逆用完全平方公式解题

完全平方公式的代数式表示为 (a+b)2=a2+2ab+b2. (a-b)2=a2-2ab+b2. 逆用它们,能把形如a2±2ab+b2的代数式化为形如(a±b)2的代数式.这种和差化积的思想方法,可帮我们巧妙地解题.     

巧配方 妙分解

学生对形如a2±2ab+b2的二次三项式不难分解,但对非a2±2ab+b2型的多项式望而生畏.这类问题通过配方可找到分解思路.配方的关键,要求学生熟练掌握公式a2±2ab+b2,判断什么是"a"、或"b",或"ab",如何"从a2、2ab这两项去找出b",或"从a2、b2这两     

完全平方公式的逆向应用

完全平方公式有如下两个: 1.(a+b)2=a2+2ab+b2 2.(a-b)2=a2-2ab+b2 熟练地掌握了它们的正向应用后,你是否想到过逆向应用它们?事实上,逆向应用它们,能把形如a2 ±2ab+b2的式子化为形如(a±b)2的式子.这种和差化积的思想方法,在解题中值得我们一试! 一、计算问题 例1 计算9999×9999+19999. 分析:由于19999=2×9999+1,原式即为形如a2+2ab+b2的式子. 解:原式=99992+2×9999+1=(9999+1)2=100000000.     

图形应用两例(初一)

学数学,要注意运用图形.请看以下两例. 例1 长方形的长是(2a+b)cm,宽是(a+b)cm,求它的周长和面积. (《代数》第一册(下)P110题6) 解容易知道 (2a+b)(a+b) =2a2+2ab+ab+b2=2a2+3ab+b2.     

转化思想在解数学题中的应用

一、等式与不等式的转化例1若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是______.分析为了求ab的取值范围,只要将原等式转化为不等式即可.解运用不等式a+b≥2ab姨,原等式可化为不等式.∵ab=a+b+3≥2ab姨+3,∴ab-2ab姨-3≥0.又ab姨>0,∴ab姨≥3,即ab≥9.例2已知不等式a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c,求正整数a,b,c.分析本题所给的是不等式,而求的是a,b,c,故应将原不等式转化为3个等式,才能解决问题.解∵不等式的两边是整数,∴将a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c配方得(a-b2)2+3(b2-1)2+(c-1)2≤0.则有a-b2=0,b2-1=0,c-1=0,∴原不等式有唯一的一组解a=1,b=2,c=1.二、常…     

教材原型题与近年高考题

1逆向思维的教材原型题与近年高考题 例1 (新课标选修4-5第25页习题 2.2第2题)已知a,b,c,∈R+,用综合法证: (ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc. 证明 (ab十a+b+1)(ab+ac+bc+c2)=(a+1) (b+1)(a+c) (b+c)≥2√a×2b×2√ac×2√bc=16abc. 例2 (2010年重庆文科第10题)若a,b,c＞0,且a2+2ab+2ac+4bc=12,则ab+c的最小值是().     

一题九解——不等式证法“一网打尽”

由于证明不等式的方法多种多样,因此它既是不等式这一章节的重点,也是高考命题的热点.为了提高同学们的发散思维能力及创新能力,本文特精选了一道例题,利用一题多解的形式来帮助同学们拓展解题思路.例题已知a、b∈R+,且a+b=1,求证:(a+1a)(b+b1)≥245.证明一(综合法)因为a、b∈R+,且a+b=1,所以(a+1a)(b+b1)=(a+41a+43a)(b+41b+43b)≥(1+43a)(1+43b)=1+1261ab≥1+4(a2+1b)2=245.证明二(分析法)要证(a+1a)(b+b1)≥245,即证4(a2+1)(b2+1)≥25ab,也即证4a2b2+4a2+4b2+4≥25ab,整理得4a2b2+4(a+b)2-8ab+4≥25ab,即4a2b2-33ab+8≥0,即证(4ab-1)(ab…     

对2017年高考数学全国Ⅱ卷不等式选讲证明题的几种别证

题目 (2017年高考全国Ⅱ卷文科数学第23(Ⅱ)题)已知a＞0,b＞0,a3 +b3=2.证明:a+b≤2. 证法1不等式的变形. 因为a＞0,b＞0,a3 +b3=2, 所以a+b＞0,且(a-b)2≥0. 从而(a+b)(a-b)2≥0,即有 a2b+ab2≤a3 +b3=2. 不等式两边同乘以3得 3a2b+3ab2≤6.不等式两边同加a3+b3得 a3 +b3 +3a2b+3ab2≤8,即 (a+b)3≤8,所以a+b≤2. 证法2反证法.     

巧用代换快速解题

代换是数学解题中经常运用的一种手段,而如何代换,是要讲究方法的。本文结合例子,说明怎样利用代换技巧,实现快速解题。例1:已知ab=1,求11+a2+11+b2的值。解:∵ab=1∴1=ab∴11+a2+11+b2=abab+a2+abab+b2=bb+a+aa+b=1。例2:实数a、b满足ab=1,设M=1a+1+1b+1,N=aa+1+bb+1,则M、N的关系为()。A.M>NB.M=NC.M相似文献   

完全平方公式的逆向应用

完全平方公式有如下两个:1.(a+b)~2=a~2+2ab+b~22.(a-b)~2=a~2-2ab+b~2熟练地掌握了它们的正向应用后,你是否想到过逆向应用它们?事实上,逆向应用它们,能把形如a~2±2ab+b~2的式子化为形如(a±b)~2的式子.这种和差化积的思想方法,在解题中值得我们一试!     

