发现的无理数之一．早在公元前５００年左右，人们就能证明２是无理数了．我们学过的数被分为两类：有理数和无理数．有理数包括整、有限小数和无限循环小数，如２，１２．３５，７２．６３２６３２６３２…，１０６．４４４４４…，等等．在数学上可以证明，无论是整数、有限小数是无限循环小数都可以与一个分数相等（分母允许取１），即有数都可以表示成nm的形式…     

问题1.5参考答案

问题若整数a,b,c,d,m使am3+bm2+cm+d能被5整除,且数d不能被5整除.试说明:总可以找到这样的整数n,使dn3+cn2+bn+a也能被5整除.解数m不可能被5整除.否则,设m能被5整除,则由am3+bm2+cm+d=m(am2+bm+c)+d知,数d也能被5整除,这与已知(d不能被5整除)矛盾.因此,数m可表示成5k+r的形式,其中k是某整数,r是小于5的正整数.当r等于1,2,3,4时,相应取n分别为1,3,2,4.这时,积mn被5除总是余1.设A=am3+bm2+cm+d,B=a+bn+cn2+dn3.由此二式消去d,得An3-B=a(m3n3-1)+bn(m2n2-1)+cn2(mn-1)=(mn-1)[a(m2n2+mn+1)+bn(mn+1)+cn2].因为mn-1能被5整除,即对所选的数n,差…