完全平方公式的变式及应用

将完全平方公式(a+b)~2=a~2+2ab+b~2,(a-b)~2-2ab+b~2进行变形后易得以下几个公式:a~2+b~2=(a+b)~2-2ab=(a-b)~2+2ab,(a+b)~2=(a-b)~2+4ab(a-b)~2=(a+b)~2-4ab,(a+b)~2-(a-b)~2=2(a~2+b~2),(a+b)~2-(a-b)~2=4ab,(和差化积公式)ab=(a+b/2)~2-(a-b/2)~2.(积化和差公式)     

公式用得巧变形是法宝

多项式的乘法公式有两个,它们是平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2;完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2.在进行多项式的乘法运算时,要具有运用乘法公式的意识.为此,需注意如下几种为运用乘     

一个简单不等式的妙用

<正>本文先给出基本不等式的一个等价变形,再举例说明它的广泛应用.结论已知a、b、λ∈R,且b(a+b)> 0,则有ab≥-λ²+(λ+1)2+(λ+1)²a/(a+b),(*)当且仅当a=λb时取等号.证明由不等式a2a/(a+b),(*)当且仅当a=λb时取等号.证明由不等式a²+λ2+λ²b2b²≥2λab,得a2≥2λab,得a²≥2λab-λ2≥2λab-λ²b2b².两边同时加上ab并整理,得a(a+b)≥b[(2λ+1) a-λ2.两边同时加上ab并整理,得a(a+b)≥b[(2λ+1) a-λ²b].再两边同时     

因式分解方法谈

学过因式分解的人爱说:“一提、二代、三分组”.“提”是指“提取公因式”,在因式分解时,首先应当想到的是有没有公因式可提.“代”就是指“应用公式”(代公式).将乘法公式反过来写就得到因式分解中所用的公式,常见的有七个公式:(1)a2-b2=(a+b)(a-b);(2)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);(3)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);(4)a2+2ab+b2=(a+b)2;(5)a2-2ab+b2=(a-b)2;(6)a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3;(7)a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3.以上公式必须熟记,牢牢掌握各自的特点.如果“一提、二代”都不能奏效,就应当采用分组分解.一般地,分组分解大致分为三步:(1)将原式的项适…     

具有相同规律的一组数学竞赛题

先看下面的一个公式:设ai∈R,bi∈R+,i=1,2,…,n.则a21b1+a22b2+…+a2nbn≥(a1+a2+…+an)2b1+b2+…+bn.这个公式是由柯西不等式稍加变形后得到的,用它处理一类分式不等式问题十分方便.下面举例说明.例1已知a、b、c∈R+.求证:ab+c+bc+a+ca+b≥32.(第26届莫斯科数学奥林匹克)证明:ab+c+bc+a+ca+b=a2a(b+c)+b2b(c+a)+c2c(a+b)≥(a+b+c)22(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca)2(ab+bc+ca)=32.例2设a、b、c∈R+,且abc=1.则1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥32.(第26届IMO)证明:1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)=a2b2c2a3(b+c)+a2b2c2b3(c+a)+a2b2c2c3(a+b)=b2c2a(b+…     

从一个简单的不等式命题说开去

命题若a,b为正实数,则1/((1+a)~2)+1/((1+b)~2)≥1/(1+ab).上述命题可见于文[1],笔者在本刊文[2]中给出以下简洁证明.证明:因为(a+b)(1+ab)=b(1+a)~2+a(1-b)~2≥b(1+a)~2,所以1/((1+a)~2)≥b/((a+b)(1+ab)),同理可得1/((1+b)~2)≥     

异分母分式加减运算的通法和巧法

异分母分式的加减法是分式运算的重点和难点,必须切实掌握,其方法是先通法,后巧法.一、运用通法,掌握异分母分式的加减法的一般步骤(1)把各分式的分母分解因式;(2)确定各分式的最简公分母;(3)运用分式的基本性质化异分母为同分母;(4)进行计算,并将最后结果化为最简分式.例1计算:aa2+-3bb2+a1+b+b-1a.解原式=(a+ab)+(3ab-b)+a+1b-a1-b=(a+ab+)(3ab-b)+(a+ab)-(ab-b)-(a+ab)+(ab-b)=(a+3b)+a-b-(a+b)(a+b)(a-b)=(a+(ab)+(ab)-b)=1a-b.二、运用巧法,由于一些题目按通法解答繁杂,若抓住其特点,善用技巧,可化繁为简例2计算:a-1b+a1+b+a22+ab2+a44…     

逆用完全平方公式解题

完全平方公式为(a±b)~2=a~2±2ab+b~2。不难发现,逆用它,可把形如a~2±2ab+b~2的代数式化为形如(a±b)~2的代数式。这种和差化积的思想方法,能使解题简便易行。下面举例介绍,供大家学习时参考。     

乘法公式的两种功能

乘法公式有平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2。在解题过程中,同学们是否知道乘法公式具有如下两种功能:     

一题多变,思维发散——对均值不等式知识点的巩固与练习

<正>1.知识具备x2≥0→(a-b)2≥0→a2+b2-2ab≥0,即:(1)a2+b2≥2ab,注意乘积为定值,平方和有最小值,当且仅当a=b时取等号.(2)ab≤a2+b22,注意平方和为定值,乘积有最大值,当且仅当a=b时取等号.若a、b∈R+,则有:(3)a+b≥2 ab%姨,乘积为定值,和有最小值,当且仅当a=b时取等号.(4)ab≤(a+b2)2,和为定值,乘积有最大值,当且仅当a=b